2024上海徐汇区高三下学期4月二模考试数学含答案

这是一份2024上海徐汇区高三下学期4月二模考试数学含答案，共11页。试卷主要包含了 已知复数，则 等内容，欢迎下载使用。
2024.4
考生注意：
1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.
2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.
3．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.
4. 用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 已知集合，集合，那么 .
2. 已知复数（为虚数单位），则 .
3. 在中，，，，则的外接圆半径为 .
4. 若正数满足，则的最小值为 .
5. 已知数列的前项和为，若（是正整数），则 .
6. 若圆与圆内切，则实数＝ .
7．已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 .
8. 已知函数在处有极值，则 .
9. 同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则 .
10. 将四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为_______．
11. 如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 .
12. 如图所示，已知满足，为所在平面内一点．定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 在下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
A. B. C. D.
14. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：
若已求得一元线性回归方程为，
则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．当时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的第40百分位数为1
D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变
15. 已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，函数关于直线对称 B. 若，函数在上是增函数
C. 若函数在上最大值为1，则
D. 若，则函数的最小正周期是
16. 三棱锥 各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角 的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积为 ；② 点形成的轨迹长度为.
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数，其中．
（1）求证：是奇函数；
（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
【解】（1）
（2）

18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解】（1）
（2）
19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表. （单位：个）
(1)若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；
(2)已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为．若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为，求的分布和数学期望．
附：，.
【解】（1）
（2）
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点不过点．
（1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；
（2）若，求直线的方程；
（3）若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点．
【解】（1）
（2）
（3）
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i）满分6分，（ii）满分8分）
已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，
定义函数，是自然对数的底数．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记函数，其中．
（i）证明：对任意，；
（ii）数列满足，设为数列的前项和．数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限．试根据以上定义求出数列的极限．
【解】（1）
（i）
（ii）
参考答案及评分标准
2024.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1． 2 . 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. B 14. D 15. C 16. A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
【解】（1）证明:函数的定义域为 ，
在中任取一个实数，都有，并且.
因此，是奇函数.
（2）等价于即在上有解．
记，因为在上为严格减函数，
所以，，，
故的值域为，因此，实数的取值范围为．
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
【解】（1）由题意得，，，，，在中，由，得，同理可得，又，故平面．
（2）（方法一）如图所示，以为坐标原点，、为轴正方向建立空间直角坐标系，则点，故，，设平面的法向量为，则，可取，设直线与平面所成角为，
故，因此直线与平面所成角的正弦值．
（方法二），，则，.
记点到平面的距离为，因为，所以，则. 设直线与平面所成角为，.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
【解】（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平，
计算，而，的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果．
（2）记A表示服用中草药乙后治疗有效，表示未服用过中草药甲，表示服用过中草药甲，
由题意可得，，且，，
则，
即中草药乙的治疗有效率，则，所以，
，，
所以，随机变量的分布为：，
所以，数学期望．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
【解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为，
设点，则 ．
（2）设，由已知可得，，
由得，化简得
代入可得，
联立解得
由得直线过点，，
所以，所求直线方程为.
（3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），
联立，可得，
由，得．
由韦达定理，得．，．
可化为，
整理即得，
，由，
进一步得，化简可得，解得，
直线的方程为，恒过定点．
21. （本题满分18分，第（1）小题满分4分，第（2）（i）满分6分，第（2）（ii）满分8分）
【解】（1）由于数列的各项均不为，
所以，可变形为（是正整数），
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
又，也符合上式，所以.
（i）先证：．
根据已知，得
由当且仅当时等号成立，
于是在上是严格增函数，故成立.
再证：．
又，记，则，
由，故且仅当时等号成立，
于是在上是严格减函数，
故，于是，证毕．
（ii）由题意知，，下面研究.
将（i）推广至一般情形.
，
由当且仅当时等号成立，
于是在上是严格增函数，故成立.①
再证：．，
记，则，
由，故当且仅当时等号成立，
于是在上是严格减函数，
故，于是，
所以，，即对任意，.
于是对，，整理得，
令，得，即，故.
（方法一）当时，
故即，
从而．对于任意给定的正实数，令，则取为大于且不小于的最小整数，则当时，恒成立，因此，数列的极限为．
（方法二）而对于任意，只需且时，可得.
故存在，当时，恒有，因而的极限.
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
未患病者
患病者
合计
未服用
中草药甲
服用
中草药甲
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828