2023-2024学年广东省广州七中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州七中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家.如果水位上升3m记作+3m，那么水位下降2m记作( )
A. +2mB. −2mC. +1mD. −1m
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A. 圆锥
B. 三棱锥
C. 三棱柱
D. 四棱柱
3.下列运算正确的是( )
A. (−5)2=−5B. |2− 3|= 3−2
C. (−2a2)3=−8a6D. a3⋅a2=a6
4.如图，点A、B、C在⊙O上，AC/​/OB，∠AOB=130°，则∠BOC的度数为( )
A. 25°
B. 50°
C. 40°
D. 80°
5.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE/​/BC，且AD：DB=2：3，则△ADE与△ABC的周长比是( )
A. 2：3B. 4：9C. 2：5D. 4：25
6.“绿水青山就是金山银山”.为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务.设实际每天净化的水域面积为x平方公里，则下列方程中正确的是( )
A. 2400x−2400(1+20%)x=40B. 2400x−2400×(1+20%)x=40
C. 2400×(1+20%)x−2400x=40D. 2400(1+20%)x−2400x=40
7.已知关于x、y的方程组3x+y=6nx+3y=2n−4的解满足x−y=1，则n=( )
A. 32B. −32C. −12D. 12
8.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则 a2− (b−a)2=( )
A. 2a−b
B. −2a+b
C. −2a−b
D. −b
9.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的切线AM相交于点P，连接AC.若⊙O的半径为5，AC=8，则PD的长是( )
A. 323B. 10C. 353D. 11
10.如图，Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，点A在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，∠OAB=30°，则k的值为( )
A. −1
B. −2
C. −3
D. −4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若|a|=8，则a= ______．
12.若式子1 x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
13.在反比例函数y=k−1x的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，且整式x2+kx+16是完全平方式，则该反比例函数的解析式为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=AB=5，点B到x轴的距离为4.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA′B′，则点B′的坐标为______．
15.如图，是一个圆锥的主视图，∠ABC的余弦值等于13，则该圆锥侧面展开扇形的圆心角的度数为______．
16.如图，在正方形ABCD中，点E为边BC上的一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，AF交BD于点P．
当∠BAE=30°时，∠APD= ______；
当E为BC的中点时，DPBP= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解不等式组：x+1≤26−3x>0．
18.(本小题4分)
如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．
19.(本小题6分)
已知P=(1−2a+1)÷a2−13a+3．
(1)化简P；
(2)若关于x的方程x2+(a+1)x+32=0有两个相等的实数根，求P的值．
20.(本小题6分)
某中学为了解学生“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生的阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了______名学生；
(2)求所抽查学生阅读量的平均数；
(3)样本数据中优秀等级学生有4人，其中只有1名男生，其余都是女生.现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
21.(本小题8分)
如图，已知正比例函数y=13x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6．
(1)求k的值；
(2)结合图象，直接写出不等式13x>kx的解集；
(3)点P是y轴上一点，连接PA，PB，若S△PAB=24，求点P的坐标．
22.(本小题10分)
如图，在某大楼观测点P处进行观测，测得山坡AB上A处的俯角为15°，测得山脚B处的俯角为60°.已知该山坡AB的坡度i=1： 3，BH=10米，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC．
(1)求观测点P与山脚B点之间的距离；
(2)求观测点P与山顶A点之间的距离．
23.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．
(1)尺规作图：在弦BC的右侧作∠BCD=∠CAB，交AB的延长线于点D；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，
①求证：CD是⊙O的切线；
②若BD=2OB，求tan∠CAB的值．
24.(本小题12分)
已知抛物线y=−x2−2x+a(a>0)与y轴相交于点A，顶点为M．
(1)求点M的坐标；(用含a的式子表示)
(2)直线y=12x−a与直线MA相交于点N，与抛物线的对称轴相交于点B．
①求△BNM的面积的取值范围；
②直线y=12x−a与y轴相交于点C，抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求y=−x2−2x+a在−2≤x≤1时的取值范围；若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
如图，在等边△ABC中，AB=6，点D在BC边的延长线上，将线段DC绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，P为BE的中点．
(1)求A到BC的距离；
(2)连接AP，PD，求∠APD的度数；
(3)连接CP，求PD+ 33CP的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如果水位上升3m记作+3m，那么水位下降2m记作−2m，
故选：B．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此求解即可．
本题考查了正数和负数，理解相反意义的量是关键．
2.【答案】C
【解析】解：由三视图可知，这个几何体是直三棱柱．
故选：C．
从三视图的俯视图看是一个三角形，而主视图是一个矩形，左视图为矩形，可知这是一个三棱柱．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．
3.【答案】C
【解析】解：A、 (−5)2= 25=5，故该选项错误，不符合题意；
B、|2− 3|=2− 3，故该选项错误，不符合题意；
C、(−2a2)3=(−2)3a6=−8a6，故该选项正确，符合题意；
D、a3⋅a2=a5，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的概念、绝对值、同底数幂的乘法和幂的乘方逐一判断即可．
本题考查了整式的运算，实数的运算，解题的关键是掌握二次根式概念，绝对值和整式的运算法则．
4.【答案】B
【解析】解：∵OA=OB，∠AOB=130°，
∴∠B=180°−130°2=25°．
∵AC/​/OB，
∴∠B=∠CAB=25°，
∴∠BOC=2∠CAB=50°.(同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍)
故选：B．
先根据三角形内角和定理，OA=OB，得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∖angB=∖angCAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AD：DB=2：3，
∴AD：AB=2：5，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
则△ADE与△ABC的周长比等于AD：AB=2：5，
故选：C．
先求出AD：AB=2：5，再证出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可得．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：设实际每天净化的水域面积为x平方公里，根据题意可得：
2400×(1+20%)x−2400x=40．
故选：C．
直接利用提高工作效率后，提前了40天完成任务得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵x−y=1，
∴x=y+1，
∴原方程组化为：3(y+1)+y=6ny+1+3y=2n−4，
解得：y=−32n=−12；
故选：C．
根据x−y=1，得到x=y+1，将方程组转化为未知数为y，n的方程组，进行求解即可．
本题考查二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：由图知，二次函数开口向下，
∴a<0，
对称轴在y轴右侧，
∴b>0，
∴b−a>0，
则 a2− (b−a)2=−a−(b−a)=−b，
故选：D．
根据二次函数图象得到a<0，b−a>0，再利用二次根式性质化简 a2− (b−a)2，即可解题．
本题考查了二次函数的性质，以及二次根式的化简，正确进行计算是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴AD=AC=8，
∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，
∴∠ADB=90°，AB=10，
∴BD= AB2−AD2= 102−82=6，
∵AM是圆O的切线，
∴∠ADB=∠BAP=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDA∽△BAP，
∴BDBA=BABP，
即610=10BP，
解得：BP=503，
∴PD=BP−BD=503−6=323．
故选：A．
连接AD，根据勾股定理可求出BD，证明△BDA∽△BAP，再根据相似三角形的性质计算，即可求得线段PD的长．
本题考查了切线的性质、圆周角定理，垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，作BM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，
则∠BMO=∠ONA=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，
∵Rt△AOB中∠BOA=90°，
∴∠AON+∠BOM=90°，
∴∠MBO=∠NOA，
∴△MBO∽△NOA，
∴S△MBOS△NOA=(OBOA)2，
∵∠OAB=30°，
∴tan∠OAB=OBOA= 33，
∴S△MBOS△MOA=( 33)2=13，
∵点A在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，
∴S△NOA=12ON⋅NA=3，
∴S△MBO=13×3=1，
∵点B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，
∴k=−2S△MBO=−2×1=−2，
故选：B．
作BM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，先证△MBO∽△NOA，推出S△MBOS△NOA=(OBOA)2，tan∠OAB=OBOA= 33，由反比例函数的图象和性质可得S△NOA=12ON⋅NA=3，进而求出S△MBO，即可得出k的值．
本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解反比例函数比例系数k的几何意义．
11.【答案】±8
【解析】解：∵|a|=8，
∴a=±8．
故答案为：±8．
根据绝对值的性质解答．
本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
12.【答案】x>−3
【解析】解：根据题意得：x+3≥0且x+3≠0，
∴x>−3．
故答案为：x>−3．
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，即可求解．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键．
13.【答案】y=−9x
【解析】解：∵在反比例函数y=k−1x的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，
∴k−1<0，
∴k<1，
∵整式x2+kx+16是完全平方式，
∴−k=±2×4=±8，
∴k=±8，
∵k<1，
∴k=−8，
∴该反比例函数的解析式为y=−9x；
故答案为：y=−9x．
先根据反比例函数的性质得到k<1，再根据完全平方式的特点求得k=±8，进而求得k即可求解，
本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟知完全平方式的结构是解答的关键．
14.【答案】(−4,8)
【解析】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，
∴∠B′MO=∠BNO=90°，
∵OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，
∴AN=3，
∴ON=8，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，
∴∠BOB′=90°，OB=OB′，
∴∠BOA′+∠B′OA′=∠BOA+∠BOA′，
∴∠BOA=∠B′OA′，
∴△NOB≌△MOB′(AAS)，
∴OM=ON=8，B′M=BN=4，
∴B′(−4,8)，
故答案为：(−4,8)．
过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON=8，再证明△AOB≌△A′OB′(AAS)，推出OM=ON=8，B′M=BN=4，从而求出点B′的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
15.【答案】120°
【解析】解：作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得AB=AC，则BD=CD，
在Rt△ABD中，cs∠ABC=13=BDAB，
设圆锥的底面半径BD为a，
∴圆锥的母线长为AB=3a，
设圆锥侧面展开扇形的圆心角为n°，
∴π⋅a⋅3a=nπ(3a)2360，
解得n=120．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故答案为：120°．
设圆锥的底面半径BD为a，则圆锥的母线长为AB=3a，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为n°，根据圆锥侧面积公式列方程解出即可．
本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是关键．
16.【答案】105° 34
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
当∠BAE=30°时，由折叠的性质可得∠FAE=∠BAE=30°，
∴∠DAP=90°−∠FAE−∠BAE=30°，
∴∠APD=180°−∠ADP−∠DAP=105°；
如图所示，取AE中点T，连接BT，过点B作BG⊥AE于G，过点P作PH⊥AB于H，设AB=BC=20，则BE=10，
∴AE= AB2+BE2=10 5，
∴AT=ET=5 5，
∵∠ABE=∠BGE=90°，∠AEB=∠BEG，
∴△AEB∽△BEG，
∴EGBE=BGAB=BEAE，即EG10=BG20=1010 5，
∴EG=2 5,BG=4 5，
∴TG=3 5，
由折叠的性质可得∠BAE=∠FAE，
∴∠BAP=2∠BAE，
∵AT=BT，
∴∠BAT=∠ABT，
∴∠BTG=∠BAT+∠ABT=2∠BAT=∠BAP，
又∵∠AHP=∠TGB，
∴△AHP∽△TGB，
∴PHAH=BGTG=43，
设PH=4x，AH=3x，
∵∠PBH=45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴BH=PH=4x，
∵∠BAD=∠BHP=90°，
∴PH//AD，
∴DPBP=AHBH=34，
故答案为：105°；34．
当∠BAE=30°时，由正方形的性质得到∠BAD=90°，∠ADB=45°，由折叠的性质可得∠FAE=∠BAE=30°，则可得∠DAP=30°，再利用三角形内角和定理即可求出∠APD=180°−∠ADP−∠DAP=105°；
当E为BC的中点时，取AE中点T，连接BT，过点B作BG⊥AE于G，过点P作PH⊥AB于H，设AB=BC=20，则BE=10，利用勾股定理求出AE=10 5，则AT=ET=5 5，证明△AEB∽△BEG，求出EG=2 5,BG=4 5，则TG=3 5，证明∠BAT=∠ABT，进而证明△AHP∽△TGB，得到PHAH=BGTG=43，设PH=4x，AH=3x，证明△PBH是等腰直角三角形，得到BH=PH=4x，再证明PH/​/AD，即可得到DPBP=AHBH=34．
本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
17.【答案】解：x+1≤2①6−3x>0②，
由①得：x≤1，
由②得：x<2
∴不等式组的解集为x≤1．
【解析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】证明：∵∠3=∠4，
∴∠ABC=∠ABD，
在△ABC和△ABD中，∠1=∠2 AB=AB ∠ABC=∠ABD ，
∴△ABC≌△ABD(ASA)，
∴AC=AD．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．
19.【答案】解：(1)P=(a+1a+1−2a+1)⋅3(a+1)(a+1)(a−1)
=a−1a+1⋅3(a+1)(a+1)(a−1)
=3a+1；
(2)∵方程x2+(a+1)x+32=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(a+1)2−4×1×32=0，
∴(a+1)2=6，
解得：a=± 6−1，
当a= 6−1时，P=3 6−1+1= 62，
当a=− 6−1时，P=3 6−1+1=− 62，
∴P=± 62．
【解析】(1)先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，即可求解；
(2)由根的判别式得(a+1)2−4×1×32=0，求出a，代入P，即可求解；
本题考查了分式化简，一元二次方程根的判别式；掌握分式化简的步骤，一元二次方程根的判别式：Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程有无的实数根是解题的关键．
20.【答案】50
【解析】解：(1)本次抽取的学生共有：12÷0.24=50(名)
(2)∵a=50×0.40=20，
∴平均数为：150×(3×12+4×20+5×14+6×4)=4.2．
(3)画树状图如下：
共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，
∴所选2名同学中有男生的概率为612=12．
(1)由一般的频数和频率，求本次调查的总人数；
(2)由平均数的定义即可得出答案；
(3)画树状图，共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，再由概率公式即可得出答案．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、平均数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)yA=13×6=2，
∴A(6,2)，
∴k=12
(2)∵点A与点B是关于原点成中心对称

∴B(−6,−2)，
∴不等式的解集为：−66
(3)设P(0,p)，依题意得：12×12×|p|=24|p|=4 p=±4
∴P(0,4)或P(0,−4)
【解析】(1)把A的横坐标为6代入y=13x，可得点A的坐标，再根据待定系数法，即可得到反比例函数的表达式；
(2)依据函数图象，即可得到不等式13x>kx的解集；
(3)设P(0,p)，依据S△PAB=24，列方程求解即可得到点P的坐标．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
22.【答案】解：(1)如图
∵∠EPB=60°，PE//CH，
∴∠EPB=∠PBH=60°，
∵PH⊥HC，
∴∠PHC=90°，
在Rt△BPH中，BH=10，
∴BP=PHsin60∘=10 3 32=20(米)，
∴观测点P与山脚B点之间的距离是20米．
(2)如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
∵∠EPA=15°，∠EPB=60°，
∴∠APB=∠EPB−∠EPA=45°，
∵山坡AB的坡度i=1： 3，
∴ADBD=1 3= 33，
在Rt△ABP中，tan∠ABD=ADBD= 33，
∴∠ABD=30°，
∴∠PBA=180°−∠ABD−∠PBH=90°，
在Rt△ABP中，PB=20米，
∴AP=BPcs45∘=20 22=20 2(米)，
∴观测点P与山顶点A之间的距离是20 2米．
【解析】(1)先求出∠EPB=∠PBH=60°，根据三角函数求出BP=PHsin60∘=10 3 32=20(米)即可；
(2)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，先求出∠ABD=30°，得出∠PBA=180°−∠ABD−∠PBH=90°，根据三角函数求出AP=BPcs45∘=20 22=20 2即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
23.【答案】解：(1)如图所示，∠BCD为所求．

(2)①连接OC，

∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵∠CAO=∠BCD，
∴∠ACO=∠BCD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
②设OB=a，则BD=2a，OA=OC=a，AD=4a，
在Rt△OCD中，CD= OD2−OC2= (3a)2−a2=2 2a，
∵∠BDC=∠ADC，∠BCD=∠CAD，
∴△BDC∽△CDA，
∴BCAC=CDAD=2 2a4a= 22，
在Rt△ABC中，tan∠CAB=BCAC= 22．
【解析】(1)根据作已知角的等角的方法作图即可；
(2)①连接OC，根据圆的性质可得∠CAO=∠ACO，∠ACB=90°，结合∠BCD=∠CAB，即可证明；②设OB=a，则BD=2a，OA=OC=a，AD=4a，根据勾股定理求出CD=2 2a，由∠BDC=∠ADC，∠BCD=∠CAD，可证明△BDC∽△CDA，根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了圆的相关性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，基本作图，解题的关键是灵活运用这些知识解题．
24.【答案】解：(1)∵y=−(x2+2x)+a=−(x2+2x+1−1)+a=−(x+1)2+1+a，
∴M(−1,1+a)；
(2)①作ND⊥MB于点D，如图1，

当x=0时，y=a，
∴A(0,a)，
设直线MA的解析式为y=kx+b，把A(0,a)、M(−1,1+a)代入得：
b=a−k+b=1+a，
解得k=−1b=a，
∴直线MA的解析式为y=−x+a，
联立方程组得：y=−x+ay=12x−a，
解得x=4a3y=−a3，
∴N(4a3,−a3)，
当x=−1，yB=−12−a，
∴B(−1,−12−a)，
∴S△MBN=12MB⋅ND=112(4a+3)2=43(a+34)2，
∵a>0，
∴S>43×(34)2=34，
即S>34；
②抛物线上存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
如图2，当点P在y轴左侧时，

当x=0时，y=−a，
∴C(0,−a)
∵四边形APCN是平行四边形，
∴AC与PN互相平分，N(4a3,−a3)，
∴P(−4a3,a3)；
将点P的坐标代入y=−x2−2x+a得：
a3=−169a2+83a+a，
解得a=158或a=0(不合，舍去)，
当a=158时，y=−(x+1)2+238，
当x=1时，y取得最小值−98，
∴−98≤y≤238；
②当点P在y轴右侧时，如图2，
∵四边形ACPN是平行四边形，
∴NP//ACNP=AC，
∵N(4a3,−a3)，A(0,a)，C(0,−a)，
∴P′(4a3,−7a3)
将点P′的坐标代入y=−x2−2x+a得：−7a3=−169a2−83a+a，
解得a=38或a=0(舍去)，
∴P′(12,−78)；
当a=38时，y=−(x+1)2+118，
当x=1时，y取得最小值−218，
∴−218≤y≤118．
【解析】(1)将抛物线的一般式写成顶点式即可求解；
(2)①作ND⊥MB于点D，求出直线MA的解析式，根据S△MBN=12MB⋅ND即可求解；
②分类讨论当点P在y轴左侧时，当点P在y轴右侧时，两种情况即可求解．
本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，二次函数与特殊四边形问题等知识点，掌握函数的性质是解题关键．
25.【答案】解：(1)如图1所示，过点A作AH⊥BC于H，

∵在等边△ABC中，AB=6，
∴BH=12BC=12AB=3，
∴AH= AB2−BH2=3 3，
∴A到BC的距离为3 3；
(2)如图2，以AD为边在AD左侧作等边三角形ADE，连接BF，FP，

∵△ABC，△ADF为等边三角形，
∴AB=AC，AF=AD，∠FAD=60°=∠BAC，
∴∠FAD−∠CAF=∠BAC−∠CAF，即∠BAF=∠CAD，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴∠ABF=∠ACD=180°−∠ACB=120°，BF=CD=DE，
∴∠DBF=∠ABF−∠ABC=60°，
∵∠DBF+∠CDE=180°，
∴BF/​/DE，
∴∠PBF=∠E，
∵BE=DF，∠PBE=∠F，BP=FP，
∴△BFP≌△EDP(SAS)，
∴FP=DP，
∴AP⊥DF，
∴∠APD=90°；
(3)由(2)可知，AP= 3PD，
∴CP+ 3PD=CP+AP，
如图3，作AF⊥BC于F，连接FP，
∵等边△ABC，AF⊥BC，
∴∠FAC=30°=∠PAD，BF=3，
∴AFAC= 32，
∵APAD=AFAC，∠FAP=∠CAD，
∴△AFP∽△ACD，
∴∠AFP=∠ACD=120°，
∴∠DFP=30°，
∴点P在过点F且与BC夹角为30°的直线上运动，
如图3，延长PF交AB于G，∠GFB=∠DFP=30°，
∴∠AGF=∠ABF+∠GFB=90°，BG=12BF=1.5，
如图3，作A关于FG的对称点A′，连接A′C交BE于P′，连接AP′，则AP′=A′P′，
∴A′G=AG=AB−BG=4.5，CP+AP=CP′+AP′=CP′+A′P′，
∴当C、P′、A′三点共线时，CP+AP最小，最小值为A′C，
如图3，作CH⊥AB于H，则BH=3，CH= 3BH=3 3，

∴GH=1.5，A′H=6，
由勾股定理得，A′C= A′H2+CH2=3 7，
∴CP+ 3PD的最小值为3 7，
∴PD+ 33PD的最小值为 21．
【解析】(1)如图所示，过点A作AH⊥BC于H，利用等边三角形的性质和勾股定理求出AH=3 3，则A到BC的距离为3 3；
(2)以AD为边在AD左侧作等边三角形ADE，连接BF，FP，先证明△ABF≌△ACD(SAS)，得到∠ABF=∠ACD=120°，BF=CD=DE，进而得到∠DBF=60°，证明BF//DE，得到∠PBF=∠E，进而证明△BFP≌△EDP(SAS)，得到FP=DP，则由三线合一定理可得AP⊥DF，则∠APD=90°；
(3)由(2)可知，AP= 3PD，则CP+ 3PD=CP+AP，如图3，作AF⊥BC于F，连接FP，证明△AFP∽△ACD，得到∠AFP=∠ACD=120°，则∠DEP=30°，可知点P在过点F且与BC夹角为30°的直线上运动，如图3，延长PF交AB于G，∠GFB=∠DFP=30°，则∠AGF=90°，BG=12BE=1.5，如图3，作A关于FG的对称点A′，连接A′C交BF于P′，连接AP′，则AP′=A′P′，A′G=4.5，CP+AP=CP′+A′P′，当C、P′、A′三点共线时，CP+AP最小，最小值为A′C，如图3，作CH⊥AB于H，则BH=3，则CH=3 3，A′H=6，由勾股定理得，A′C= A′H2+CH2，计算求解，然后作答即可．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，轴对称的性质，三角形外角的性质，含30°的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，轴对称的性质，三角形外角的性质，含30°的直角三角形，勾股定理是解题的关键．等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量/本
3
4
5
6
频数
12
a
14
4
频率
0.24
0.40
b
0.08