广东省广州市番禺区洛溪新城中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省广州市番禺区洛溪新城中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞B．x≥C．x≤D．x≤5
2．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．＝﹣2B．+＝C．×＝4D．2﹣
4．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，1，B．6，8，10C．5，12，13D．，2，
5．（3分）在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下列一定正确的是（ ）
A．OA＝OBB．AC＝BDC．AB＝CDD．CD＝BC
6．（3分）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，以点B为圆心，AB长为半径画弧，以点A为圆心，AC长为半径画弧，则点M对应的数是（ ）
A．B．C．+1D．+1
7．（3分）一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向行，离开港口0.5小时后（ ）
A．10海里B．20海里C．30海里D．40海里
8．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，则∠DBF的度数为（ ）
A．31°B．28°C．62°D．56°
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，∠AFB＝90°，且AB＝8，则EF的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，DN⊥AC于点N，连接MN（ ）
A．5B．3.6C．2.4D．4.8
二.填空题（共6题，每题3分，共18分，直接把最简答案填写在题中的描线上）
11．（3分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式： ．
12．（3分）菱形的两条对角线长分别是为6cm和12cm，则其面积为 cm2．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝9，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为 ．
14．（3分）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，则正方形EFGH的边长为 ．
15．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ ．
16．（3分）观察分析下列数据：0，，，3，，，，…，根据数据排列的规律得到第19个数据应是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（4分）已知：a＝+1，求代数式a2﹣2a﹣1的值．
19．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，并说明理由．
20．（6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6
（1）求线段AE的长；
（2）求△ABC的面积．
22．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，且交AE于点D
（1）AD＝BC；
（2）四边形ABCD是菱形．
23．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
24．（12分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）若AB＝4，BE＝x，用x表示DF的长．
25．（12分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情景：在矩形ABCD中，点E为AD边上一动点，点F为BC边上一点，将四边形CDEF沿EF折叠，点C、D分别落在点C'、D'处
（1）如图1，若∠EFC＝75°，AD＝AB，延长D'C'交AB于点P．则PC'与PB的数量关系是 ，写出图中一个30°的角： ；
（2）如图2，若点F为BC的中点，AD＝2AB，延长D'C'交AB于点P．求PC'与PB的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，连接C'E，当点E为AD的三等分点时的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出来，并将答案涂填到答题卡上）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞B．x≥C．x≤D．x≤5
【解答】解：由题意得，5x﹣1≥4，
解得，x≥，
故选：B．
2．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、＝＝，被开方数含分母；
B、，是最简二次根式；
C、＝＝2，不是最简二次根式；
D、＝，被开方数含分母；
故选：B．
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．＝﹣2B．+＝C．×＝4D．2﹣
【解答】解：A、＝8；
B、+＝+2，故原题计算错误；
C、＝＝3；
D、2和，故原题计算错误；
故选：C．
4．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，1，B．6，8，10C．5，12，13D．，2，
【解答】解：A、12+42＝（）7，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、62+62＝102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、82+122＝137，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、（）2+72≠（）8，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下列一定正确的是（ ）
A．OA＝OBB．AC＝BDC．AB＝CDD．CD＝BC
【解答】解：∵四边形ABCC是平行四边形，
∴AB＝CD，OA＝OC，
故C符合题意，
∴OA与OB不一定相等，AC与BD不一定相等，
故A，B，D不符合题意，
故选：C．
6．（3分）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，以点B为圆心，AB长为半径画弧，以点A为圆心，AC长为半径画弧，则点M对应的数是（ ）
A．B．C．+1D．+1
【解答】解：由题意得，BC＝AB＝1，
由勾股定理得，AC＝＝，
则AM＝，
∴点M对应的数是+1，
故选：C．
7．（3分）一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向行，离开港口0.5小时后（ ）
A．10海里B．20海里C．30海里D．40海里
【解答】解：如图所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×5.5＝6（海里），
∴∠BAC＝∠6+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形，
∴BC＝＝＝10（海里）．
故选：A．
8．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，则∠DBF的度数为（ ）
A．31°B．28°C．62°D．56°
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
又∵∠BDC＝62°，
∴∠BDE＝90°﹣∠BDC＝90°﹣62°＝28°，
∴∠CBD＝∠BDE＝28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，∠AFB＝90°，且AB＝8，则EF的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝8，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣5＝3，
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，DN⊥AC于点N，连接MN（ ）
A．5B．3.6C．2.4D．4.8
【解答】解：如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，且BA＝6，
∴．
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴四边形AMDN为矩形，
∴AD＝MN，
∴当AD最小时，MN最小．
当AD⊥BC时，AD最小△ABC＝AB•AC＝，
∴6×5＝10AD，
∴AD＝4.8，
∴线段MN的最小值为2.8．
故选：D．
二.填空题（共6题，每题3分，共18分，直接把最简答案填写在题中的描线上）
11．（3分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式： 如果三角形三边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形 ．
【解答】解：逆命题为：三角形三边长a，b，c，满足a2+b2＝c8，这个三角形是直角三角形，
逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：如果三角形三边长a，b，c2+b2＝c5，那么这个三角形是直角三角形，
故答案为：如果三角形三边长a，b，c，满足a2+b2＝c3，那么这个三角形是直角三角形．
12．（3分）菱形的两条对角线长分别是为6cm和12cm，则其面积为 36 cm2．
【解答】解：∵菱形的两条对角线分别是6cm和12cm，
∴这个菱形的面积是：×6×12＝36（cm2）．
故答案为：36．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝9，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为 4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BC＝9，CD＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣5＝4．
故答案为：3．
14．（3分）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，则正方形EFGH的边长为 10 ．
【解答】解：设AH＝a，则HD＝14﹣a，
由图可得，EK＝HD，
∵AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，
∴a＝12﹣a，
∴a＝6，
在Rt△AEH中，
∵AH＝2，HD＝AE＝14﹣6＝8，
∴HE＝10．
故答案为：10．
15．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ b﹣2a ．
【解答】解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，
则原式＝﹣a﹣（a﹣b）＝b﹣6a．
故答案为：b﹣2a．
16．（3分）观察分析下列数据：0，，，3，，，，…，根据数据排列的规律得到第19个数据应是 ﹣3 ．
【解答】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：（﹣1）1，（﹣1）5，…（﹣4）n，
∴第19个答案为：（﹣8）19＝﹣7．
故答案为：﹣3．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝+2﹣7
＝2﹣；
（2）原式＝+﹣2
＝8+﹣2
＝4﹣．
18．（4分）已知：a＝+1，求代数式a2﹣2a﹣1的值．
【解答】解：原式＝（a﹣1）2﹣3，
因为a＝+1，
所以a﹣3＝，
所以原式＝（）6﹣2＝5﹣3＝3．
19．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，并说明理由．
【解答】解：四边形BEDF是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△DAF≌△BCE（SAS），
∴DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，
∴DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
20．（6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD4＝172﹣83＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.5＝16.6（米），
答：风筝的高度CE为16.5米；
（2）由题意得，CM＝9，
∴DM＝5，
∴BM＝＝＝10（米），
∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米），
∴他应该往回收线7米．
21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6
（1）求线段AE的长；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴DE＝CD＝6，
∴AE＝＝5；
（2）设BC＝x，则BE＝x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB4，
即162+x2＝（5+x）2，
解得x＝12，
即BC＝12，
∴S＝96．
22．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，且交AE于点D
（1）AD＝BC；
（2）四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：（1）∵AE∥BF，
∴∠BCA＝∠CAD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴△BAC是等腰三角形，
∴AB＝CB，
∵∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，
∴△ABD也是等腰三角形，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC；
（2）∵BC∥DA，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵△BAC是等腰三角形，BD平分∠ABC，
∴AC⊥BD；
∴四边形ABCD是菱形．
23．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：
24．（12分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）若AB＝4，BE＝x，用x表示DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵FH⊥BH，
∴∠H＝90°，
∴∠H＝∠B，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEH+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEH，
在△AEB和△EFH中，
，
∴△AEB≌△EFH（AAS），
∴BE＝FH，AB＝EH，
∴BC＝EH，即BE+EC＝EC+CH，
∴BE＝CH；
（2）解：如图，过点F作FG⊥CD于G，
则∠FGC＝∠GCH＝∠CHF＝90°，
∴四边形CGFH是矩形，
∵BE＝CH，BE＝FH，
∴CH＝FH，
∴四边形CGFH是正方形，
∵AB＝4，BE＝x，
∴CD＝4，FG＝CG＝x，
∴DG＝8﹣x，
在Rt△DFG中，DF＝＝＝，
∴DF的长为．
25．（12分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情景：在矩形ABCD中，点E为AD边上一动点，点F为BC边上一点，将四边形CDEF沿EF折叠，点C、D分别落在点C'、D'处
（1）如图1，若∠EFC＝75°，AD＝AB，延长D'C'交AB于点P．则PC'与PB的数量关系是 PC'＝PB ，写出图中一个30°的角： ∠BFC' ；
（2）如图2，若点F为BC的中点，AD＝2AB，延长D'C'交AB于点P．求PC'与PB的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，连接C'E，当点E为AD的三等分点时的值．
【解答】解：（1）连接PF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD为矩形，AD＝AB，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵将正方形CDEF沿EF折叠，
∴FC＝FC'，∠C＝∠D'C'F＝90°，
∴∠PC'F＝90°，BF＝C'F，
又∵PF＝PF，
∴Rt△PBF≌Rt△PC'F（HL），
∴PB＝PC'，
∵∠EFC＝75°，将四边形CDEF沿EF折叠，
∴∠EFC＝∠EFC'＝75°，
∴∠BFC'＝180°﹣∠EFC﹣∠EFC'＝30°，
故答案为：PC'＝PB，∠BFC'；
（2）PC'＝PB．
理由：连接PF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∵将矩形CDEF沿EF折叠，
∴FC＝FC'，∠C＝∠D'C'F＝90°，
∴∠PC'F＝90°，BF＝C'F，
∴Rt△PBF≌Rt△PC'F（HL），
∴PB＝PC'；
（3）①若点E为AD的三等分点，且AE＝2DE，
∵AD＝6，
∴AE＝7，ED＝2，
过点E作EM⊥BC于M，
∴四边形ABME为矩形，
∴BM＝AE＝4，EM＝AB＝4，
∴FM＝BM﹣BF＝4﹣1＝2，
∴EF＝＝＝3，
∵将矩形CDEF沿EF折叠，
∴ED＝ED'＝4，C'D'＝CD＝3，
∴C'E＝＝＝，
∴；
②若点E为AD的三等分点，且DE＝2AE，
∴DE＝3，EA＝2，
过点E作EN⊥BC于N，
同理可得FN＝1，EN＝2，
∴EF＝＝＝，
同理由折叠可得ED＝ED'＝4，C'D'＝CD＝3，
∴C'E＝＝＝4，
∴，
综上所述，的值为或．