新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题14解三角形解答题压轴题（教师版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题14解三角形解答题压轴题（教师版），共43页。试卷主要包含了在中，.，在中，点在边上，，，中，已知.边上的中线为.等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且满足.
(1)求角；
(2)若边上的中线长为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
（1）
由正弦定理得:，
即,
即，因为，
化简得,
，.
（2）
设边上的中线为，则
所以，
即有：①
又，
由余弦定理得②
由①②得，
所以.
2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.
(1)求中线的长度；
【答案】(1)
，由正弦定理：，
由余弦定理：.
因为为中点，所以，设的夹角为，
又，
，即，
解得或，又，∴,∴；
3．（2022·辽宁·高二阶段练习）在中，.
(1)求的外接圆的面积；
(2)在下述条件中任选一个，求的长.
①是的角平分线；②是的中线.
【答案】(1)
(2)答案见解析
（1）
由余弦定理得，
即，所以，
设外接圆半径为，由正弦定理得，，
所以
所以外接圆的面积为.
（2）
若选择①，
同时.，
所以，所以.
若选择②，，
两边平方得，
所以.
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，，边上的两条中线，相交于点．
(1)求；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)3;
(2).
（1）
因为是BC上的中线，所以，
由是上的中线，所以，
.
（2）
为与夹角,,
所以
所以
.
5．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
若，，点D是BC边上的一点，且______.
求线段AD的长.
①AD是的高；②AD是的中线；③AD是的角平分线.
【答案】(1)
(2)答案见解析
（1）
在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且
，可得，
由余弦定理可得
，
（2）
选①：AD是的高，
由余弦定理得，
所以
所以根据等面积法得，
；
选②：是的中线，
，
，
，，，
；
选③：AD是的角平分线.
由于，
所以，
解得
6．（2022·全国·高三专题练习）在中，点在边上，，．
(1)若是的角平分线，求；
(2)若是边上的中线，且，求．
【答案】(1)
(2).
（1）
解：点在边上，，．是的角平分线，
在和中，由正弦定理可得，；
，，
．
（2）
解：因为是边上的中线，
设，，
，，
，
，化简可得，解得或（舍去），
．
7．（2022·河南开封·高二期末（理））在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．
(1)求角A；
(2)若AD是BC边上的中线，的面积为，求AD的最小值．
【答案】(1)
(2)
(1)
因为,
所以,
由正弦定理，得,
由余弦定理，得,
因为，所以．
(2)
因为的面积为,
所以,
所以．
因为是边上的中线,
所以,
所以
,
当且仅当，即时等号成立．
所以，即的最小值为．
8．（2022·北京·清华附中高一期末）中，已知.边上的中线为.
(1)求；
(2)从以下三个条件中选择两个，使存在且唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②；条件③.
【答案】(1)
(2)选择条件②和条件③；.
（1）
解：因为，
则，
，
又，解得：，故.
（2）
解：由（1）得，
又余弦定理得：，所以，
而条件①中，所以，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件②，条件③，解得，
由余弦定理可得，所以.
在中，由正弦定理可得，解得，
又，所以，
因为为边上的中线，所以，
在中，由余弦定理可得，解得.
故.
②三角形角平分线问题
1．（2022·江苏南通·高一期末）在中，角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)若，，求角
(2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．
【答案】(1)
(2)
（1）
解：因为，
依据正弦定理，
所以，
即，
由余弦定理变形知，
因为，所以．
因为，，
则在中，由正弦定理得：
又，
因为，所以．
（2）
法一：因为，
是的角平分线，
而，
所以，
即，
所以，
因为，，，且，故AD
当且仅当取等，
所以最大值为．
答：当时，最大值为．
法二：因为,
设，，
在，中由正弦定理知：
①，
②，
因为，所以①②得，
，
令，，
由于，
所以，易得此函数在为单调递增函数，
所以当时，最大值为．
2．（2022·福建南平·高二期末）的角，，所对的边分别为，，，点在上，
(1)若，，求；
(2)若是的角平分线，，求周长的最小值.
【答案】(1)；
(2)
(1)
解：∵，
∴，
∵，
∴
在中，由正弦定理得
即
∴.
(2)
解:解法一：∵，是的角平分线，
∴
由得
又，∴，
在中，由余弦定理得
，则
设的周长为，
由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，
得
当且仅当时等号成立，
所以的周长最小值为
解法二：∵，是的角平分线
∴
由得
又，∴
在中，由余弦定理得
设的周长为，
设，则
由基本不等式得，，当且仅当时等号成立
得，即
根据一次函数和二次函数的性质可得，
当时，单调递增.
∴
所以的周长最小值为.
3．（2022·江苏苏州·高一期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
【答案】(1)；
(2)
(1)
由正弦定理得，即，整理得，
化简得，由余弦定理得，又，则；
(2)
由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，
即，则，
所以，即，
整理得，又，解得，则，
由（1）知，则.
4．（2022·江苏宿迁·高一期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，
①的角平分线交于M，求线段的长；
②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
(1)
，则，故，所以，因为，
可得，由，所以．
(2)
①法一：在与中，
由正弦定理得，
即，故，
所以，
所以
法二：在中，由是的角平分线
所以
由知：
即，解得
②法一：由，得
又
所以．
的取值范围为；
法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由．则
因为，
所以．
所以
由，得的取值范围为
5．（2022·浙江宁波·高一期中）已知点，，O为坐标原点，函数．
(1)求函数的解析式和最小正周期；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，AD为BAC的角平分线，，，若，求△ACD面积．
【答案】(1)
(2)
(1)
∵，，
∴，，
∴
∴
(2)
∵，
∴，
∴，
即∴，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，
∴
如图，
∵AD为BAC的角平分线，，
∴，
∴，，
设，∴，
由余弦定理可知，，
∴，
∴，
∴．
6．（2022·江西·丰城九中高一期末）已知向量．令函数．
(1)求函数的最大值；
(2)中，内角的对边分别为的角平分线交于．其中，函数恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．
【答案】(1)2
(2)
（1）
，
，
的最大值为2；
（2）
由恰好为函数的最大值可得，
即，
，故，故，故，
又，
因为，故，
整理得到：，所以.
故，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为.
7．（2022·河南南阳·高一期中）记的内角的对边分别为，已知，为边上的中线，的角平分线交于点.
(1)若，求的值；
(2)若，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
(1)
在中，，，
由余弦定理，
得，解得或（舍去），
由题意得，
两边平方得
，
所以，即的值为，
(2)
因为，
所以.
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
故△ABC面积的最小值为.
8．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，，是的角平分线，求的长.
【答案】(1)；
(2).
(1)
因为，由正弦定理得.
因为，所以，所以.
即,
因为，所以，即.
(2)
由，得，即，，
可得，由，得，
所以.
9．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.
(2)若，，___________，求.
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)（1）由正弦定理得，.
因为，所以，
所以，即.
又，则，所以.
(2)
（2）选择条件①：因为，所以，
，
.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，所以，
则，
解得.
10．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点D．
(1)求角B的大小；
(2)记，的面积分别为，，在①，，②，，这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
（1）
解：因为，由正弦定理可得，
又由，
可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，可得.
（2）
解：选①：因为，，
由余弦定理可得，
整理得，解得，
因为为的平分线，令，
则，，
所以，故的值为.
选②：，，，
由，解得，
又由，由余弦定理可得，
即，可得，
又因为，可得，所以，即，
联立方程组，解得，
由为的平分线，令，
所以，，
所以，故的值为.
③三角形周长(边长）（定值，最值，范围问题）
1．（2022·广东佛山·高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)若，的面积为，D为边的中点，求的长度；
(2)若E为边上一点，且，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
（1）
因为，的面积为，
所以，
即，又，由余弦定理可得：，
即，得，
又∵D为边的中点，∴，
则
，
即，∴中线的长度为．
（2）
∵E为边上一点，，
∴，
∴，即，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当，即取等号，有最小值．
2．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
（1）
因为，由正弦定理得：，
即,即，
因为 ，所以，即，
由得：;
由得：，即，即，
由余弦定理可得：，
故，则，
令，则，解得 ，
由正弦定理得：，故的值为或；
（2）
由得：，即，
由余弦定理可得：，
即，
故，
令，则，即,
由得，故，
故，即得 ，
故的取值范围是.
3．（2022·江西·金溪一中高二阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)若，求面积的最大值；
(2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
由余弦定理有：
因为，
所以，由重要不等式有：
所以，当且仅当时，等号成立.
所以
所以面积的最大值为.
（2）
因为为锐角三角形，
所以
因为，
由正弦定理有：
由余弦定理有：
所以，解得
同理由有：
所以，解得，所以
同理由，有：
所以，解得：
所以，所以周长，
又由，有：，又，所以
所以，所以
所以周长的取值范围为 .
4．（2022·江西上饶·高一期末）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
(1)
因为，
有余弦定理可得，
即，
由正弦定理可得，
即，即，
因为，所以，
因为，所以.
(2)
如图，连接，，则，，
正面积，∴，
而，则，
在中，由余弦定理得：，
即，则，
在中，，，由余弦定理得，
则，∴，，
∴，所以的周长为.
5．（2022·江苏南京·高二期末）已知平面四边形．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________．
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． 问题：
(1)求角B；
(2)若，求的周长的取值范围；
【答案】(1)
(2)
(1)
选择①：，即，
由正弦定理得，
在中，，，，
又，且，，所以；．
选择②：
由三角形面积公式及数量积的运算知，即．
在中，，，，
又，且，，所以；．
选择③：，即
所以．
在中，，所以．
(2)
因为所以四点共圆，为直径，
所以的外接圆直径为2．，
由正弦定理得：，所以
设，
在中，．
在中，
，，
所以三角形的周长范围为
6．（2022·全国·高三阶段练习）在中，.
(1)求A；
(2)若的内切圆半径，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
（1）
在中,，
整理得，即
，于是
所以，
因为，所以，即
，
所以，又因为，所以，
所以，解得.
所以.
（2）
令，（1）知.
由，得
，即，
由余弦定理及（1）知，得
，
所以，
即，
于是
当且仅当时取等号
所以，
或
又的内切圆半径，， ，
，的最小值为.
7．（2022·全国·高一专题练习）在中，，且的角平分线与边相交于点.
（1）若求的长；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）.（2）
【详解】（1）方法一：
因为，
所以
因为，所以.
所以
所以
因为 ，
所以
方法二：由可得：
于是：
（2）设，由题意得，
所以
根据余弦定理，可得，
所以，
所以，
又由，得，
所以
所以
④三角形面积（定值，最值，范围问题）
1．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））的内角的对边分别是，且，
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．
【答案】(1);
(2).
（1）
因为，由正弦定理得，
化简得，
所以由余弦定理得，又因为，
所以.
（2）
如图所示
因为即，
化简得①,
又由余弦定理得即②，
①②联立解得（舍去）或，
所以.
2．（2022·辽宁锦州·高一期末）凸四边形是四个内角都小于的四边形．如图，凸四边形中，，，是等腰直角三角形，，设．
(1)求的取值范围；
(2)设四边形的面积为S，求的解析式，并求S的最大值．
【答案】(1)
(2)，；最大值为
【解析】(1)
由，，可得，则
由四边形中四个内角都小于，可得
又△中，
则
则，解之得
又，则
(2)
△中，
则四边形的面积
其中，，
又因为，则
所以当时，S最大值为
3．（2022·福建南平·高二期末）某学校为落实双减政策，丰富学生的课外活动，计划在校园内增加室外活动区域（如图所示），如图，已知两教学楼以直线，表示，且，是过道，是，之间的一定点路口，并且点到，的距离分别为2，6，是直线上的动点，连接，过点作，且使得交直线于点（点，分别在的右侧），设
(1)写出活动区域面积关于角的函数解析式；
(2)求函数的最小值.
【答案】(1)；
(2)
(1)
解：依题意得：点到，的距离分别为2，6即，
在中，，，
∴即，∴，
∵，∴，
在中，，，
即，，
∴
即；
(2)
解:由（1）知，
设
∵，∴
∴，∴，∴
∴函数的最小值.
4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期末）如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
(1)若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中△DEF的面积，求的取值范围.
【答案】(1)百米
(2)，
(1)
解：因为点是等腰三角形的顶点，且，，
所以，
由余弦定理可得，，解得，
又因为，
故，
在中，，，所以，
在中，由余弦定理可得，，
解得，
故，
所以连廊的长为百米．
(2)
解：设图②中的正的边长为，，
则，，
设，
则，
，
所以，
在中，由正弦定理可得，，
即，
即
即（其中为锐角，且，
所以，即；
图③中，设，，
因为，且，
所以，，，
所以，
，
所以，
所以当时，取得最大值，无最小值，即，
故
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，为的角平分线，已知，，，点E，F分别为边，上的动点，线段交于点G，且的面积是面积的一半．
(1)求边的长度；
(2)当时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
（1）
解：由，得，
因为，所以；
因为为的角平分线，所以，
所以，
，
又，所以，得，
因为，
所以；
（2）
解：设，，（，，），
因为的面积是面积的一半，
所以，
所以，①
，
由，得，
因为E，F，G三点共线，所以，即，
所以，
又，
所以
，
因为，所以，②
由①②解得，，
所以，此时点F与点C重合；
因为，
所以
所以；
由得，
所以．
6．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习（理））如图，为的中线上的点，且，过点的直线分别交，两边于点，，设，，请求出，的关系式，并记．
(1)求函数 的表达式；
(2)设的面积为，四边形的面积为，且，求实数的取值范围．
【答案】(1) .
(2) .
(1)
解：（1）因为，
所以，
又因为三点共线，所以，
所以 即，
所以，
因为，即 ，所以，
所以；
(2)
解：设的面积为，则的面积，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，
所以.
7．（2022·江苏常州·高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点.
(1)求的值；
(2)若.
①求证：平分；
②求面积的最大值及此时的长.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②最大值为3，.
(1)
因为，，
所以
.
(2)
①因为，
所以，即，
由知，，，
设，，，
在中，由正弦定理得，，
即，所以，
在中，由正弦定理得，，
即，所以，
所以，即，
所以平分；
②在中，因为，，
代入余弦定理得，，
而的面积，
解法1：因为，且为锐角，所以，
所以
，
当且仅当，取等号，
此时，，，即，，
由得，
解得.
解法2：由得，
所以，
所以当即时，面积最大为3，
此时在中，，，，
所以由余弦定理求得，
在中，由余弦定理得，
所以此时.
8．（2022·海南·海口中学高二期末）在中，角、、所对的边分别是、、．且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)，的面积为
(1)
由正弦定理及，得，
即，化简得，故．
又，故．
(2)
由（1）知，，
故
.
又，则，，
故．
(3)
∵，∴，∵，为中点，∴，
∵，∴，，∴，，
设，则，
∴，，
∴，
在直角中，，
∴当时，的面积为．
9．（2022·吉林·东北师大附中高一期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若D是AC边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
【答案】(1)；
(2)；
(3)
（1）
由，，
则，由正弦定理得，化简得，
故，又，故；
（2）
由（1）知，，故
，
又，则，，故；
（3）
易得，由，可得，
整理得，又，整理可得，令，
则，其中，当，即时，取最大值，
此时，解得，
的面积为.
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期中）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
(1)求；
(2)若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．
【答案】(1)
(2)时，S最大值为
(1)
在中，内角所对的边分别是，已知．
由正弦定理得：，又，
，
，，
，，．
(2)
，，是等边三角形，设，，
，，，，
由余弦定理得，
，，当，即时，
平面四边形的面积取最大值．