2023-2024学年湖北省武汉市第十一中学高一上学期10月月考数学试题

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市第十一中学高一上学期10月月考数学试题，文件包含湖北省武汉市第十一中学高一上学期10月月考数学试题原卷版docx、湖北省武汉市第十一中学高一上学期10月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
2. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. ，均有
B. ，均有
C. ，有
D. ，有
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义求解.
【详解】解：由题意可知，命题“∃x∈R使得x2+3x+2<0”是存在量词命题，
所以其否定是∀x∈R,均有x2+3x+2≥0，
故选：B.
3. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知不等式的解集利用韦达定理得到、与的关系，代入所求不等式求出解集即可.
【详解】由不等式的解集是可知，，
且方程的两个根分别为.
由韦达定理可得：，
代入所求不等式得：
化简得：即，
解得或
所以不等式的解集为，
故选:C
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，确定出、、的关系是解本题的关键，属于中档题.
4. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依次判断各选项的两个函数的定义域和对应关系是否一致，即可得结果.
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.
B选项，的定义域为，的定义域为或 ，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.
C选项，，，两个函数的定义域都为R，但对应关系不同，故不是同一函数.
D选项，两个函数的定义域都为R，对应关系相同，故是同一函数.
故选：D
5. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
详解】，，
，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：A
6. 设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 0或4
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后在求元素之积
【详解】根据集合中元素的互异性，且.由题意，.
情况一：若时
当时，，，，
的所有元素和为，符合题意，此时的所有元素之积为；
当时，，，，
的所有元素和为，不符题意；
情况二：若时，此时，，，
但此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为；
情况三：若，，且时，则中只有唯一重复元素，
则，由题意，即，
此时，矛盾
综上所述，时符合题意，此时的所有元素之积为.
故选：A
7. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解
【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为
（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．
（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；
综上，的取值范围为
故选：B
8. 已知，，，则的最小值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得且，则，令，，，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】，，，即有且，
将代入得，
令，，，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值，即的最小值是.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下面命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“若，则”的否定是“存在，”
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】
【分析】对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误，A，C，D根据充分必要条件的定义以及不等式的性质可判断.
【详解】对A，，得到：或，由可以得到，但是，若，显然成立，但不成立，故A正确；
由全称量词命题的否定易知B错误；
对C，由“且”，显然可以得出“”，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
故选：AD.
10. 已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意知故可判断A，取特殊值判断BC，由不等式的性质判断D.
【详解】A选项，由于，故，所以，正确；
B选项，取 知不成立，错误；
C选项，取知不成立，错误;
D选项，由于得， 而， 故，正确.
故选：AD
11. 若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】BC
【解析】
【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可.
【详解】可化为，
因为关于的不等式的解集中恰有两个整数，
由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，

所以解得，
故选：BC
12. 已知，，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则的最大值是
B. 若，则
C. 若，则的最小值为32
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】对于A，设，则 .
,
当且仅当时取等号.
所以，解得，即的最大值是，当且仅当，即时取等号.故A正确；
对于B，由，得，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为32.故C正确；
对于D，由，得，化简整理，得
，解得，
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某年级先后举办了数学、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，有61人听了音乐讲座，有12人同时听了数学、音乐讲座，则听了讲座总人数为________人．
【答案】124
【解析】
【分析】分别求出只听了数学讲座和英语讲座的人数，从而可得出答案.
【详解】解：∵75人听了数学讲座，有61人听了音乐讲座，有12人同时听了数学、音乐讲座，
∴只听了数学讲座有75－12=63（人），只听了音乐讲座有61－12=49（人），
∴听了讲座总人数为12+63+49=124（人）.
故答案为：124.
14. 已知，求的取值范围__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【详解】设,则解得
故，
由,故，
由,故，
所以.
故答案为：.
15 已知非空集合A，B同时满足以下四个条件：
①；②；③；④.注：其中、分别表示A、B中元素的个数.如果集合A中有3个元素，则有序集合对的个数是______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意结合集合间的关系分类讨论即可.
【详解】由题意可得，则集合A有四种可能：
,
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上有3种可能。
故答案为：3
16. 若两个不相等的正数a，b满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先得到，根据题目条件变形得到，配方求出，从而得到的最小值.
【详解】因为，a，b为两个不相等的正数，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，故，
故，
其中，
因为，而，
故在上单调递增，
当时，，
故，
当时，取得最小值，
最小值为，
即的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）若，求实数k的取值范围；
（2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合，根据集合之间的关系，可列不等式，可得答案；
（2）根据必要不充分条件，可得集合之间的关系，利用分类讨论，可列不等式，可得答案.
【小问1详解】
由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则；
由，则，即，解得.
【小问2详解】
p是q的必要不充分条件等价于.
①当时，，解得，满足.
②当时，原问题等价于（不同时取等号）
解得.
综上，实数k的取值范围是.
18. 已知.
（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）求解上述不等式：.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
①当时，原不等式即：，符合题意；
②当时，不等式恒成立，必有：
且，解得：，
综上：实数的取值范围为：；
【小问2详解】
，
当时，，由可得：
，或；
当时，，由可得：；
当时，由（1）知：不等式的解为；
当时，，由可得：
，
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 ，
19. 已知二次函数.
（1）若，不等式对一切实数x恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，存在使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合根的判别式即可得解；
（2）分离参数，再根据基本不等式即可得解.
【小问1详解】
若，则，，
因为不等式对一切实数x恒成立，
则，解得；
综上所述，实数的取值范围是；
【小问2详解】
若，不等式即为：，
当时，可变形为：，即，
又，当且仅当，即时，等号成立，
，即，
实数的取值范围是：.
20. 培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加yml/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2ml/L时，物质N才能有效发挥作用．
（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；
（2）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3ml/L，并说明理由．
【答案】（1）物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时；
（2）当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3ml/L.
【解析】
【分析】（1）对分两种情况讨论解不等式即得解；
（2）求出，再利用基本不等式判断求解.
【小问1详解】
解：当时，由题得，解之得；
当时，由题得，解之得；
所以.
所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时.
【小问2详解】
解；当时，水中含有物质N的浓度为yml/L，
则.
当且仅当时等号成立.
所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3ml/L.
所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3ml/L.
21. 已知关于的不等式，其中；
（1）当，求不等式的解集；
（2）当变化时，试求不等式的解集；
（3）对于不等式的解集，满足.试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素最少的的所有取值，并用例举法表示此时的集合，若不能，说明理由.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）能，，此时
【解析】
【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得出解集；
（2）对的取值进行分类讨论，利用一次不等式和二次不等式的解法解原不等式，可得原不等式的解集；
（3）当时，为无限集，当时，为有限集，利用基本不等式可得出，可知当时，集合中的元素个数最少，求出此时的集合，进而可求得集合.
【小问1详解】
解：当时，原不等式即为，即，
解得，故.
【小问2详解】
解：（1）当时，原不等式即为，解得，即；
（2）当时，解方程，得或，
且.
①当时，，则，
解原不等式可得，即；
②当或时，，即，
解原不等式可得或，即；
③当时，，原不等式即为，解得，即.
综上所述，当时，；
当时，；
当或时，；
当时，.
【小问3详解】
解：由（2）可知，当时，为无限集，当时，为有限集，
此时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即当时，，此时，.
22. 已知函数，，.
（1）若，方程有解，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；
（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域；
（2）转化为在上，，分类讨论求的最大值，然后可得参数范围；
（3）根据绝对值的意义求得的表达式，然后由的单调笥得最小值．
【小问1详解】
，
因为函数的图象的对称轴是直线，
所以在上为减函数.

故的取值范围为.
【小问2详解】
∵对任意的，总存在，使得，
∴在上，，
∵函数图象的对称轴是直线，又
∴当时，函数有最大值为，
①当时，，不符合题意，舍去.
②当时，在上的值域，
∴，得，
∴；
③当时，在上的值域为，只需，∴.
综上，的取值范围为.
【小问3详解】
函数为的对称轴为，
当或时，在上单调递增，
则；
当时，，
解，得，
故当，.
综上，.
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴时取最小值为.