贵州省黔南布依族苗族自治州惠水县惠水县第四中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．
3．不能使用计算器．
一、选择题：以下每小题均有A．B．C．D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1. 2相反数是（ ）
A. 2B. －2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴由甲到乙的四条路线中，最短的路线是③，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，下列四个点在第一象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的坐标的符号特点，即第一象限为，第二象限为，第三象限为，第四象限为， 熟练掌握知识点是解题的关键，根据象限符号特地，逐项判断即可；
【详解】解：、在第三象限，故不符合题意；
、在第四象限，故不符合题意；
、在第二象限，故不符合题意；
、在第一象限，故符合题意；
故选：．
4. 下面几何体中，从上面看，得到的平面图形为圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是从不同方向看几何体，具备一定的空间想象能力是解题的关键；根据从上面看到的图形，逐项判定即可．
【详解】解：A、长方体从上面观察得到的平面图形是矩形，故此选项不符合题意；
B、从上面观察得到的平面图形是三角形，故此选项不符合题意；
C、从上面观察得到的平面图形是正方形，故此选项不符合题意；
D、球从上面观察得到的平面图形是圆，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 随着我国高质量发展取得新成效，国家战略科技力量加快社大，2021年国家自然科学基金共资助48700个项目，48700这个数用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．根据科学记数法的表示方法求解即可；
【详解】解：．
故选：B．
6. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7. 为深入开展全民禁毒宣传教育，某校举行了禁毒知识竞赛，小红说：“我们班100分的同学最多，平均成绩是96分”，小红的描述所反映的统计量分别是（ ）
A. 众数和中位数B. 平均数和中位数
C. 众数和方差D. 众数和平均数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了众数和平均数的定义，属于统计基础知识，难度较小．
根据众数和平均数的定义回答即可．
【详解】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，平均成绩即平均数，
故选：D．
8. 如图，点A，B在数轴上所对应的点表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图形可得A点对应的数，B点对应的数即可解答．
【详解】解：由图可知，A点对应的数，B点对应的数，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，发现A点对应的数，B点对应的数是解题的关键．
9. 关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此进行计算即可得出答案．
【详解】解：．
∵，
∴，
∴，即，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
10. 一辆小车从甲地匀速行驶到乙地，到达乙地后按原来的速度返回，若x表示行驶的时间，y表示小车与甲地的距离．则下列图象能反映y与x的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数的图象．根据题意可以得到各段内y随x的变化情况，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：从甲地匀速行驶到乙地，y随x 的增大而增大；到达乙地后按原来的速度返回，y随x的增大而减小．
故选：A．
11. 如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质计算即可，本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的基本作图和性质，等腰三角形性质，熟练掌握作图和矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
12. 如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．
【详解】解：设每个正方形网格的边长都为1，
则在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
，，，
∴，
∴，
与的周长之比为：，
故选：．
二、填空题：每题4分，共16分．
13. 分式的值为0，则的值是 ____________
【答案】1
【解析】
【分析】对于分式=0，只需A=0且B≠0，解之即可．
【详解】∵分式的值为0，
∴且，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的概念及性质，熟练掌握分式为零时的等价条件是解答的关键．
14. “赏中华诗词，寻文化基因”，王老师把《春晓》《江雪》《咏柳》三首唐诗分别写在3张卡片上，卡片的背面完全相同，将卡片洗匀后正面朝下，随机抽取一张卡片进行诗词赏析分享，抽到《春晓》的概率是 __________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比；直接利用概率公式计算即可；
【详解】解：∵共有3张卡片，其中写有《春晓》的卡片有1张，
∴随机抽取一张卡片进行诗词赏析分享，抽到《春晓》的概率是．
故答案为：．
15. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则两点间的距离为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，连接，由题意得出四边形是菱形，由菱形的性质可得，证明出是等边三角形，得出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，
∴，四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即两点间的距离为2，
故答案为：2．
16. 如图，已知为反比例函数图象上两点，连接，线段经过原点，为反比例函数在第四象限内图象上一点，当是以为底的等腰三角形，且时，的值为 ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征，等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题．
作轴于，轴于．连接．首先证明，推出，由，，推出，从而得出＝，即，求解即可．
【详解】解：如图：作轴于，轴于．连接．
∵关于原点对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴＝，即
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）解不等式组
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组的解法．
（1）根据平方、绝对值和零指数幂的运算法则分别运算后计算即可；
（2）分别解两个不等式，再要根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求m的值与反比例函数的表达式；
（2）若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围．
【答案】（1），反比例函数的关系式为
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数、反比例函数交点坐标的计算方法是正确解答的前提．
（1）根据一次函数、反比例函数图象上点坐标特征确定点的坐标，进而确定反比例函数关系式；
（2）根据图象以及两个函数图象的交点坐标进行判断即可．
【小问1详解】
解：一次函数的图象与过点，
，
即，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
答：，反比例函数的关系式为；
【小问2详解】
由于点，即，
当，反比例函数中的值取值范围为．
19. 校园“阳光一小时”让学生养成了爱运动的好习模，小红与小星两位同学选择800米项目训练，为监测训练效果，他们每天进行一次测试，并将一周的测试成绩记录在下表中：
根据上述数据，列出测试成绩的中位数，众数的表格，并绘制出成绩的折线统计图如下：
根据以上信息回答下列问题：
（1）表格中的 ， ；
（2）根据绘制的折线统计图，判断 的成绩更稳定（填“小红”或“小星”）；
（3）学校将组织春季运动会，历届比赛表明，若800米跑步项目用时小于就有机会获奖，你认为从他们两人中选谁参加这项比赛更合适？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）小红； （3）小星参加这项比赛更合适
【解析】
【分析】（1）根据中位数，众数概念求解即可；
（2）根据整体数据波动较的大小判定即可；
（3）根据小于的次数大小判断即可；
【小问1详解】
小红同学800米项目训练7次测试成绩中，出现了三次，次数最多，所以众数，
小星同学800米项目训练7次测试成绩重新排列后，第四个数据为，所以中位数，
故答案为：；
【小问2详解】
根据折线统计图可知，小红的7次测试成绩波动较小，成绩更稳定．
故答案为：小红；
【小问3详解】
选小星参加这项比赛更合适，理由如下：
∵7次800米跑步项目测试成绩中，小星有3次用时小于，而小红没有1次用时小于，
∴小星有机会获奖，
故选小星参加这项比赛更合适．
【点睛】本题考查了折线统计图，中位数，众数，方差的意义，利用数据进行决策，从题意中提取有用信息是解题的关键．
20. 如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下：
证明：在和中，
∵，
∴．……第一步
∴．……第二步​
（1）小红的证明过程从第 步开始出现错误；
（2）请写出你认为正确的证明过程．
【答案】（1）一 （2）详见解析
【解析】
【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质等知识点，
（1）题中所给的条件满足“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明，可知小红的证明从第一步开始出现错误，于是得到问题的答案；
（2）由，得，而，可推导出，得AC＝BC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明
能判定出题中所给的条件是“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明，是解题时的关键．
【小问1详解】
∵由不能证明，
∴从第一步开始出现错误，
故答案为：一．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21. 贵州民族文化宫是贵州民族特色建筑，某数学兴趣小组利用所学的如识测量文化宫的高度，倡助无人机设计了如下测量方案：如图，在点C处，测得C处到文化宫底部B处的水平距离为，无人机沿着方向飞行到达E处，此时测得文化宫顶部A处的仰角为．已知于点D，点A，B，C，D，E均在同一平面内．
（1）求的长；
（2）求贵州民族文化宫的高度（结果精确到）．（参考数据：，）
【答案】（1）的长为；
（2）贵州民族文化宫的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，
（1）根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到求得，过E作于F，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，于是得到结论；
熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵
∵，
∴；
答：的长为；
【小问2详解】
在中，，
∵，
∴，
过E作于F，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
答：贵州民族文化宫高度约为．
22. 如图，是的直径，弦与相交于点E，．
（1）写出图中一对你认为全等的三角形 ；
（2）求证：；
（3）若的半径为4，，求的长．
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键．
（1）由得，再证明，从而证明出；
（2）由垂径定理可得结论；
（3）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可．
【小问1详解】
解： ，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
证明：∵，
，
．
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
，
，
．
23. 此京冬奥会吉祥物体现了中华文化的创盘和应用，冬奥会冰与雪的可爱化身“冰墩墩”“雪容融”成为热卖品，小星决定进货并销售，进货价和销售价如下表：
（1）小星第一次用1100元购进了“冰墩墩”“雪容融”两款吉祥物共30个，求“冰墩墩”“雪容融”各购进多少个？
（2）小星第二次进货时，商家规定“冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半，小星计划购进两款吉祥物共60个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）“冰墩墩”购进20个，“雪容融”购进10个；
（2）购进20个“冰墩墩”，购进“雪容融”40个，获得最大利润，最大利润是920元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，列出方程、不等式和一次函数是解此题的关键．
（1）设“冰墩墩”购进个，则“雪容融”购进个，根据“用1100元购进了“冰墩墩”“雪容融”两款吉祥物共30个”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设购进个“冰墩墩”，则购进“雪容融”个，一共获利为元，根据““冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半”得出不等式，求出的范围，求出关于的解析式，一次函数的性质即可得出答案．
【小问1详解】
解：设“冰墩墩”购进个，则“雪容融”购进个，
根据题意得：，
解得，
∴，
∴“冰墩墩”购进20个，“雪容融”购进10个；
【小问2详解】
解：设购进个“冰墩墩”，则购进“雪容融”个，一共获利为元，
∵“冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半，
∴，
解得，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值，最大值为（元），
∴，
∴购进20个“冰墩墩”，购进“雪容融”40个，获得最大利润，最大利润是920元．
24. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，求二次函数的最大值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值．
【答案】（1）；
（2）最大值为2； （3）或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可得出答案；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的性质得出当时，有最大值为2；
（3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：把，代入，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，有最大值为2；
【小问3详解】
解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，
①当时，
当时，有最小值，
当时，有最大值为，
∴，
∴或（舍去）．
②当时，
当时，有最大值为，
∵的最大值与最小值之和为，
∴最小值为，
∴，
∴或（舍去）．
综上所述，或．
25. 已知，如图①，四边形是矩形，对角线相交于点O，．
（1）【问题解决】
在图①中，根据给出的条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
（2）【问题探究】
如图②，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，过点P作交于点E，连接，在点P运动的过程中试探究的大小，并写出证明过程；
（3）【拓展延伸】
如图③，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，在的左下方作，使，，在点P从点B向点D的运动过程中，猜想点Q的运动路径并求出它的长度．
【答案】（1）或或或或或（答案不唯一）；
（2）
（3）点Q的运动轨迹是平行于的一段线段；点Q的路径长为．
【解析】
【分析】(1)根据矩形的性质和勾股定理求出线段，判断出为等边三角形，即可得出答案；
(2)先判断出点四点共圆，即可求出答案；
(3)先判断出，进而判断出，进而判断出点D的运动轨迹是平行于的一段线段，最后判断出四边形是平行四边形，即可求出答案．
【小问1详解】
在矩形中，对角线相交于点O，
，
∵，
，
∴是等边三角形，
；
∵四边形是矩形，
，
，
在中，，
根据勾股定理得，；
即或或或或或（答案不唯一）；
【小问2详解】
；理由：
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
∴点四点共圆，
；
【小问3详解】
如图，连接交于，
由（1）知，，过点A作于，
即点P在的位置时，点Q在的位置，
连接，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即点Q的运动轨迹是平行于的一段线段；
如图，
当点P在点B时，
，
，
，
当点P在点D处，
，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形，
，
即点Q的路径长为．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四点共圆，判断出点 D的运动轨迹是平行于的一段线段是解本题的关键．
姓名
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
小红
小星
姓名
中位数
众数
小红
a
小星
b
类别
价格
冰墩墩
雪容融
进货价（元/个）
40
30
销售价（元/个）
56
45