2024赣州十八县（）二十四校高一下学期期中联考数学试题

这是一份2024赣州十八县（）二十四校高一下学期期中联考数学试题，共12页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整洁，已知是上的奇函数，满足，已知，则的大小关系是，已知向量与的夹角为，则，已知，则下列不等式成立的是等内容，欢迎下载使用。

试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．考查范围：必修第一册占30%，必修第二册第一章占35%，必修第二册第二章1～5节占35%．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡指定位置上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合（ ）
A．B．
C．D．
2．角的终边与的终边关于轴对称，则（ ）
A．B．
C．D．
3．随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（ ）
A．110B．115C．120D．125
4．已知向量，向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格（元/盒）与时间t（天）的关系：一位顾客在这两周里在该水果店购买了若干盒草莓，总共消费212元，其中在后6天买了4盒，则前8天一共买了（ ）
A．7盒B．6盒C．5盒D．4盒
6．函数的图像经过点和点，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是上的奇函数，满足．若，则（ ）
A．4B．C．3D．
8．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量与的夹角为，则（ ）
A．B．
C．在上的投影向量是D．
10．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．设，已知在上有且只有6个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上有4个最大值点
C．是图象的一个对称中心D．在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．计算_________．
13．一组数据：12，8，6，15，12，10，8，17，20，12的分位数是_________．
14．如图所示，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，，，则_________；若，则当取得最小值时，_________．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入1万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下：
（1）求销售额的平均数和方差；（保留两位有效数字）
（2）若销售额满足，则称该销售额为“近均值销售额”．去掉前2天的销售额，在后5天的销售额中任意抽取2天的销售额，求取到的销售额中仅有1个“近均值销售额”的概率．
16．（15分）已知点在角的终边上，点在角的终边上，．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集．
17．（15分）已知是夹角为的两个单位向量，与的夹角为．
（1）求；
（2）若，求．
18．（17分）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求的值；
（2）当时，求的单调区间和最值．
19．（17分）若，则称为维空间向量集，为零向量．对于，任意，定义：
①数乘运算：；
②加法运算：；
③数量积运算：；
④向量的模：．
对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关．
（1）对于，判断下列各组向量是否线性相关：
①；
②；
（2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；
（3）证明：对于中的任意两个元素，均有．
2024年赣州市十八县（市）二十四校期中联考
高一年级·数学参考答案及评分细则
1．【答案】B
【解析】，，则．故选B．
2．【答案】D
【解析】与65°的终边关于y轴对称的一个角为115°，所以．故选D．
3．【答案】C
【解析】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，则，解得．故选C．
4．【答案】A
【解析】设解得，所以则．故选A．
5．【答案】B
【解析】设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，则，整理得，因为m，n均为非负整数，所以是11的整数倍，当时，，得．故选B．
6．【答案】D
【解析】依题意，，且，即且，因为，所以，则，所以，得，因为，所以时，得，则．由，得，所以的单调递增区间是．故选D．
7．【答案】C
【解析】由是上的奇函数，知，由及，得，，则．故选C．
8．【答案】D
【解析】，因为，所以，所以；，因为，所以，所以，所以．故选D．
9．【答案】ABD（每选对1个得2分）
【解析】将与相加，得，所以，代入中，得，选项A正确；因为，所以，选项B正确；在上的投影向量是，选项C错误；，选项D正确．故
选ABD．
10．【答案】BD（每选对1个得3分）
【解析】，所以，选项A错误；因为，，所以，选项B正确；由得，两边平方，得，选项C错误；由，两边平方，得，即，选项D正确．故选BD．
11．【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】由，得在上有且只有6个零点，则，解得，因为，所以，选项A正确；所以，由，得，当时，，所以在上有3个最大值点，选项B错误；由，即，取，得，所以是图象的一个对称中心，选项C正确；由，得，所以的单调递增区间是，当时，得到一个单调递增区间，因为，所以在上单调递增，选项D正确．故选ACD．
12．【答案】
【解析】原式．
13．【答案】16
【解析】将这组数据从小到大排列：6，8，8，10，12，12，12，15，17，20，共10个数据，，则这组数据的80%分位数是．
14．【答案】 （第一空2分，第二空3分）
【解析】解法一：作出图形如图所示，由平面几何知识可知，，故；取线段AD的中点E，，因此只需最小即可，过点E作线段BC的垂线，垂足为P，由平行直线可知．
解法二：作出图形如下所示，由平面几何知识可知，，以BD，AC分别为x，y轴建立平面直角坐标系；故，故；而，则，则，故，，故，可知当时，取得最小值．
15．解：（1），
所以销售额y的平均数可为3，方差为0.44．
（2）在后5天的销售额中，满足的是2.6，3，3.3，
从2.6，3，3.3，3.7，4中任取2个，共有10个不同结果：，．
其中，仅含有2.6，3，3.3中一个的有6个不同结果．
所以，所求概率为．
【评分细则】
第二问没有列举出具体事件或详细解答步骤扣3分．
16．解：（1）设O为坐标原点，则，所以，
因为α是第二象限角，β是第三象限角，（3分）
所以，
，
所以．
（2）因为，
所以化为，
即，
所以，
整理得，
所以不等式的解集为．
【评分细则】
1．第一问中α和β表示的角未区分和，扣2分；
2．第二问中最后结果无，扣1分，解答过程中未写不扣分．
17．解：（1），
，
，
所以，因为，所以．
（2）因为，
所以，存在非零实数k满足，即，
因为不共线，所以，且，
解得，
则，所以，
即，
由（1）知，
所以，得，
所以．
【评分细则】
1．第一问未指出，直接得出，不扣分；
2．若使用其他解法，酌情给分．
18．解：（1）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移2π个单位长度，
得到，
因为，
所以，且，
又，解得，
所以，
所以．
（2）先求的单调区间．
由，得，
所以的单调递增区间是；
由，得，
所以的单调递减区间是．
时，的单调递减区间是，
时，的单调递增区间是．
所以当时，在上单调递减，在上单调递增，
因为
所以时，函数的最大值为1，最小值为．
【评分细则】
1．第一问平移伸缩的方向和单位长度错误，即使结果正确，也不给分；
2．第二问求的单调区间结果未写扣1分，未对k的取值讨论在上的单调性，扣3分．
19．（1）解：对于①，假设与线性相关，则存在不全为零的实数使得，
则
即，可取，所以线性相关．（3分）
对于②，假设线性相关，则存在不全为零的实数使得，
则
得，可取，所以线性相关．（6分）
（2）解：假设线性相关．
则存在不全为零的实数，使得，
则，
因为线性无关，
所以得，矛盾，
所以向量线性无关．
（3）证明：设，
则，
所以，
又，
所以
，
当且仅当同时成立时，等号成立．
所以．
【评分细则】
1．对于三处线性相关的证明，没有类似“假设与线性相关，则存在不全为0的实数，使得……”，每处扣1分；
2．如有其它解法，酌情给分．第天
1
2
3
4
5
6
7
销售额（万元）
2
2.4
2.6
3
3.3
3.7
4