【期中复习】人教B版2019 2023-2024学年必修第三册高一下册数学 专题02 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（考点梳理）.zip

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【考点题型一】利用同角三角函数的基本关系知一求二
求三角函数值的方法
(1)已知sinθ(或csθ)求tanθ常用的求解方法
(2)已知tanθ求sinθ(或csθ)常用的求解方法
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
【例1】（22-23高一下·北京昌平·期中）已知，，则
【答案】
【分析】根据角的范围和同角三角函数关系即可得到答案.
【详解】因为，
可得，
故答案为：.
【变式1-1】.（22-23高一下·四川宜宾·期中）已知 ，其中，的值为（ ）
A．－B．－C．D．
【答案】A
【分析】利用平方关系计算的值，并根据角的象限判断符号即可.
【详解】因为为第四象限角，
所以.
故选：A.
【变式1-2】.（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，且，则 ；
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式，先求出，然后求得.
【详解】因为，且，所以，
则.
故答案为：.
【变式1-3】.（22-23高一上·北京朝阳·期中）根据下列条件，求三角函数值
(1)已知，且为第二象限角，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)，
(2)，或，
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式得到关于、的方程组，再结合角所在象限进行求解.
【详解】（1）因为，且，
所以，又为第二象限角，
则，；
（2）因为，
所以，且是第二、四象限角；
联立，得，
当是第二象限角时，，；
当是第四象限角时，，；
所以，或，.
【变式1-4】．（21-22高一下·贵州黔东南·期中）若，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出，再利用平方关系和商数关系求解.
【详解】解：由得，∴或，
因为，，所以.
由及得，∴，
所以．
故选：A
【考点题型二】正余弦齐次式的计算
已知角α的正切求关于sinα，csα的齐次式的值的方法
(1)关于sinα，csα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，csα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以csα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cs2α来代换，将分子、分母同除以cs2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
【例2】．（22-23高一下·新疆伊犁·期中）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，再可求出的值；
（2）利用化简，再代值计算即可.
【详解】（1）且，
，
.
（2），
.
【变式2-1】．（22-23高一下·四川达州·期中）已知
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将条件等式变形，用正切表示，求得的值；
（2）首先利用，将原式写成齐次分式的形式，再利用正切表示，即可化简求值.
【详解】（1）由，得，即．
（2）因为，
所以
.
【变式2-2】．（22-23高一下·四川自贡·期中）已知，求下列各式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得，将要求的表达式转化只含的形式，由此求得表达式的值.
（2）利用“”的代换的方法求得表达式的值.
【详解】（1）由于，所以，
所以.
（2）
.
【变式2-3】．（22-23高一下·上海静安·期中）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系将正余弦化为正切求解即可
【详解】由，得，
所以，解得，
故答案为：
【变式2-4】．（22-23高一下·辽宁大连·期中）我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，分别求得，结合，求得，结合，即可求解.
【详解】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，
因为是直角三角形较小的锐角，所以，
可得，
则，
即，
解得或（舍去），
所以.
故选：C.
【考点题型三】sinαcsα与sinαcsα关系的应用
已知sinα±csα的求值问题的解题方法
对于已知sinα±csα的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：
(1)用sinα表示csα(或用csα表示sinα)，代入sin2α＋cs2α＝1，根据角α的终边所在的象限解一元二次方程得sinα的值(或csα的值)，再求其他．
(2)利用sinα±csα的值及sin2α＋cs2α＝1，先求出sinαcsα的值，然后结合sinα±csα的值求出sinα，csα的值，再求其他．
【例3】．（22-23高一下·贵州遵义·期中）已知为第四象限角，且，则 .
【答案】/
【分析】判断出的符号，结合可求得的值.
【详解】因为为第四象限角，则，，则，
因为，
将代入上式可得，
因此，.
故答案为：.
【变式3-1】．（20-21高一下·上海黄浦·期中）已知，，则 .
【答案】
【分析】将两边平方，结合平方关系可求得，从而可得的符号，再利用平方关系即可得解.
【详解】解：因为，
所以，则，
又，所以，
则，
解得或（舍去）.
故答案为：.
【变式3-2】．（23-24高三上·广东广州·期中）若，，则 ．
【答案】/
【分析】对等式两边同时平方可得，可求得，进而求出，即可求出.
【详解】由题意知，，等式两边同时平方，
得，即，
所以，
又，所以，所以，
由，解得，
所以.
故答案为：.
【变式3-3】．（22-23高一下·宁夏吴忠·期中）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将已知等式两边平方，求出的值，结合，可知为第二象限角，可得的值；
（2）由（1）知的值，与已知等式联立可求出的值，则的值可求.
【详解】（1）把平方后得，1+2sin，可得2sin=，
由，可得，，有所以