北师大版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含详细答案解析）

这是一份北师大版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含详细答案解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在平面直角坐标系xy中，A(0,2)，B(0,6)，动点C在y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AC=6 3，D为AB上一动点(不与点A重合)，△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是( )
A. 2 3
B. 6
C. 3 3
D. 9
3.如图，直线l1：y=x+3与直线l2：y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是( )
A. x≥4
B. x≤4
C. x≥1
D. x≤1
4.已知关于x的不等式x−a>03x+4<13有且只有3个整数解，则a的取值范围是( )
A. a>−1B. −1≤a<0C. −15.如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，AC=4，对角线OB在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O，以每秒45∘的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点G的坐标为
( )
A. 2,0B. 0,2C. 2, 2D. − 2,− 2
6.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF.则下列结论不正确的是( )
A. ∠EAF=45°B. △EBF为等腰直角三角形
C. AE平分∠DAFD. BE+CD>ED
7.等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是( )
A. 50°B. 50°或65°C. 80°或50°D. 65°
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.下列结论：①EF⊥AB；②△ADB为等腰三角形；③DB=DF；④△ACF为等腰三角形．其中错误的有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.若不等式组2x−1<1x+1>a恰有两个整数解，则a的取值范围是( )
A. −1≤a<0B. −110.已知一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论： ①k<0; ②a>0; ③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3; ④x>3时，y1A. 1B. 2C. 3D. 4
11.中国“一十四节气”已被利入联合国教科文组织人类非物质文化读产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
12.对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5).已知点A的坐标为(2,0)，点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(8,6)，则△ABC的面积是
( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在ΔABC中，已知∠C=90∘，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合)，且保持AE=CF，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①ΔDFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的面积是定值；③AE+BF>EF；④ΔDFE面积的最小值为2.其中正确的结论有___________
14.在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，P是直线AB上不同于点A，B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为________．
15.若不等式组x+1>02x−a<0的最大正整数解是3，则a的取值范围是______．
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，则∠BPC=____°．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD，这个性质是______；
②在图2中，求证AD=CD；
(2)拓展探究：根据(1)的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD=BC．
18.(本小题8分)
如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：BF⊥AE；
(3)请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．
19.(本小题8分)
若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“湘一代数式”.例如：关于x的代数式x2，当−1≤x≤ 1时，代数式x2在x=±1时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在−1≤x≤1这个范围内，则称代数式x2是−1≤x≤1的“湘一代数式”．
(1)若关于x的代数式x，当1≤x≤3时，取得的最大值为______，最小值为______，所以代数式x______(填“是”或“不是”)1≤x≤3的“湘一代数式”．
(2)若关于x的代数式ax+2−1是−2≤x≤2的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值．
(3)若关于x的代数式x−2是m≤x≤4的“湘一代数式”，求m的取值范围．
20.(本小题8分)
为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3600元.若每个篮球80元，每个足球50元，求篮球最多可购买多少个？
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)，B(5,0)，C(4,2)．
(1)画出△ABC关于点O的中心对称图形，点A、B、C的对应点分别是D、E、F；
(2)若y轴上存在一点M，使得△MDF的周长最小，求点M的坐标．
22.(本小题8分)
在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
(1)如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE=3，CE=7时，求DE的长；
(2)如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD=3，BC=9时，求DE的长．
23.(本小题8分)
如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．
求证：∠B=∠CAF．
24.(本小题8分)
某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价各多少万元？
(2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？
25.(本小题8分)
【问题发现】
(1)如图 ①，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB边上一点，且BD=2，BE=1，点P在线段AE上运动，以PD为边向右作等边△PDF．
①求证：DE⊥AB
②过点F作FG⊥BC于点G，连接DE.请判断FG的长度是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【类比探究】
(2)如图 ②，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45∘到EG的位置，当点F从点B运动到点A时，请求出点G运动的路程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点，据此求解即可．
【解答】
解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，
∵A(0,2)，B(0,6)，
∴AB=6−2=4，
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，
∵OB=6，
∴点B到直线y=x的距离为6× 22=3 2，
∵3 2>4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，
所以，点C的个数是1+2=3．
故选B．
2.【答案】B
【解析】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，
∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG=GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD=AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG=12∠DAE=30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G′为垂足，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ACB=∠AG′B，∠CAB=∠BAG′，
则在△BAC和△BAG′中，
∠ACB=∠AG′B∠CAB=∠BAG′AB=AB，
∴△BAC≌△BAG′(AAS)．
∴BG′=BC，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=6 3，
∴AB=2BC，
∵AB2=BC2+AC2，
∴(2BC)2=BC2+(6 3)2，
解得：BC=6，
∴BG′=6．
故选：B．
连接DG，AG，设AG交DE于点H，先判定AG为线段DE的垂直平分线，从而可判定△BAC≌△BAG′(AAS)，然后由全等三角形的性质可得答案．
本题考查了含30°的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵y=x+3经过点A(m,4)，
∴m+3=4，
解得：m=1，
∴A(1,4)，
∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
首先利用待定系数法求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】
解：∵解不等式x−a>0得：x>a，
解不等式3x+4<13得：x<3，
∴不等式组的解集为a∵关于x的不等式组x−a>03x+4<13有且只有3个整数解，
∴−1≤a<0，
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点G的变化特点，利用数形结合的思想解答．每秒旋转45∘，8次一个循环，2024÷8=253，第2024秒时，矩形的对角线交点G与原位置的点G的坐标相同，由此可得到点G的坐标．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，AC=4，
∴AC=OB=4，AG=CG，OG=BG，
∴OG=2，
∵每秒旋转45∘，360∘÷45∘=8，
∴8次一个循环，
∵2024÷8=253，
∴点G与原位置的点G的坐标相同，
∴原位置的点G在第一象限的角平分线上，设Gx,x，
∴x2+x2=4x>0，
解得：x= 2，
∴点G的坐标为 2, 2．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，AD=AF，BF=CD，
∵∠DAE=45°，
∴∠EAF=90°−∠DAE=45°，所以A正确，不符合题意；
∴∠DAE=∠EAF，
∴AE平分∠DAF，所以C正确，不符合题意；
AD=AF∠DAE=∠FAEAE=AE，
∴△AED≌△AEF(SAS)，
∴ED=EF，
∵BE+BF>EF，
∴BE+CD>ED，
所以D正确，不符合题意；
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵△ADC≌△AFB，
∴∠ACD=∠ABF=45°，
∵∠ABF+∠ABE=∠ACD+∠ABC=90°，
∴△EBF为直角三角形，
但是BE、CD不一定相等，所以BE、BF不一定相等，所以B不正确，符合题意．
故选：B．
由已知∠DAE=45°和旋转的性质可判断A项，进一步可判断C项；利用SAS可证明△AED≌△AEF，可得ED=EF，根据三角形三边关系和等量代换即可判断D选项，容易证明△EBF是直角三角形，但是BE、CD不一定相等，所以BE、BF不一定相等，由此可判断B项，于是可得答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，注意旋转前后的对应关系是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：当底角为50°时，则底角为50°，
当顶角为50°时，由三角形内角和定理可求得底角为：65°，
所以底角为50°或65°，
故选：B．
分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可．
本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=72°.又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=36°，∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD，即△ADB是等腰三角形，故②正确；又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB，故①正确；∵FE⊥AB，AE=BE，∴FE垂直平分AB，∴AF=BF，∴∠BAF=∠ABF.又∵∠ABD=∠BAD，∴∠FAD=∠FBD=36°.又∵∠ACB=72°，∴∠AFC=∠ACB−∠CAF=36°，∴∠CAF=∠AFC=36°，∴AC=CF，即△ACF为等腰三角形，故④正确．
9.【答案】A
【解析】解：2x−1<1①x+1>a②,
解①得x<1，
解②得x>a−1，
则不等式组的解集是a−1又∵不等式组有两个整数解，
∴整数解是0，−1．
∴−2≤a−1<−1，
解得：−1≤a<0．
故选：A．
首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有两个整数解即可确定整数解，从而得到关于a的不等式，求得a的范围．
本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k<0，a<0，所以当x>3时，相应的x的值，y1图象均低于y2的图象．
【解答】
解：根据图示及数据可知：
①k<0正确；
②a<0，原来的说法错误；
③方程kx+b=x+a的解是x=3，正确；
④当x>3时，y1故正确的个数是3．
故选：C．
11.【答案】D
【解析】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；
B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查几何变换问题，关键是根据中心对称和轴对称的性质和直角三角形的判定分析，同时根据待定系数法得出直线的解析式．
连接CQ，根据中心对称和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB=90°，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线BE的解析式进而解答即可．
【解答】
解：连接CQ，如图：
由中心对称可知，AQ=BQ，
由轴对称可知：BQ=CQ，
∴AQ=CQ=BQ，
∴∠QAC=∠ACQ，∠QBC=∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB=180°，
∴∠ACQ+∠QCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，
∵A(2,0)，C(8,6)，
∴AF=CF=6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵∠ACE=90°，
∴∠AEC=45°，
∴E点坐标为(14,0)，
设直线BE的解析式为y=kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得：14k+b=08k+b=6，解得：k=−1b=14,
∴y=−x+14，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B(n+2,2n)，由2n=−n−2+14，
解得：n=4，
∴B(6,8)，
∴△ABC的面积=S△ABE−S△ACE=12×12×8−12×12×6=12．
故选A．
13.【答案】①②③④
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的面积，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定性质、直角三角形判定及性质等知识.添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF.所以△DFE是等腰直角三角形；
②由①结论可知四边形CEDF的面积=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC，结合已知△ABC是等腰直角三角形，可得S△ADC=12S△ABC=4，即可得到②正确，
③根据已知AE=CF，AC=BC，易得CE=BF，结合三角形三边关系可知CE+CF>EF，然后等量代换即可证明③正确；
④由题可知当DE⊥AC时△DEF面积最小，由面积公式求得DE=2，计算即可证明④正确．
【解答】
解：①连接CD，
，
∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB中点，
∴∠DCB=∠ACD=45°，∠A=∠B=45°，CD=AD=DB，CD⊥AB，
在△ADE与△CDF中，
AE=CF∠A=∠FCD=45°AD=CD,
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，
∴①正确；
②连接CD，
，
由①的结论△ADE≌△CDF(SAS)，
∴四边形CEDF的面积=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC，
∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，AD=BD=12AB，
∴S△ADC=S△BDC=12S△ABC=12×12AC·BC=12×12×4×4=4，
∴四边形CEDF的面积=4，是定值，
∴②正确；
③∵AE=CF，AC=BC，
∴AC−AE=BC−CF，
即CE=BF，
在△CEF中，
∵CE+CF>EF，
∴AE+BF>EF，
∴③正确；
④∵当DE的长度最小时，△DEF的面积最小，此时DE⊥AC，
∵△ACD的面积为4，即12×AC×DE=4，解得DE=2，
S△DEF=12×DE×DF=2，
∴④正确．
故答案为①②③④．
14.【答案】4，4 33或8 33
【解析】【分析】
此题考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，利用了转化及分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，当∠ACB=60°时，分别求出PB的长即可.注意分情况讨论
【解答】
解：分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时，如图所示：
∵∠CAB=90°，
∴∠BCA=30°，
∵∠PCA=30°，
∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△PCB为等边三角形，
∵BC=4，
∴PB=4；
当∠ACB=60°时，如图所示：
(i)当P在A的左边时，
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，
∴∠PCB=90°，
又∵∠B=90°−∠ACB=30°，BC=4，
∴AC=12BC=2，AB= BC2−CA2=2 3，
∵∠PCA=30°，∠CAP=90°，
设AP=x，则PC=2AP=2x，
由勾股定理，得4x2=x2+4，
解得x=2 33，
∴PB=AP+AB=2 33+2 3=8 33；
(ii)当P在A的右边时，
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，
∴∠BCP=30°，
同(i)可得，AC=2，AB=2 3，AP=2 33，
则BP=AB−AP=2 3−2 33=4 33，
综上，BP的长分别为4，4 33或8 33．
故答案为4，4 33或8 33．
15.【答案】6【解析】解：解不等式x+1>0，得x>−1，
解不等式2x−a<0，得x<12a，
由题意，得−1∵不等式组的最大正整数解是3，
∴3<12a≤4，
解得6故答案是6首先求出不等式组的解集，利用含a的式子表示，然后根据最大正整数解是3得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，正确确定12a的范围，是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．
16.【答案】135
【解析】解：如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC与△BEC全等，
∴△PCE为等腰直角三角形，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8，
又∵PB2=1,BE2=9，∴PE2+PB2=BE2，则∠BPE=90°，
∴∠BPC=135°
故答案为：135．

17.【答案】解：(1)①角平分线上的点到角的两边的距离相等，
②证明：如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE=DF，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠C，
在△DEA和△DFC中，
∵∠EAD=∠FCD∠DEA=∠DFCDE=DF
∴△DEA≌△DFC(AAS)
∴AD=CD．
(2)如图，在 BC 时截取 BK=BD，连接 DK，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=40°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠DBK=∠ABC=20°，
∵BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=80°，即∠A+∠BKD=80°， 由(1)的结论得 AD=DK，
∵∠BKD=∠C+∠KDC，
∴∠KDC=∠C=40°，
∴DK=CK，
∴AD=DK=CK，
∴BD+AD=BK+CK=BC．

【解析】(1)解：①根据角平分线的性质定理可知AD=CD．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边的距离相等．
故答案为角平分线上的点到角的两边的距离相等．
②见答案．
(2)见答案．
(1)①根据角平分线的性质定理即可解决问题；
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F.只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题；
(2)如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK.首先证明DK=CK，再证明△DBA≌△DBT，推出AD=TD，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解决问题；
【点睛】
本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18.【答案】证明：(1)∵BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠ACE+∠DCG，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
BC=CA∠BCD=∠ACECD=CE,
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BGC=∠AGF，∠ACB=90∘
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AE；
(3)∠CFE=∠CAB，理由如下：
过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，
∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，S△ACE=S△BCD，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
∵BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB．
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠ACB=∠DCE=90°，由角的和差得到∠BCD=∠ACE，即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到∠CBD=∠CAE，根据对顶角的性质得到∠BGC=∠AGF，由三角形的内角和即可得到结论；
(3)过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，根据全等三角形的性质得到AE=BD，S△ACE=S△BCD，根据三角形的面积公式得到CH=CI，于是得到CF平分∠BFH，推出△ABC是等腰直角三角形，即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵1≤x≤3
当x=3时，x取最大值3，
当x=1时，x取最小值1,
所以代数式x是1≤x≤3的“湘一代数式”．
故答案为：3,1,是．
(2)∵−2≤x≤2，
∴0≤|x|≤2，
∴2≤x+2≤4,
①当a≥0时，x=0时，ax+2−1有最大值为a2−1，
x=2或−2时，ax+2−1有最小值为a4−1,
所以可得不等式组∴a2−1≤2①a4−1≥−2②,
由①得：a≤6,
由②得：a≥−4,
所以：0≤a≤6,
②a<0时，x=0时，ax+2−1有最小值为a2−1，
x=2或−2时，ax+2−1的有大值为a4−1,
所以可得不等式组∴a2−1≥−2①a4−1≤2②,
由①得：a≥−2,
由②得：a≤12,
所以：−2≤a<0，
综上①②可得−2≤a≤6，
所以a的最大值为6，最小值为−2．
(3)∵x−2是m≤x≤4的“湘一代数式”，
当2≤x≤4时，x−2的最大值是2,最小值是0,
∴m≤0,
当m≤x≤2时，x−2=2−x,
当x=2时，x−2取最小值0,
当x=m时，x−2取最大值2−m，
∴m≤02−m≤4
解得：−2≤m≤0,
综上：m的取值范围是：−2≤m≤0.

【解析】【分析】(1)先求解当1≤x≤3时，x的最大值与最小值，再根据定义判断即可；
(2)当−2≤x≤2时，得2≤x+2≤4,分a≥0,a<0，分别求解ax+2−1在−2≤x≤2内时的最大值与最小值，再列不等式组即可得到答案；
(3)当m≤x≤4时，分2≤x≤4，m≤x≤2两种情况分别求解x−2的最大值与最小值，再列不等式(组)求解即可．
本题考查的是新定义情境下的不等式或不等式组的应用，理解定义列不等式(组)是解题的关键．
20.【答案】解：设购买篮球x个，则购买足球(50−x)个，
由题意，得80x+50(50−x)≤3600，
解得x≤3623．
∵x为整数，
∴x的最大值为36．
答：篮球最多可购买36个．
【解析】根据购买足球和篮球的资金不超过3600元，可以列关系式：足球单价×足球数量+篮球单价×篮球数量≤3600．
本题考查了一元一次不等式解决实际问题的运用，正确的建立不等关系是解题的关键．
21.【答案】【小问1详解】
∵点A(2,0)，B(5,0)，C(4,2).△DEF与△ABC关于点O中心对称，
∴点A、B、C的对应点分别是D、E、F的坐标分别为(−2,0)、(−5,0)，(−4,−2)，
在平面直角坐标系中描点D、E、F，顺次连结；
如图，△DEF即为所求．
【小问2详解】
连接AF交y轴于点M，连接DM，
∴MD=MA，
∴△MDF的周长=DF+DM+MF=DF+AM+FM≥DF+AF，
当点M在AF上时最小，△MDF的周长最小=DF+AF，
点M即为所求．
设直线AF的解析式为y=kx+b，
∵A(2,0)，F(−4,−2)，
∴2k+b=0−4k+b=−2,
解得k=13b=−23,
∴直线AF的解析式为y=13x−23，
∴M(0,−23).

【解析】【分析】(1)根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．
(2)连接AF交y轴于点M，连接DM，点M即为所求．求出直线AF的解析式，可得结论．
本题考查作图−旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，学会利用轴对称解决最值问题．
22.【答案】解：(1)①如图1中，
∵△BAE≌△CAF，
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，
∵∠BAC=90°，∠EAD=45°，
∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
在△AED与△AFD中，
AE=AF∠DAE=∠DAFDA=DA
∴△AED≌△AFD(SAS)．
②如图1中，设DE=x，则CD=7−x．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠ABE=∠ACF=45°，
∴∠DCF=90°，
∵△AED≌△AFD(SAS)，
∴DE=DF=x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：
DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，
∴x2=(7−x)2+32，
∴x=297，
∴DE=297．
(2)①当点D在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AE=AD，AB=AC，
在△EAB与△DAC中，
AE=AD∠EAB=∠DACAB=AC
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴∠ABE=∠C=∠ABC=45°，EB=CD=6，
∴∠EBD=90°，
∴DE2=BE2+BD2=62+32=45，
∴DE=3 5．
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同法可证△DBE是直角三角形，EB=CD=12，DB=3，
∴DE2=EB2+BD2=144+9=153，
∴DE=3 17
综上所述，DE的值为3 5或3 17．
【解析】(1)①想办法证明∠DAE=∠DAF，由DA=DA，AE=AF，即可证明．
②如图1中，设DE=x，则CD=7−x.在Rt△DCF中，由DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，推出x2=(7−x)2+32，解方程即可．
(2)分两种情形①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE.由△EAD≌△ADC，推出∠ABE=∠C=∠ABC=45°，EB=CD=5，推出∠EBD=90°，推出DE2=BE2+BD2=62+32=45，即可解决问题．
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2=153．
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23.【答案】证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，
∵∠ADF=∠B+∠BAD，
∠DAF=∠CAF+∠CAD，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAF=∠B．
【解析】EF垂直平分AD，则可得AF=DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终得出结论．
本题考查线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
24.【答案】解：(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则
x+3y=962x+y=62，
解得：x=18y=26．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
(2)设购买A型车a辆，则购买B型车(6−a)辆，则依题意得
18a+26(6−a)≥13018a+26(6−a)≤140，
解得2≤a≤314．
∵a是正整数，
∴a=2或a=3．
∴共有两种方案：
方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；
方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．
【解析】(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则等量关系为：1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；
(2)设购买A型车a辆，则购买B型车(6−a)辆，则根据“购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”得到不等式组．
本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
25.【答案】解：(1)①如图 ①甲，作EQ//AC交BC于点Q，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
∴∠BEQ=∠A=60∘，∠BQE=∠C=60∘，
∴△EBQ是等边三角形，
∴BQ=BE=EQ，
∵BD=2，BE=1，
∴BD=2BE=2BQ=2，
∴DQ=BQ=EQ=BE=1．
∴∠QED=∠QDE，
∴∠QED+∠QDE=2∠QED=∠BQE=60∘，
∴∠QED=30∘，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥AB．
②∵DE⊥AB，FG⊥BC，
∴∠PED=∠BED=∠DGF=90∘，
在RtΔBED中，DE= BD2−BE2= 22−12= 3，
∵△PDF是等边三角形，
∴PD=DF，∠PDF=60∘，
∴∠GDF=180∘−∠PDF−∠PDB=120°−∠PDB，
∵∠EPD=180∘−∠B−∠PDB=120°−∠PDB，
∴∠EPD=∠GDF，
在△PED和△DGF中∠PED=∠DGF∠EPD=∠GDFPD=DF，
∴△PED≌△DGF(AAS)，
∴FG=DE= 3，
(2)在长方形ABCD中，AB=CD=4，∠B=∠C=90∘
如图，连接ED，
∵BE=1，BC=5，
∴CE=5−1=4=CD，
∴ΔECD是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45∘，
过点G做GQ⊥DE，则∠GQD=90∘，
∴∠GEQ+∠G=90∘，
∵∠FEG=∠DEC=45∘，
∴∠BEF+∠GEQ=90∘，
∴∠G=∠FEB，
在ΔGEQ和ΔEFB中{∠GQE=∠B∠G=∠FEBEG=EF,
∴ΔGEQ≌ΔEFB，
∴GQ=BE=1．
如图，当F在点B时，点G在点G1处，当点F在点A时，点G在点G2处，
∵G到ED的距离始终为1，
∴G1G2//DE，
∴∠G1ED+∠G1=180°，
由旋转可知BE=G1E=1，AE=G2E= 1+42= 17，∠BEG1=∠CED=45∘，
∴∠G1ED=90°，
∴∠G1=90°，
在Rt△G1EG2中G1G2= 17−1=4，
即当点F从点B运动到点A时，点G运动的路程为4．
【解析】本题考查了三角形的综合，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质．
(1)①作EQ//AC交BC于点Q，先证得△EBQ是等边三角形，进而得到DQ=BQ=EQ=BE=1，得出∠QED=30°，则结论得证；
②由勾股定理得到DE的长，通过AAS证得△PED≌△DGF，得出FG=DE即可求解；
(2)连接ED，过点G做GQ⊥DE，得到G到ED的距离始终为1，即G1G2//DE，再根据勾股定理和旋转的性质进而得到答案．