2023届江西省赣州市十六县市二十校高三上学期期中联考数学（理）试题含解析

2023届江西省赣州市十六县市二十校高三上学期期中联考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，．则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先利用一元二次不等式与对数不等式的解法化简集合，再利用集合交集的定义求解即可.

【详解】，

由得，即，

∴，则，

故选：B．

2．设：，：，则是成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出中x范围，再根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】由：得，，

即：

是成立的充分不必要条件.

故选：A

3．已知正数，满足，则的最大值为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答.

【详解】，为正数，，则，当且仅当时取等号，

所以当时，取得最大值9.

故选：C

4．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由的奇偶性和特殊值利用排除法可得答案.

【详解】对，，所以函数是偶函数，

其图象关于轴对称，所以排除选项A；

令，可得或，即，

当时，，所以，故排除选项C；

当时，，所以，所以排除选项D.

故选：B.

5．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用垂直的向量表示求出，再利用夹角公式计算作答.

【详解】因非零向量，满足，由得：，解得，

于是得，而，则，

所以与的夹角为.

故选：B

6．已知函数，则对任意实数，有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】取特值可以部分排除，一般地利用指数幂的运算可以证明D正确.

【详解】

所以,故B错误；

,，，故AC错误；

，

所以，故B错误，D正确.

故选：D

7．若是函数的极值点．则的极小值为（    ）

A．-3 B． C． D．0

【答案】A

【分析】根据给定的极值点求出参数a的值，再求出函数极小值作答.

【详解】函数，求导得：，

因是函数的极值点，即，解得，

，当或时，，当时，，

即是函数的极值点，函数在处取得极小值.

故选：A

8．若，则的最小值是（    ）

A．9 B．6 C．3 D．1

【答案】C

【分析】变形，展开利用基本不等式求解即可.

【详解】，，

当且仅当，即时等号成立

的最小值是3

故选：C.

9．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（    ）

A．183 B．125 C．162 D．191

【答案】D

【分析】设该数列为，先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得的值.

【详解】设该数列为，并设.

由，，，，…

可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为1，故，

故，

则，，，…，，()，

累加得，

即（显然，对于n=1也成立），故.

故选：D.

10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度与时间的函数关系式为，其中为介质温度，为物体初始温度．为了估计函数中参数的值，某试验小组在介质温度和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数的值，如下表，

现取其平均值作为参数的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（    ）（结果精确到个位数）

参考数据：，，．A．3min，9min B．3min，8min

C．2min，8min D．2min，9min

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出参数的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答.

【详解】依题意，，而，，

则，

当时，，有，，

当时，，有，，

所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min，9min.

故选：A

11．设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．是数列中的最大值 D．数列无最大值

【答案】B

【分析】由题分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误.

【详解】当时，则，不合乎题意；

当时，对任意的，，且有，可得，

可得，此时，与题干不符，不合乎题意；

故，故A错误；

对任意的，，且有，可得，

此时，数列为单调递减数列，则，

结合可得，

结合数列的单调性可得

故，

，

∴，

故B正确；

是数列 中的最大值,故CD错误

故选：B.

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在已知等式中取对数得到，根据三数的结构形式，令，则,利用导数研究函数的单调性，然后可以得到答案.

【详解】，

令，

，

在上单调递减，

,

所以在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以,

即.

故选：D

二、填空题

13．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________．

【答案】6

【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量的坐标表示计算作答.

【详解】因，，则，

又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得，

所以.

故答案为：6

14．已知x，y满足约束条件则的最大值为_________．

【答案】2

【分析】作出不等式组的可行域，求出目标函数的最优解，即可得出答案.

【详解】解：作出可行域，如图所示，

画出目标函数的图像，

当目标函数过点时，取得最大值，

，解得，即，

所以的最大值为.

故答案为：2.

15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c是a，b的等比中项，且的面积为，则_________．

【答案】

【分析】由正弦定理统一为三角函数可得，再由三角形面积公式得出，再由等比中项及余弦定理即可求出，即可得解.

【详解】

由正弦定理得，，

即，

又，所以，得，

由，得，得.

又c是a，b的等比中项，所以.

由余弦定理得.

∴，即，

则，即.

故答案为：

16．已知函数的部分图像如图所示，则满足的正整数的最小值为_________．

【答案】1

【分析】根据给定的函数图像，求出函数的解析式，再解不等式作答.

【详解】函数的周期，则，

而，有，又，则，即，

，，原不等式化为，解得或，

即或，则或，

即或，最小正整数必满足或，

所以正整数的最小值为1.

故答案为：1

【点睛】思路点睛：给定的部分图像求解解析式，一般是由函数图像的最高（低）点定A，求出周期定，由图像上特殊点求.

三、解答题

17．已知数列的前项和为，，且．

(1)求的通项公式；

(2)若是，的等比中项，求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等差数列通项公式求出，再由求出数列的通项作答.

（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求解作答.

【详解】（1）因，则数列是以为首项，1为公差的等差数列，

则有，，当时，，满足上式，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知，依题意，，，

所以.

18．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）求出函数的定义域和导数，对分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；

（2）分类讨论，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性进而求得相应最值，进而得到实数的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，.

①当时，对任意的，，此时，函数的单调递增区间为.

②当时，令，得；令，得.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2），当时显然成立.

当时，即，令，，.

若时单调递减；，单调递增.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.

19．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量知，．

(1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；

(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【分析】（1）在和中，利用余弦定理即可计算推理作答.

（2）由（1）的结论，利用三角形面积定理列出函数关系，结合二次函数最值求解作答.

【详解】（1）在中，由余弦定理得：，

即，

在中，，即，

因此，即，

所以．

（2）显然，，

于是得，由（1）知，

因此，

在中，，在中，，则，

由，得，即有，

从而当时，，所以的最大值是．

20．已知为偶函数．

(1)求的值；

(2)已知函数的定义域为，，当时，，若对任意的，都有，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定的条件，利用偶函数定义计算作答.

（2）根据给定条件，求出在上的取值集合，再结合已知，依次求出在上的取值集合并比较作答.

【详解】（1）函数定义域为R，依题意，，

即，成立，解得，

所以.

（2）由（1）知，，当时，，

当时，令，函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，当时，，即当时，，即，

而，显然，又当时，，

则当时，，，，

当时，，，，

当时，，，有，

，当时，，

显然随着n的增大而增大， 因此，都有，必有，

所以的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及分段函数的不等式在区间上恒成立问题，依次探讨每一段在区间上不等式成立情况，再进行综合考查即可.

21．已知函数，且．

(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；

(2)若与的图象有两个不同的交点，，证明：．

【答案】(1)a=1，

(2)见详解

【分析】（1）根据导数的几何意义，求出导函数，使在处的导数值等于切线的斜率可求得a=1，再解出b的值即可；（2）证明与交点坐标有关的不等式常用同构法，将原式化简整理具有相同的形式，构造函数，借助函数的导数研究函数的性质.直接法证明不等式困难时，常用分析法来证明，即从结论出发，对结论进行等价分析，从而找到准确的突破口.

【详解】（1）解：由已知，定义域为，

又的图象在点处的切线方程为，

则，

令，则，

在上恒成立，

所以，在上单调递增，

则在上至多有一个零点，

又，所以，a=1，则

又，

（2）证明：因为与的图象有两个不同的交点，，

所以，有两个不同的根分别是，不妨设，

所以，，整理得.

令，

要证，即证，

即证，即证，

即证在上为单调递增函数.

因为，，设，

则，

整理可得，，

因为，，    所以，.

令，解得，设，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以，，即在上恒成立，

所以，在上为单调递增函数.

所以，.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点.要证明复杂的不等式恒成立问题，常常通过变形构造函数，通过求导说明函数的单调性求出最值，从而得到证明.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程是．

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)射线：与曲线交于点O和点A，将射线按逆时针方向旋转，得到射线，射线与曲线交于点B，试求的最大值．

【答案】(1)曲线的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程为

(2)

【分析】（1）先求得曲线的直角坐标方程再去求其极坐标方程；利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线的直角坐标方程；

（2）先求得的解析式，再利用三角函数性质去求其最大值即可.

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数）

则曲线的直角坐标方程为，即

则曲线的极坐标方程为

曲线的极坐标方程是

则曲线的直角坐标方程为

（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程是

射线：，射线：

则

则

由，可得，

，

（当且仅当时等号成立）

故的最大值为

23．已知函数．

(1)设不等式的解集为集合，且是集合的真子集，求实数的取值范围；

(2)若实数取（1）中的最大整数，存在实数，使得关于的方程有解，求实数的最大值．

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）先求得不等式的解集，在根据是集合的真子集，列出关于实数的不等式组求解；

（2）由题意得到,将，整理得到有解. 令，利用绝对值的性质，写成分段函数形式，然后求得值域，即为实数的取值范围，进而得到实数的最大值.

【详解】（1）,即，解得，

是集合的真子集，

则，解得，

∴实数的取值范围是；

（2）若实数取（1）中的最大整数，则，，

关于的方程有解，即,

即有解.

令，则,

∴的值域是[-4,4],

∴实数的取值范围是[-4,4],

∴实数的最大值为4(此时任意的都是方程的解).