2022-2023学年安徽省芜湖市中华艺术学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省芜湖市中华艺术学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.使角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则225°是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
2.已知tanα=2，sinα−4csα5sinα+2csα=．( )
A. −16B. 16C. 79D. −79
3.已知sin(α−π4)=13，则cs(π4+α)的值等于( )
A. −13B. 13C. −2 23D. 2 23
4.在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°
5.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6ω+π6)(0<ω<π)图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)关于点(5π12,0)对称
C. f(x)在(−π12,π4)上单调递增
D. 若f(x)在区间[−π12,a)上存在最大值，则实数a的取值范围为(π6,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
6.下列命题正确的有( )
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D. 若A，B，C，D是不共线的四点，且AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形
7.下列正确的是( )
A. sin158°cs48°+cs22°sin48°=1B. sin20°cs110°+cs160°sin70°=1
C. 1+tan15°1−tan15∘= 3D. sin74°cs14°−cs74°sin14°= 32
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<−π2)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y=g(x)的图象，则( )
A. φ=−5π6
B. g(x+π3)为偶函数
C. g(x)的图象关于直线x=2π3对称
D. g(x)在区间(2π3,π)上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9.函数y=tan(2x−π6)的定义域为______．
10.已知α，β为三角形的两个内角，csα=17，sin(α+β)=5 314，则β= ______．
11.已知关于x的方程2sin(2x+π6)−m=0在(π2,π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题10分)
已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(−8,m)，且sinα=−35．
(1)求m的值；
(2)求2cs(3π2+α)+cs(−α)sin(5π2−α)−cs(π+α)的值．
13.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+ 3cs2x，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调区间．
14.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,B>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的23(纵坐标不变)，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移π36个单位，得到函数y=g(x)的图象，若x∈[0,π2]，求函数y=g(x)的值域．
15.(本小题12分)
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y(单位：m)(在水面下则y为负数)，若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t(单位：min)之间的关系为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2).
(Ⅰ)求A，ω，φ，b的值；
(Ⅱ)盛水筒出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为第三象限角的范围为{α|180°+360°k<α<270°+360°k,k∈Z}，
若α=225°，则k=0，180°<225°<270°，
所以225°是第三象限角．
故选：C．
利用第三象限角的范围即可做出判断．
本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．
【解答】
解：∵tanα=2，sinα−4csα5sinα+2csα=tanα−45tanα+2=2−410+2=−16．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：∵sin(α−π4)=13，
∴cs(π4+α)=sin[π2−(π4+α)]=sin(π4−α)=−sin(α−π4)=−13．
故选：A．
运用诱导公式即可化简求值．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为π2，即90°．
故选：B．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为y=2sin(ωx+π6ω+π6)图象恰好关于y轴对称，即y=2sin(ωx+π6ω+π6)为偶函数，
所以π6ω+π6=(2k−1)π2,k∈Z，解得ω=6k−4，k∈Z，
又因为0<ω<π，所以k=1，ω=2，f(x)=2sin(2x+π2)=2cs2x，
选项A：f(x)的最小正周期为T=2π|ω|=π，正确；
选项B：由f(5π12)=2cs(2×5π12)=2cs5π6=− 3可得(5π12,0)不是f(x)的对称中心，错误；
选项C：当x∈(−π12,π4)时，2x∈(−π6,π2)，
所以由余弦函数的图象可得f(x)=2cs2x在(−π12,0)单调递增，在(0,π4)单调递减，错误；
选项D：当x∈[−π12,a)时，2x∈[−π6,2a),
若f(x)在区间[−π12,a)上存在最大值，则2a>0，解得a>0，
即实数a的取值范围为(0,+∞)，错误．
故选：A．
利用三角函数图象的对称性及诱导公式求得f(x)的解析式，再结合三角函数的性质对选项逐一判断即可．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】AD
【解析】解：方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
单位向量方向可以不同，故B错误；
向量可以平移，即使两个向量相同，它们的起点、终点可以不同，故C错误；
若A，B，C，D是不共线的四点，且AB=DC，
则AB//DC，|AB|=|DC|，
故四边形ABCD是平行四边形，故D正确．
故选：AD．
根据已知条件，结合相反向量、单位向量，向量相等的定义，即可依次判断．
本题主要考查相反向量、单位向量，向量相等的定义，属于基础题．
7.【答案】CD
【解析】解：对于A选项，sin158°cs48°+cs22°sin48°=sin(180°−22°)cs48°+cs22°sin48°=sin22°cs48°+cs22°sin48°=sin(22°+48°)=sin70°≠1，A错；
对于B选项，sin20°cs110°+cs160°sin70°=sin20°cs(90°+20°)+cs(180°−20°)sin(90°−20°)=−sin220°−cs220°=−1，B错；
对于C选项，1+tan15°1−tan15∘=tan45°+tan15°1−tan45∘tan15∘=tan(45°+15°)=tan60°= 3，C对；
对于D选项，sin74°cs14°−cs74°sin14°=sin(74°−14°)=sin60°= 32，D对．
故选：CD．
利用诱导公式结合两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系逐项计算，可得合适的选项．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】ACD
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<−π2)的部分图象，
可得A=2，2sin(0+φ)=−1，可得sinφ=−12，
所以φ=−5π6，故A正确；
结合五点法作图，可得ω×5π6−5π6=π，所以ω=115，
所以f(x)=2sin(115x−5π6).
把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数g(x)=2sin(2x−5π6)的图象，
则g(x+π3)=2sin[2(x+π3)−5π6]=2sin(2x−π6)，显然g(x+π3)不是偶函数，故B错误；
由于g(2π3)=2sin(2×2π3−5π6)=2sinπ2=2，是最值，故g(x)的图象关系直线x=2π3对称，故C正确；
由x∈(2π3,π)，可得2x−5π6∈(π2,7π6)，而正弦函数y=sinx在(π2,7π6)上单调递减，
所以g(x)在区间(2π3,π)上单调递减，故D正确．
故选：ACD．
由顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ，由五点作图求出ω，可得f(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ，由五点作图求出ω，还考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】{x|x≠π3+kπ2,k∈Z}
【解析】解：解2x−π6≠π2+kπ得，x≠π3+kπ2，k∈Z，
∴原函数的定义域为：{x|x≠π3+kπ2,k∈Z}．
故答案为：{x|x≠π3+kπ2,k∈Z}．
根据正切函数的定义域，解2x−π6≠π2+kπ，k∈Z，即可得出原函数的定义域．
本题考查了函数定义域的定义及求法，正切函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】π3
【解析】解：∵α，β为三角形的两个内角，csα=17，
∴sinα= 1−cs2α=4 37，
∵sin(α+β)=5 314，cs(α+β)=± 1−sin2(α+β)=±1114，
∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=5 314×17−(±1114)×4 37= 32或−39 398(舍去)，
∴β=π3或2π3．
由csα=17π3，故β=2π3舍去．
故答案为：π3．
由已知数据可得sinα和cs(α+β)的值，而sinβ=sin[(α+β)−α]=csαsin(α+β)−sinαcs(α+β)，代值计算可得．
本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系，属中档题．
11.【答案】(−1,2)
【解析】解；因为关于x的方程2sin(2x+π6)−m=0在(π2,π)上有两个不同的实数根，
即m=2sin(2x+π6)在(π2,π)上有两个不同的实数根，
结合函数图象可知，−1故答案为：(−1,2)．
由题意可得，m=2sin(2x+π6)在(π2,π)上有两个不同的实数根，作出函数y=2sin(2x+π6)在(π2,π)上的图象，结合图象即可求解．
本题主要考查了由函数零点个数求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
12.【答案】解：(1)∵sinα<0，
∴m<0，
又sinα=m (−8)2+m2=−35，解得：m=−6．
(2)由(1)得：tanα=−6−8=34，
∴2cs(3π2+α)+cs(−α)sin(5π2−α)−cs(π+α)=2sinα+csα2csα=tanα+12=34+12=54．
【解析】(1)根据三角函数定义可直接构造方程求得m；
(2)根据三角函数定义可得tanα，利用诱导公式化简所求式子，代入tanα的值即可求得结果．
本题主要考查三角函数的诱导公式，考查转化能力，属于基础题．
13.【答案】(1)解：f(x)=2sinxcsx+ 3cs2x=sin2x+ 3cs2x=2(12sin2x+ 32cs2x)=2(csπ3sin2x+sinπ3cs2x)=2sin(2x+π3)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z；
令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12],k∈Z．
【解析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
(2)利用整体代换的方法，分别计算2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，求解可得答案．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，还考查了正弦函数的单调性的应用，属于中档题．
14.【答案】解：(1)根据函数图象可得2A=3−(−1)=4，∴A=2，3+(−1)=2B，∴B=1，
T2=1112π−π6=912π=34π，得T=32π=2πω，∴ω=43，
又∵f(π6)=3，∴2sin(43×π6+φ)+1=3，
∴sin(29π+φ)=1，∴29π+φ=π2+2kπ，k∈Z，得φ=5π18+2kπ，k∈Z，
又∵|φ|<π2，∴φ=518π，∴f(x)=2sin(43x+518π)+1；
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的23(纵坐标不变)得到y=2sin(2x+518π)+1，
再向下平移一个单位得到y=2sin(2x+518π)，
再向左平移π36个单位得到y=2sin[2(x+π36)+518π]=2sin(2x+π3)，∴g(x)=2sin(2x+π3)，
当x∈[0,π2]时，π3≤2x+π3≤43π，
又函数y=sinx在[−π2,π2]上单调递增，在[π2,3π2]上单调递减，
∴− 32≤sin(2x+π3)≤1，∴g(x)∈[− 3,2]，即g(x)值域为[− 3,2]．
【解析】(1)根据函数图象可得A=2，得B=1，由图象和公式T=2π|ω|求得ω=43，由f(π6)=3求得φ=518π，即可求解；
(2)根据三角函数图象的平移伸缩变换可得g(x)=2sin(2x+π3)，利用正弦函数的单调性即可求出函数g(x)的值域．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)由题知T=2=2πω，得ω=π，
由题意知A=3，b=32，φ=−π6．
(Ⅱ)方法一：∵盛水筒出水后到最高点至少经历13个圆周，
∴t=13T=23min．
方法二：由f(t)=3sin(πt−π6)+32=92，可得sin(πt−π6)=1，
所以πt−π6=π2+2kπ，即t=23+2k，k∈N，
当k=0时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时t=23min．
【解析】(Ⅰ)由题知T利用周期公式可求ω的值，数形结合可求A，b，进而可求φ的值．
(Ⅱ)方法一、直接由周期求解；方法二、求出函数解析式，由函数最值为1，可得πt−π6=π2+2kπ，即t=23+2k，k∈Z，取k=0得答案；
本题考查三角函数模型的选择及应用，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．