第4章 因式分解 浙教版数学七年级下学期单元分类专项训练(含解析)

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第4章因式分解（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题（2023春·浙江·七年级专题练习）1．将多项式分解因式正确的结果为（　　）A． B．C． D．（2023春·七年级单元测试）2．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（　　）A． B． C． D．（2023春·七年级单元测试）3．若，则的值是（　　）A．0 B．2 C．3 D．4（2023春·浙江·七年级专题练习）4．把因式分解时，应提取的公因式是（    ）A． B． C． D．（2023春·浙江·七年级专题练习）5．下列各式中，不能进行因式分解的是（    ）．A． B． C． D．（2023春·七年级单元测试）6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ）A． B．C． D．二、填空题（2023春·七年级单元测试）7．若，则的值为 ．（2023春·浙江·七年级专题练习）8．分解因式： ．（2023春·浙江·七年级专题练习）9．因式分解： ．（2023春·浙江·七年级专题练习）10．分解因式： ．（2023春·七年级单元测试）11．将分解因式的结果为 ．（2023春·浙江·七年级专题练习）12．若，，则 ．（2023春·浙江·七年级专题练习）13．分解因式： ．（2023春·浙江·七年级专题练习）14．把多项式分解因式的结果是 ．（2023春·浙江宁波·七年级宁波市第十五中学校考期中）15．若，则的值为 ．三、解答题（2023春·浙江·七年级专题练习）16．因式分解：(1)．(2)．（2023春·浙江·七年级专题练习）17．【常考】一．选择题（共7小题）（2022春•上城区校级期中）18．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4C．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）（2022春•衢州期中）19．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（   ）A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解（2022春•乐清市校级期中）20．不论,为任何实数， 的值总是（     ）A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数（2022春•上虞区期末）21．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ）A．x2+4y2 B．3x2﹣4y C．﹣+ D．﹣﹣（2022春•上虞区期末）22．下列因式分解结果正确的是（  ）A． B．C． D．（2022春•杭州期中）23．若，则的值是（    ）A．8 B．12 C．16 D．32（2022春•西湖区校级期中）24．如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（    ）  A． B． C． D．二．填空题（共10小题）（2022春•乐清市校级期中）25．二次三项式是一个完全平方式，则的值是 ．（2022春•定海区期末）26．因式分解： ．（2022春•钱塘区期末）27．因式分解： ．（2022春•鄞州区校级期中）28．若，则的值为 ．（2022春•新昌县期末）29．因式分解 ．（2022春•象山县校级期中）30．计算：1012﹣992＝ ．（2013•衡阳）31．已知a+b=2,ab=1,则a2b+ab2的值为 .（2022春•象山县校级期中）32．如果，则代数式的值为 ．（2022春•柯桥区月考）33．如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE= .（2020秋•东坡区月考）34．已知x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，则x的值为 ．【易错】一．选择题（共4小题）（2022春•象山县校级期中）35．下列从左到右的变形属于因式分解的是(　　)A． B． C． D． （2022秋•慈溪市月考）36．若实数满足，则的最大值为（        ）A．1 B． C．2 D．（2022春•诸暨市期中）37．多项式可因式分解成，其中，，均为整数，的值为（    ）A． B． C． D．（2022春•西湖区校级月考）38．因式分解：2x3﹣8x＝（    ）A．x（2x2﹣8） B．2（x3﹣4x）C．2x（x+2）（x﹣2） D．2x（x2﹣4）二．填空题（共9小题）（2022•鹿城区二模）39．分解因式：＝ ．（2022•鄞州区自主招生）40．若多项式含有因式和，则 ．（2022春•镇海区校级期中）41．已知，则 ．（2022春•诸暨市期中）42．分解因式 ．（2022•龙港市模拟）43．因式分解：2a2﹣8= ．（2022•瑞安市开学）44．分解因式：25x2﹣16y2＝ ．（2022春•杭州期中）45．分解因式： ．（2022•宁波自主招生）46．已知，为实数，满足，则的值为 ．（2022春•嵊州市期中）47．已知x2﹣3x＝2，那么多项式x3﹣x2﹣8x+9的值是 ．三．解答题（共6小题）（2022春•海曙区校级期中）48．分解因式：(1)；(2)．（2022春•江干区校级期中）49．因式分解：(1)；(2)．（2022春•金东区期末）50．因式分解：(1)(2)（2022•仙居县校级开学）51．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，原式第一步第二步第三步第四步回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．A、提取公因式                 B．平方差公式C、两数和的完全平方公式     D．两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底___________．(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．（2022春•南浔区期末）52．小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下：．(1)请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案；(2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．（2021秋•鲤城区校级期中）53．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若是多项式的一个因式，求的值；(2)若和是多项式的两个因式，试求，的值．(3)在（2）的条件下，把多项式因式分解．【压轴】一、单选题（2023春·七年级单元测试）54．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　）A．45 B．63 C．54 D．不确定（2023春·浙江·七年级期末）55．已知，，，则代数式的值为（   ）A．0 B．1 C．2 D．3（2023春·浙江·七年级期末）56．已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（　　　）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（2023春·七年级单元测试）57．已知关于x的多项式，下列四个结论：①当时，，则；②若，则多项式有一个因式是；③若，则多项式的最小值是0；④若，则．其中正确的是 （填写序号）．（2023春·浙江·七年级期末）58．若多项式可化为的形式，则单项式可以是 ．（2023春·浙江·七年级专题练习）59．已知，，那么 ， ．（2023春·浙江·七年级专题练习）60．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有 种．三、解答题（2020春·浙江杭州·七年级阶段练习）61．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式；例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：_________．（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．（2023春·七年级单元测试）62．(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①  __________；②  __________．(3)【探究与拓展】对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①  分解因式__________；②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．（2023春·浙江·七年级专题练习）63．若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”．(1)求证：对任意“好数”，一定为20的倍数．(2)若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值．（2023春·七年级单元测试）64．观察下列各式，解答问题：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…第n个等式：______．（n为整数，且）【尝试】(1)根据以上规律，写出第4个等式：______；【发现】(2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性；【应用】(3)利用以上规律，直接写出的值为______．(4)利用以上规律，求的值．（2023春·浙江·七年级专题练习）65．阅读理解并填空：（1）为了求代数式的值，我们必须知道的值．若，则这个代数式的值为_________，若，则这个代数式的值为_________，．．．．可见，这个代数式的值因的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．（2）把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：，因为是非负数，所以这个代数式的最小值是_________，此时相应的的值是_________．（3）求代数式的最小值，并写出相应的的值．（4）求代数式的最大值，并写出相应的的值．（2023春·浙江·七年级期末）66．材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时．例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，．材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试说明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t．（2023春·七年级单元测试）67．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．(1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．（2023春·浙江·七年级专题练习）68．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题．(1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数；(2)分解因式：；(3)已知实数，满足，求的最小值．参考答案：1．C【分析】二次项系数看成，常数项看成，利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：故选：C．【点睛】本题考查了用十字相乘法分解因式，正确理解因式分解的定义，注意各项系数的符号是解题的关键．2．D【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可．【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式进行分解，故此选项不符合题意；B、第一项不能写成平方的形式，不能用平方差公式进行分解，故此选项不符合题意；C、不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项不符合题意；D、能用平方差公式进行分解，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．3．D【分析】把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．【详解】解：∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键在于将所求代数式部分因式分解．4．D【分析】根据公因式的概念（多项式各项都含有的相同因式），即可求解．【详解】由题意得应该提取的公因式是：故选：D．【点睛】本题考查因式分解中公因式的概念，解题的关键是掌握公因式的概念．5．D【分析】根据分解因式的方法求解即可．【详解】解：A、，可以因式分解，不符合题意；B、，可以因式分解，不符合题意；C、，可以因式分解，不符合题意；D、不可以因式分解，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．6．C【分析】根据因式分解的定义解答即可．【详解】A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．7．1【分析】根据因式分解的应用即可求解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了因式分解的应用，本题的解题关键是，把代入即可得出答案．8．【分析】把多项式分成两部分，分别利用公式法和提取公因式法进行因式分解即可．【详解】解：原式．故本题答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的分组分解法，熟练运用公式法和提取公因式法，把多项式的每一项正确分组是解决问题的关键．9．【分析】利用完全平方公式即可因式分解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用完全平方公式是解决本题的关键．10．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．11．【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．12．【分析】先把分解因式，再整体代入进行计算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是利用因式分解求解代数式的值，掌握“提公因式的方法分解因式”是解本题的关键．13．##【分析】先根据整式的乘法去括号，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的关键．14．【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．1【分析】先把前两项提取公因式m得，整体代入后，再整体代入，即可得出结果．【详解】解：∵，∴故答案为：1．【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法把多项式进行因式分解，分步整体代入计算是解决问题的关键．16．(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解．【详解】（1）解：；（2）【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法的综合运用．17．【分析】观察原式特点，先给原式后三项添括号，利用完全平方公式化为，再利用平方差公式分解因式即可解答．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了分组分解法、公式法分解因式，熟记完全平方公式和平方差公式，能正确的将多项式分组是解答的关键．18．D【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【详解】A、是多项式乘法，故A选项错误；B、右边不是积的形式，x2-4x+4=（x-2）2，故B选项错误；C、右边不是积的形式，故C选项错误；D、符合因式分解的定义，故D选项正确；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是正确理解因式分解的概念，属于基础题型．19．D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】解：①，从左到右的变形是整式的乘法；②，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D．【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．20．A【详解】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，不论x,y为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．21．C【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．【详解】A．x2+4y2不能运用平方差公式分解，故此选项不符合题意，B．3x2﹣4y不能运用平方差公式分解，故此选项不符合题意，C．﹣+=（）（），能运用平方差公式分解，故此选项符合题意，D．﹣﹣不能运用平方差公式分解，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题是对因式分解中平方差公式的考查，熟练掌握平方差公式是解题关键．22．B【分析】根据因式分解的方法进行计算即可判断．【详解】解：A、，故该选项不符合题意；B、，故该选项符合题意；C、结果不是整式的积，故该选项不符合题意；D、， 故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．23．C【分析】根据平方差公式可得=（s+t）（s-t）+8t，把s+t=4代入可得原式=4（s-t）+8t=4（s+t），再代入即可求解．【详解】∵s+t=4，∴=(s+t)(s−t)+8t=4(s−t)+8t=4(s+t)=16，故选C.【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于掌握平方差公式.24．B【分析】根据图形是长方形列面积式子，又得到该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成，由此列出面积等式.【详解】∵四边形是一个长方形，∴该长方形的面积=，∵该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成，∴该图形的面积=，∴=，故选：B.【点睛】此题考查因式分解与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的关键.25．【分析】先根据两平方项确定出这两个数是和，再根据完全平方式的特点求解即可．【详解】解：∵，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题是完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．26．【分析】用提公因式法分解即可．【详解】解：；故答案为：；【点睛】此题主要考查了提公因式法因式分解，解题的关键是找准公因式．27．【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．【详解】解：【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．28．3【分析】根据，将式子进行变形，然后代入求出值即可．【详解】∵ ，∴=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用已知代数式求值．29．【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【详解】解：（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．30．400【分析】直接利用平方差公式分解因式进而计算得出即可．【详解】解：1012-992=（101+99）×（101-99）=400．故答案为400．【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键．31．2【详解】解：∵a+b=2，ab=1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2．故答案为：232．【分析】把代数式变形整理成的形式，再运用整体代入法求解．【详解】解：，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，对前两项提取公因式是解题的关键，然后利用“整体代入法”求代数式的值．33．2【分析】设出两个正方形的边长.利用已知条件列出方程,利用平方差公式即可解题.【详解】解：设大正方形的边长为x,小正方形的边长为y,依题意得：4x+4y=20,即x+y=5,x2-y2=10,化简得（x-y）(x-y)=10,将x+y=5代入上式得x-y=2,由图可知,BE= x-y=2.【点睛】本题考查了平方差的实际应用,属于简单题,用方程的思想解题,熟练运用平方差是解题关键.34．1753【分析】设，再由平方差公式分解因式，结合x为自然数，可得与的值，解方程组即可得a与b的值，从而由可解得x的值．【详解】解：∵x为自然数，且x+11与x-72都是一个自然数的平方，∴设，∵，∴，∴，解得：，∵，∴，故答案为：1753．【点睛】本题考查因式分解的应用，掌握平方差公式是解答本题的关键．35．D【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、该式子的右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、该式子的右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、该式子是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．36．D【分析】根据，得出，根据已知条件，求得，即可求解．【详解】∵，当时，取得最大值，又，∴，∴的最大值为为．故选D．【点睛】本题考查了绝对值的性质，不等式的性质，解一元二次方程，掌握绝对值不等式的性质是解题的关键．37．D【分析】根据已知可得，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，从而可得，，，进而求出的值，进行计算即可解答．【详解】解：， ，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．38．C【分析】先提公因式2x，再利用平方差公式继续分解即可解答．【详解】解：2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2），故选：C．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．39．【分析】利用提公因数法即可得出答案．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因数分解的提公因式法是解题的关键．40．【分析】根据题意构建关于m，n的方程组，求解后代入计算即可．【详解】解：由题意得，整理，解得，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了运用因式分解和方程组进行整式求值的问题，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地变形、计算．41．-3【分析】简单的因式分解，把等式化成含字母的代数式等于整数的形式，再把第二个代数式通过简单变形后，运用代入法，把数据带入式子化简整理后正好去除字母得到结果．【详解】∵，等式变形后，即：把代数式变形后把代入上式，得原式故答案为：．【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是将已知等式进行化简，找到与待求式子之间的关系．42．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．43．2（a+2）（a－2）．【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）．故答案为2（a+2）（a－2）．考点：因式分解．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．44．##【分析】利用平方差公式计算即可．【详解】解：原式==，故答案为：．【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特征是解题的关键．45．【分析】原式变形后，利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．46．【分析】对所给条件进行因式分解，分别求出与的值，再利用完全平方公式进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，解得：或，当时，，当时，，，整理得：，，∴此方程无解；综上所述，的值为，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．47．13【分析】将多项式变形，然后将x2﹣3x＝2代入计算即可求解．【详解】解：∵x2﹣3x＝2，∴x3﹣x2﹣8x+9．故答案为：13．【点睛】本题考查了因式分解的应用，整体代入是解题的关键．48．(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．【详解】（1）解：；（2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．49．(1)(2)【分析】（1）利用平方差公式，进行分解即可解答；（2）利用完全平方公式，进行分解即可解答．【详解】（1）解： ；（2）解：．【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键．50．(1)(2)【分析】（1）利用提公因式法直接提出公因式即可求解；（2）先将y-x转变为-（x-y），再用提公因式法因式分解，最后用平方差公式因式分解即可得出答案．【详解】（1）解：；（2）解：【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题的关键．51．(1)(2)不彻底；(3)，见解析【分析】（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）还可以分解，所以是不彻底．（3）按照例题的分解方法进行分解即可．【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式故选：C；（2）还可以分解，分解不彻底；故答案为：不彻底；；（3）设．．【点睛】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照题干提供的方法和样式解答即可．52．(1)；；(2)能，【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可（2）先求正确答案与的和，再因式分解即可．【详解】（1），，∴原题为.则答案为：（2），能因式分解：【点睛】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则时解题关键．53．(1)(2)，(3)【分析】（1）将代入多项式并使多项式等于，求；（2）将和分别代入多项式并使多项式等于，解二元一次方程组，求，；（3）将（2）中解得的，的值代入多项式，然后进行因式分解即可．【详解】（1）解：是多项式的一个因式，当时，，解得；（2）和是多项式的两个因式，，解得．，．（3）解：由（2）得即为，．【点睛】本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键．54．B【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），∴n﹣2＝9，m＝，∴n＝11，m＝63．故选：B．【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键．55．D【分析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.【详解】∵，，，∴，，，∴故选D.【点睛】本题考查利用完全平方公式因式分解，解决本题时①将原代数式分三部分，每一部分利用完全平方公式因式分解，②再根据已知条件计算出a-b,b-c,a-c的值，整体代入.56．D【分析】将原式变形为，因式中含有3，所以得到，而不能被3整除，所以得到，解得b=1，a+2c=6，进而得到，根据三个数均为自然数，解得，此时分类讨论a和c的值即可求解．【详解】原式=∵式中有乘数3的倍数∴∵不能被3整除∴原式中只能有1个3∴原式化为∴∴∵是自然数∴解得当时，，得；当时，，得；当时，，得；当时，，得；故选D．【点睛】本题考查了乘方的应用，同底数幂乘法的应用，因式分解，重点是掌握相关运算法则．57．①②④【分析】①将代入，即可判断；②当时，，即可判断；③，根据平方的非负性，即可判断；④当时，；时，，则，即可判断．【详解】①将代入，得，所以①正确；②若，则当时，，则多项式有一个因式是；所以②正确③，时，时，∴若，则多项式的最值是0，所以③错误；④∴当时，当时，∴∴所以④正确故答案为：①②④【点睛】本题考查多项式求值、平方的非负性，因式分解的应用，解题的关键是明确．58．或或或【分析】根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k即可．【详解】解：①当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：，即，∴；②当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：，即，∴，解得：；③当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：，即，∴，解得：；故答案为：或或或．【点睛】此题考查了运用完全平方公式分解因式．掌握完全平方公式和分类讨论是解此题的关键．59． -1 0【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论．【详解】解：∵，，∴∴，∴，∴∴∵m≠2n，∴∴m＋2n＝−1；∵，∴，∴．∵，∴，∴．∴．故答案是：−1；0．【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键．60．9【分析】设A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，且x、y、z为正整数，，拼接成的大长方形的长和宽为和，其中m、n、s、t为正整数，则根据面积相等有：，进而得到，且m、n与s、t具有对称性，先固定长方形的一条边，去讨论另一条边，如此依次分类讨论，即可求解．【详解】设A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，且x、y、z为正整数，，拼接成的大长方形的长和宽为和，其中m、n、s、t为正整数，则根据面积相等有：，展开：，即有：，即，且m、n与s、t具有对称性，先固定长方形的一条边，去讨论另一条边，如此依次分类讨论：①当m=1，n=1时，由，得，当s=1，t=5时，，即x=1，y=5，z=6，此时A类卡片1张，B类卡片5张，C类卡片6张；当s=5，t=1时，，即x=5，y=1，z=6，此时A类卡片5张，B类卡片1张，C类卡片6张；当s=2，t=4时，，即x=2，y=4，z=6，此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；当s=4，t=2时，，即x=4，y=2，z=6，此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；当s=3，t=3时，，即x=3，y=3，z=6，此时A类卡片3张，B类卡片3张，C类卡片6张；②当m=1，n=2时，由，得，当s=1，t=3时，，即x=1，y=6，z=5，此时A类卡片1张，B类卡片6张，C类卡片5张；当s=3，t=1时，，即x=3，y=2，z=7，此时A类卡片3张，B类卡片2张，C类卡片7张；当s=2，t=2时，，即x=2，y=4，z=6，此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；（重复，舍去）③当m=1，n=3时，由，得，当s=1，t=2时，，即x=1，y=6，z=5，此时A类卡片1张，B类卡片6张，C类卡片5张；（重复，舍去）当s=2，t=1时，，即x=2，y=3，z=7，此时A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张；③当m=1，n=5时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=1，y=5，z=6，此时A类卡片1张，B类卡片5张，C类卡片6张；（重复，舍去）④当m=2，n=1时，由，得，当s=1，t=3时，，即x=2，y=3，z=7，此时A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张；（重复，舍去）当s=3，t=1时，，即x=6，y=1，z=5，此时A类卡片6张，B类卡片1张，C类卡片5张；当s=2，t=2时，，即x=4，y=2，z=6，此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑤当m=2，n=2时，由，得，当s=1，t=2时，，即x=2，y=4，z=6，此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；（重复，舍去）当s=2，t=1时，，即x=4，y=2，z=6，此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑥当m=2，n=4时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=2，y=4，z=6，此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑦当m=3，n=1时，由，得，当s=1，t=2时，，即x=3，y=2，z=7，此时A类卡片3张，B类卡片2张，C类卡片7张；（重复，舍去）当s=2，t=1时，，即x=6，y=1，z=5，此时A类卡片6张，B类卡片1张，C类卡片5张；（重复，舍去）⑧当m=3，n=3时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=3，y=3，z=6，此时A类卡片3张，B类卡片3张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑨当m=4，n=2时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=4，y=2，z=6，此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；（重复，舍去）⑩当m=5，n=1时，由，得，当s=1，t=1时，，即x=5，y=1，z=6，此时A类卡片5张，B类卡片1张，C类卡片6张；（重复，舍去）综上：共计有9种方案，故答案为：9．【点睛】本题主要是考查了根据几何图形列列代数以及分解因式的知识，依据未知数是正整数乘积为12,是解答本题的关键．解答此题需要注意分类讨论的思想．61．（1）（m+1）（m-5）；（2）a=2，b=-3，最小值为5；（3）a=4，b=3，最小值为20【分析】（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解因式；（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28转化为（a-b-1）2+（b-3）2+18，然后利用非负数的性质进一步得最小值．【详解】解：（1）m2-4m-5=（m2-4m+4）-9=（m-2）2-32=（m-2+3）（m-2-3）=（m+1）（m-5），故答案为：（m+1）（m-5）；（2）a2+b2-4a+6b+18=（a2-4a+4）+（b2+6b+9）+5=（a-2）2+（b+3）2+5，∴当a=2，b=-3时，a2+b2-4a+6b+28有最小值为5；（3）a2-2ab+2b2-2a-4b+30=a2+（-2ab-2a）+（b2+2b+1）+（b2-6b+9）+20=a2-2a（b+1）+（b+1）2+（b-3）2+20=（a-b-1）2+（b-3）2+20，当a=4，b=3时，原式取最小值20．∴当a=4，b=3时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28有最小值20．【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．62．(1)(2)；(3)；43或【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．故答案为：．（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．故答案为：．②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，所以．故答案为：．（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，所以．故答案为：．②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，所以m=或m=，故m的值为43或-78．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．63．(1)见解析(2)【分析】（1），，且为整数，即可得出结论；（2）根据题意得，分别取，2，3，4，5，6时，求出，为正整数时的的值，即可求出最大值．【详解】（1）证明：设，，且为整数，∴∵，且为整数，∴是正整数，∴一定是20的倍数；（2）∵，且，为正整数，∴，当时，，没有满足条件的，，当时，，∴满足条件的有或，解得或，∴或，当时，，没有满足条件的，，当时，，∴满足条件的有，解得，∴，当时，，没有满足条件的，，当时，，∴满足条件的有或，解得或，∴或，∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为．【点睛】本题考查了因式分解的应用，理解“好数”和“友好数对”的含义并进行应用是解决本题的关键．64．(1)；(2)，证明见解析；(3)4045；(4)9800【分析】（1）根据规律即可求解；（2）根据规律可以得到第n个等式为，再根据整式的运算即可证明结论正确性；（3）根据（2）的结论即可得到；（4）逆用规律将原式变形为，再去括号进行计算得到，利用平方差公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：根据以上规律，第4个等式为；故答案为：；（2）解：根据这个规律猜想第n个等式为；证明：，∴猜想正确；（3）解：根据以上规律，；故答案为：4045；（4）解：=．【点睛】本题考查了平方差公式，整式的规律性问题，整式的运算，运用平方差公式进行因式分解简化计算等知识，理解题意，找出规律是解题关键．65．（1）6；11；（2）2；-1；（3）最小值是-1，相应的x的值是6；（4）最大值是21，相应的x的值是-3．【分析】（1）把x=1和x=2分别代入代数式x2+2x+3中，再进行计算即可得出答案；（2）根据非负数的性质即可得出答案；（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；（4）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．【详解】解：（1）把x=1代入x2+2x+3中，得：12+2+3=6；若x=2，则这个代数式的值为22+2×2+3=11；故答案为6；11；（2）根据题意可得：x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，∵（x+1）2是非负数，∴这个代数式x2+2x+3的最小值是2，相应的x的值是-1．故答案为2；-1；（3）∵x2-12x+35=（x-6）2-1，∴代数式x2-12x+35的最小值是-1，相应的x的值是6；（4）∵-x2-6x+12=-（x+3）2+21，∴-x2-6x+12的最大值是21，相应的x的值是-3．【点睛】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．66．（1），；（2）见解析；（3）2772，5445【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；（2）根据题意即可得到结论；（3）设，均为正整数，且，另一个“南麓数”为，均为正整数，且，根据“南麓数”的特征即可得到结论．【详解】解：（1）由题意可得：，；（2）若10是“雪松数”，则可设，均为正整数，且，则，又，，均为正整数，，，或，解得：或，与，均为正整数矛盾，故10不是雪松数；（3）设，均为正整数，且，另一个“南麓数”为，均为正整数，且，则，，整理得，，，，均为正整数，，经探究，，符合题意，的值分别为：2772，5445．【点睛】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．67．(1)(2)(3)，(4)(5)252(6)【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；（3）根据长方体的体积公式即可得；（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，拼图前后图形的面积不变，，可得一个多项式的分解因式为，故答案为：．（2）解：由题意，得到的几何体的体积为，故答案为：．（3）解：，长方体②的体积为，，长方体③的体积为，故答案为：，．（4）解：由（2）和（3）得：，则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，故答案为：．（5）解：，，．（6）解：由（4）可知，，则，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．68．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；（2）先利用配方法再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）先表示出，再表示出，再利用配方法求解即可．【详解】（1）解：==，∵，，∴x，y取任何实数时，多项式的值总为正数；（2）解： = ==；（3）解：∵，∴，∴，∴当a=2时，a+b有最小值为1，∴a+b的最小值为1．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式即平方差公式是解答此题的关键．