第一篇 专题二 培优点3　数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题-2024年高考物理大二轮复习

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培优点3　数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题
当两个物体之间或物体与挡板之间发生多次碰撞时，因碰撞次数较多，过程复杂，在求解多次碰撞问题时，通常可用到以下两种方法：
(2023·江苏南京市三模)如图所示，一斜面固定在水平地面上，斜面倾角θ＝37°、质量为5m的小物块A通过一根跨过固定滑轮的绳子连接质量同为5m的小物块B，连接A的绳子与斜面平行，物块B距离地面高度为L，物块A与斜面最上端挡板的距离也为L，绳无阻碍穿过挡板上小孔。质量为2m的小环C套在B上方的绳子上，绳子与小环C之间的最大静摩擦力Ffm＝6mg，不计滑轮和绳子质量以及滑轮与绳子之间的摩擦，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。(1)若系统处于静止状态，求A与斜面间动摩擦因数的最小值μ；
由题设条件可知，若系统处于静止状态，小物块A受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，A与斜面间的动摩擦因数有最小值，由平衡条件可得mAgsin θ＋μmAgcs θ＝(mB＋mC)g，
(2)若μ＝ ，同时由静止释放A、B、C，物块A与挡板碰撞原速率反弹，物块B与地面碰撞后速度瞬间变成0，求绳子再次绷紧，B向上运动的初速度vB(绷紧过程C的速度未变)；
由题意可知，绳绷紧过程C的速度未变，可知绳绷紧时A、B共速，由动量守恒定律可知mAvA＝(mA＋mB)vB，
(3)接第(2)问，若C始终没有落到B上，求整个过程中C与绳子之间因摩擦产生的热量Q。
A沿斜面向下减速，B沿绳向上减速，对于A、B整体5mg＋Ffm－5mg(sin θ－μcs θ)＝10ma1解得a1＝g，
C沿绳向下减速：Ffm－2mg＝2ma2，解得a2＝2g，
B与C恰好在同一时间速度变为0，
如图所示，在光滑水平面上放置一端带有挡板的长直木板A，木板A左端上表面有一小物块B，其到挡板的距离为d＝2 m，A、B质量均为m＝1 kg，不计一切摩擦。从某时刻起，B始终受到水平向右、大小为F＝9 N的恒力作用，经过一段时间，B与A的挡板发生碰撞，碰撞过程中无机械能损失，碰撞时间极短。重力加速度g＝10 m/s2。求：(1)物块B与A的挡板发生第一次碰撞后的瞬间，物块B与木板A的速度大小；
答案　0　6 m/s　
解得v0＝6 m/sB与A碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律有mv0＝mvB＋mvA
解得vB＝0，vA＝6 m/s
(2)由A、B静止开始经多长时间物块B与木板A的挡板发生第二次碰撞，并求出碰后瞬间A、B的速度大小；
此时B的速度为vB1＝at＝12 m/s，A的速度为vA1＝vA＝6 m/s，第二次碰撞时，同样由动量守恒定律和机械能守恒定律有mvA1＋mvB1＝mvA2＋mvB2
解得vA2＝12 m/s，vB2＝6 m/s
(3)画出由A、B静止开始到物块B与木板A的挡板发生三次碰撞时间内，物块B的速度v随时间t的变化图像；
此时B的速度为vB3＝vB2＋at′＝18 m/s
由A、B静止开始到B与A的挡板发生3次碰撞时间内，物块B的速度v随时间t的变化图像如图所示
(4)从物块B开始运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B运动的距离。
答案　[2＋4n(n－1)] m(n＝1,2,3，4，…)
由以上分析可知，从第二次碰撞后，到下一次碰撞，B向前运动的距离都比前一次多8 m，
由v－t图像可知，从B开始运动到第1次碰撞，B运动的距离为2 m；从第1次碰撞到第2次碰撞，B运动的距离为8 m；从第2次碰撞到第3次碰撞，B运动的距离为8 m＋8 m＝16 m；
从第3次碰撞到第4次碰撞，B运动的距离为16 m＋8 m＝24 m；
根据数学知识可知，从物块B开始运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B运动的距离
＝[2＋4n(n－1)] m(n＝1,2,3,4，…)。
1.(2023·江苏淮安市二模)窗帘是我们日常生活中很常见的一种家具装饰物，具有遮阳隔热和调节室内光线的功能。图甲为罗马杆滑环窗帘示意图。假设窗帘质量均匀分布在每一个滑环上，将图甲中的窗帘抽象为图乙所示模型。长滑杆水平固定，上有10个相同的滑环，滑环厚度忽略不计，滑环从左至右依次编号为1、2、3……10。窗帘拉开后，相邻两环间距离均为L＝0.2 m，每个滑环的质量均为m＝0.4 kg，滑环与滑杆之间的动摩擦因数均为μ＝0.1。窗帘未拉开时，所有滑环可看成挨在一起处于滑杆右侧边缘处，滑环间无挤压，现在给1号滑环一个向左的初速度，使其在滑杆上向左滑行(视为只有平动)。在滑环滑行的过程中，前、后滑环之间的窗帘绷紧后，两个滑环立即以共同的速度向前滑行，窗帘绷紧的过程用时极短，可忽略不计。不考虑空气阻力的影响，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)若要保证2号滑环能动起来，求1号滑环的最小初速度大小；
(2)假设1号滑环与2号滑环间窗帘绷紧前瞬间其动能为E，求窗帘绷紧后瞬间两者的总动能以及由于这部分窗帘因绷紧而损失的动能；
设窗帘绷紧前瞬间滑环1的速度为v1，滑环2的速度为0，绷紧后共同速度为v，由窗帘绷紧前后动量守恒有mv1＝2mv
(3)9号滑环开始运动后继续滑行0.05 m后停下来，求1号滑环的初速度大小。
设1号滑环的初速度为v10，其动能为E0，1号滑环滑行距离L，1、2号滑环绷紧前瞬间，系统剩余动能为E1f＝E0－μmgL
在1、2号滑环共同滑行距离L，2、3号滑环绷紧前的瞬间，系统剩余动能为
2、3号滑环绷紧后的瞬间，系统剩余动能为
由题意可知，8、9号滑环绷紧后还可以继续滑行距离x＝0.05 m(0