高中数学竞赛标准教材06第六章 三角函数【讲义】

这是一份高中数学竞赛标准教材06第六章 三角函数【讲义】，共10页。学案主要包含了基础知识，方法与例题，基础训练题，高考水平训练题，联赛一试水平训练题，联赛二试水平训练题等内容，欢迎下载使用。

一、基础知识
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数csα=,正切函数tanα=，余切函数ctα=，正割函数secα=,余割函数cscα=
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，csα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×csα=sinα,ctα×sinα=csα；平方关系：sin2α+cs2α=1, tan2α+1=sec2α, ct2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cs(π+α)=-csα, tan(π+α)=tanα, ct(π+α)=ctα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cs(-α)=csα, tan(-α)=-tanα, ct(-α)=ctα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cs(π-α)=-csα, tan=(π-α)=-tanα, ct(π-α)=-ctα; （Ⅳ）sin=csα, cs=sinα, tan=ctα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=csx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cs(αβ)=csαcsβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcsβcsαsinβ; tan(αβ)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincs,sinα-sinβ=2sincs,
csα+csβ=2cscs, csα-csβ=-2sinsin,
sinαcsβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],csαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
csαcsβ=[cs(α+β)+cs(α-β)],sinαsinβ=-[cs(α+β)-cs(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcsα, cs2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9 半角公式:sin=,cs=,
tan==
定理10 万能公式: , ,
定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=,csβ=，对任意的角α.
asinα+bcsα=sin(α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcsA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=csx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccsx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=csx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arcctx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程csx=a的解集是{x|x=2kxarccsa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccsa=；arctana+arccta=.
定理16 若，则sinx二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x∈(0, π), 试比较cs(sinx)与sin(csx)的大小。
【解】 若，则csx≤1且csx>-1，所以cs，
所以sin(csx) ≤0,又00，
所以cs(sinx)>sin(csx).
若，则因为sinx+csx=(sinxcs+sincsx)=sin(x+)≤<，
所以0所以cs(sinx)>cs(-csx)=sin(csx).
综上，当x∈(0,π)时，总有cs(sinx)例3 已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：
【证明】 若α+β>，则x>0，由α>-β>0得csα所以0<<1，又sinα>sin(-β)=csβ, 所以0<<1，
所以
若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得csα>cs(-β)=sinβ>0,
所以>1。又01，
所以，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期的确定。
例4 求函数y=sin(2cs|x|)的最小正周期。
【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cs(-x)=csx，所以c|x|=csx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2csx|≤2<π）,
所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cs0)=sin2sin(2csπ)，所以T0=2π。
4．三角最值问题。
例5 已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。
【解法一】 令sinx=,
则有y=
因为，所以，
所以≤1，
所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，
当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.
【解法二】 因为y=sinx+,
=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），
且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，
所以当=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时, ymax=2，
当=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时, ymin=0。
例6 设0<<π，求sin的最大值。
【解】因为0<<π，所以，所以sin>0, cs>0.
所以sin（1+cs）=2sin·cs2= ≤=
当且仅当2sin2=cs2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cs)取得最大值。
例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】 因为sinA+sinB=2sincs, ①
sinC+sin, ②
又因为，③
由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,
所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,
当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|csx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
5．换元法的使用。
例8 求的值域。
【解】 设t=sinx+csx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxcsx,
所以sinxcsx=，所以，
所以
因为t-1，所以，所以y-1.
所以函数值域为
例9 已知a0=1, an=(n∈N+)，求证：an>.
【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈，则
an=
因为，an∈，所以an=，所以an=
又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以·。
又因为当0x，所以
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).
由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。
例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。
【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cssinx=0，对任意x∈R成立。
又0≤≤π，解得=，
因为f(x)图象关于对称，所以=0。
取x=0，得=0，所以sin
所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).
又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，
综上，=或2。
7．三角公式的应用。
例11 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cs2β的值。
【解】 因为α-β∈，所以cs(α-β)=-
又因为α+β∈，所以cs(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cs(α-β)+cs(α+β)sin(α-β)=,
cs2β=cs[(α+β)-(α-β)]=cs(α+β)cs(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。
【解】 因为A=1200-C，所以cs=cs(600-C)，
又由于
=，
所以=0。
解得或。
又>0，所以。
例13 求证：tan20+4cs70.
【解】 tan20+4cs70=+4sin20
三、基础训练题
1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cs3)，则x的弧度数为___________。
2．适合-2cscx的角的集合为___________。
3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。
4．已知sinx+csx=(x∈(0, π))，则ctx=___________。
5．简谐振动x1=Asin和x2=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。
6．已知3sinx-4csx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cs(x+3)=5cs(x-4)，则1，2，3，4分别是第________象限角。
7．满足sin(sinx+x)=cs(csx-x)的锐角x共有________个。
8．已知，则=___________。
9．=___________。
10．ct15cs25ct35ct85=___________。
11．已知α,β∈(0, π), tan, sin(α+β)=，求csβ的值。
12．已知函数f(x)=在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。
四、高考水平训练题
1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________.
2. 函数f(x)=2sinx(sinx+csx)的单调递减区间是__________.
3. 函数的值域为__________.
4. 方程=0的实根个数为__________.
5. 若sina+csa=tana, a，则__________a（填大小关系）.
6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.
7. 若08. =__________.
9. ·cs·cs·cs·cs=__________.
10. cs271+cs71cs49+cs249=__________.
11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.
12. 求满足sin(x+sinx)=cs(x-csx)的所有锐角x.
13. 已知f(x)=(kA0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。
五、联赛一试水平训练题（一）
1．若x, y∈R，则z=csx2+csy2-csxy的取值范围是____________.
2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________.
3．f()=5+8cs+4cs2+cs3的最小值为____________.
4．方程sinx+csx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.
5．函数f(x)=|tanx|+|ctx|的单调递增区间是____________.
6．设sina>0>csa, 且sin>cs，则的取值范围是____________.
7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.
8．若x, y∈R, 则M=csx+csy+2cs(x+y)的最小值为____________.
9．若0<<, m∈N+, 比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1.
10．ct70+4cs70=____________.
11. 在方程组中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。
12．已知α，β，γ，且cs2α+cs2β+cs2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。
13．关于x, y的方程组有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。
14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y.
联赛一试水平训练题（二）
1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+csax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是__________.
2．若，则y=tan-tan+cs的最大值是__________.
3．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，则=__________.
4．设f(x)=x2-πx, α=arcsin, β=arctan, γ=arccs, δ=arcct, 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为__________.
5．lgsin1cs1=a, lgsin1tan1=b, lgcs1sin1=c, lgcs1tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为__________.
6．在锐角△ABC中，csA=csαsinβ, csB=csβsinγ, csC=csγsinα，则tanα·tanβ·tanγ=__________.
7．已知矩形的两边长分别为tan和1+cs(0<<π)，且对任何x∈R, f(x)=sin·x2+·x+cs≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.
8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.
9．已知当x∈[0, 1]，不等式x2cs-x(1-x)+(1-x)2sin>0恒成立，则的取值范围是__________.
10．已知sinx+siny+sinz=csx+csy+csz=0，则cs2x+ cs2y+ cs2z=__________.
11．已知a1, a2, …,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cs(a1+x)+cs(a2+x) +…+cs(an+x)。求证：若实数x1, x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ.
12．在△ABC中，已知，求证：此三角形中有一个内角为。
13．求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>.
六、联赛二试水平训练题
1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.
2. 已知a为锐角，n≥2, n∈N+，求证：≥2n-2+1.
3. 设x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求证：24．已知α，β，γ为锐角，且cs2α+cs2β+cs2γ=1，求证；π<α+β+γ<π.
5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意，恒有(x+3+2sincs)2+(x+asin+asin)2≥
6. 设n, m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x都有2|sinnx-csnx|≤3|sinnx-csnx|.
7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-csA-csB-csC的最大值。
8．求的有的实数a, 使csa, cs2a, cs4a, …, cs2na, …中的每一项均为负数。
9．已知i，tan1tan2…tann=2, n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的
1，2，…，n都有cs1+cs2+…+csn≤λ，求λ的最小值。