2022-2023学年广东省广州市番禺区钟村中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市番禺区钟村中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市番禺区钟村中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式 (−5)2的值是(    )
A. 5 B. − 5 C. 5 D. −5
2. 式子 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )
A. x>0 B. x≥−1 C. x≥1 D. x≤1
3. 如图，在▱ABCD中，∠A=120°，则∠D=(    )
A. 80°
B. 60°
C. 120°
D. 30°
4. 下列各式计算正确的是(    )
A. 2−2 2=− 2 B. a2b=ab
C. (−4)×(−9)= −4× −9 D. 6÷ 3= 3
5. 下列式子中，是最简二次根式的是(    )
A. x2+1 B. 0.2 C. 8a D. 9
6. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长是(    )


A. 3 B. 2 3 C. 2 6 D. 12
7. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(    )


A. AB//DC，AD//BC B. AB//DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DO D. AB=DC，AD=BC
8. 已知一个三角形的三边长度如下，则能够判断这个三角形是直角三角形的是(    )
A. 1，1，1 B. 1，2， 3 C. 2，3，4 D. 6，8，9
9. 如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于(    )


A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
10. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：(    )
①OG=12AB；
②与△EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG=S四边形ABOG；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．





A. ①③④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．
12. 若 m+1+(n−2)2=0，则m+n= ______ ．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AC=6，BC=8，则CD=           ．






14. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若S△AOB=2，则▱ABCD的面积为______ ．


15. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为______米．


16. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为          ．







三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算：
(1) 8+2 3−( 27− 2)；
(2) 4a2b3(a>0)．
18. (本小题6.0分)
如图，已知E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)．

19. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．





20. (本小题8.0分)
某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

21. (本小题8.0分)
如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD．
(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
(2)若AB=4，BC=6，求四边形OCED的周长和面积．

22. (本小题10.0分)
如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．
求证：DE//BC，DE=12BC．

23. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE//AC，DF//AB．
(1)如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是______ 形；
(2)如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是______ 形；
(3)如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是______ 形，证明你的结论(仅需证明第3)题结论)

24. (本小题10.0分)
如图，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，E，F分别是边AB、BC上的两个动点，且满足AE=BF．
(1)求DB的长；
(2)判断△DEF的形状；
(3)设△DEF的周长为l，求l的最小值．

25. (本小题10.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边向外作等边三角形△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．

(1)判断E点是否是CF的中点，并说明理由；
(2)求证：四边形FDBC是平行四边形；
(3)如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求AH：HD的值．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解： (−5)2= 52=5；
故选：C．
根据二次根式的性质， a2=a(a≥0)−a(a<0)，进而得出答案即可．
本题考查了根据二次根式的意义化简，利用二次根式 a2化简规律：当a≥0时， a2=a；当a≤0时， a2=−a得出是解题关键．

2.【答案】C 
【解析】解：由题意，得
x−1≥0，
解得：x≥1，
故选：C．
根据被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件．

3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行是解题的关键．利用平行四边形的对边平行，可求得答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠D=180°−∠A=180°−120°=60°，
故选B．
  
4.【答案】A 
【解析】解：A、 2−2 2=− 2，故该选项计算正确，符合题意；
B、 a2b=|a| b，故该选项计算错误，不符合题意；
C、 (−4)×(−9)= 4×9= 4× 9，故该选项计算错误，不符合题意；
D、 6÷ 3= 6÷3= 2，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：A．
根据二次根式的性质和运算法则和逐项求解判断即可．
本题考查二次根式的运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则并正确选择是解答的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：A、 x2+1不能化简，是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、 0.2被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 8a=2 2a，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 9=3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据最简二次根式的条件判断即可，(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
本题考查了最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

6.【答案】A 
【解析】解：∵在菱形ABCD中，周长为24，
∴OA=OC，CD=24÷4=6，
∵H为AD边的中点，
∴OH=12CD=3，
故选：A．
先根据菱形的性质可得CD=6，OA=OC，再根据三角形中位线定理即可得．
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．

7.【答案】B 
【解析】解：A、AB//DC，AD//BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB//DC，AD=BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO=CO，BO=DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB=DC，AD=BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
利用平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．

8.【答案】B 
【解析】解：A、12+12≠12，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、12+( 3)2=22，故是直角三角形，故此选项正确；
C、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、62+82≠92，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

9.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=8cm，AB=5cm，
∴AD=BC=8cm，AB=CD=5cm，AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵E平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CE=DC=5cm，
∴BE=BC−CE=3cm，
故选：C．
根据平行四边形性质得出AD=BC=8cm，AB=CD=5cm，AD//BC，求出∠EDC=∠DEC，推出CE=DC=5cm，代入BE=BC−CE求出即可．
本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质等知识点的应用，关键是求出CE和BC的长．

10.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=12AB，①正确；
②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB=BD=AD，因此OD=AG，则四边形ABDE是菱形，④正确；
③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG=S△DOG，S△ABG=S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB//CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△CBO≌△CDO≌△ADO(SSS)，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
∠BAG=∠EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，
∴△ABG≌△DEG(AAS)，
∴AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=12AB，故①正确；
∵AB//CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，

∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD(SSS)，
在△BGA和△COD中，
AG=DO∠BAG=∠CDOAB=DC，
∴△BGA≌△COD(SAS)，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB=OD，
∴S△BOG=S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG=S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确，
故选：A．  
11.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 
【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．
故答案为如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．

12.【答案】1 
【解析】解：∵ m+1+(n−2)2=0，
∴m+1=0，n−2=0，
∴m=−1，n=2，
∴m+n=−1+2=1，
故答案为：1．
利用算术平方根和平方式的非负性求解m、n值，然后代值求解即可．
本题考查代数式求值、算术平方根和平方式的非负性，利用非负性求解是解答的关键．

13.【答案】5 
【解析】
【分析】
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
直接利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．
【解答】
解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD=12AB=5．
故答案为：5．  
14.【答案】8 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴S△AOD=S△DOC=S△COB=S△AOB=2，
∴S▱ABCD=4S△AOB=8，
故答案为：8．
根据平行四边形的对角线互相平分和三角形的中线将三角形面积平分求解即可．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质，熟练掌握平行四边形的性质，得到S△AOD=S△DOC=S△COB=S△AOB=2是解答的关键．

15.【答案】(1+ 5) 
【解析】解：由题意得：在直角△ABC中，
AC2+AB2=BC2，
则12+22=BC2，
∴BC= 5，
∴则树高为：(1+ 5)m．
故答案为：(1+ 5).
根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．

16.【答案】245 
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
【解答】
解：∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC= AB2+BC2=10，
∴AO=DO=12AC=5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即12=12AO×EO+12DO×EF，
∴12=12×5×EO+12×5×EF，
∴5(EO+EF)=24，
∴EO+EF=245，
故答案为：245．  
17.【答案】解：(1) 8+2 3−( 27− 2)
=2 2+2 3−3 3+ 2
=3 2− 3；
(2)∵a>0，b≥0，
∴ 4a2b3=2ab b． 
【解析】(1)先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；
(2)根据二次根式的性质和二次根式的被开方数是非负数求解即可．
本题考查二次根式的性质、二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质并得到b>0是解答的关键．

18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAE=∠FCD，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
(2)△ABC≌△CDA，△BCE≌△DAF． 
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB//CD，推出∠BAE=∠FCD，根据垂直的定义得到∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS即可得到答案；
(2)根据SSS得到△ABC≌△CDA，根据SAS得到△BCE≌△DAF．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，垂线的定义，全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，能推出证明两三角形全等的三个条件是证此题的关键．

19.【答案】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°．
在Rt△ACD中，AD=5，CD=12，
∴AC= AD2+CD2= 52+122=13．
∵BC=13，
∴AC=BC．
∵CE⊥AB，AB=10，
∴AE=BE=12AB=12×10=5．
在Rt△CAE中，CE= AC2−AE2= 132−52=12．
∴S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC=12×5×12+12×10×12=30+60=90． 
【解析】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，由等腰三角形的性质得出AE=BE=12AB，在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长，再由
S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC即可得出结论．

20.【答案】解：由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，
∵182+242=302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ=90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴∠RPS=45°，
∴“海天”号沿北偏西45°方向航行；
 
【解析】直接得出RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．

21.【答案】解：(1)四边形OCED是菱形．
证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．

(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AC= AB2+BC2= 42+62=2 13，
∴CO=OD= 13，
∴四边形OCED的周长=4 13；
连接OE.由菱形OCED得：CD⊥OE，
∴OE//BC，
又∵CE//BD
∴四边形BCEO是平行四边形，
∴OE=BC=6，
∴S四边形OCED=12OE⋅CD=12×6×4=12． 
【解析】(1)根据DE//AC，CE//BD.得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求得OC=OD，即可判定四边形OCED是菱形．
(2)连接OE.由菱形OCED得：CD⊥OE，从而求得OE//BC，又CE//BD，得出四边形BCEO是平行四边形，得出OE=BC=6，即可求得S四边形OCED=12OE⋅CD=12×6×4=12．
此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．

22.【答案】证明：延长DE至F，使EF=DE，连接CF
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中，DE=EF∠AED=∠CEFAE=CE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴AD=CF，∠ADE=∠F
∴BD//CF，
∵AD=BD，
∴BD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴DF//BC，DF=BC，
∴BE//CB，DE=12BC． 
【解析】延长DE至F，使EF=DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE和证明四边形BCFD是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．
本题考查了三角形的中位线定理的证明，用到的知识点有全等三角形的判定和全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质．

23.【答案】解：(1)矩；
(2)菱；
(3)正方；
理由如下：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵DE//AC，DF//AB，
∴∠ADE=∠DAF，四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∴▱AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形． 
【解析】解：(1)∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
故答案为矩；
(2)∵DE//AC，DF//AB，
∴∠ADE=∠DAF，四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∴▱AEDF是菱形；
故答案为菱；
(3)由(1)知四边形AEDF是矩形，由(2)知四边形AEDF是菱形，所以四边形AEDF是正方形．
(1)由于四边形AEDF的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC=90°，根据矩形的定义，可知四边形AEDF是矩形；
(2)首先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明有一组邻边相等；
(3)由(1)(2)知四边形AEDF既是矩形，又是菱形，所以它是正方形．
本题综合考查了矩形、菱形、正方形的判定．

24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD=6；
(2)△DEF是等边三角形；
在△ADE与△BDF中，AD=BD，∠DAE=∠DBF=60°，AE=BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE=DF，∠ADE=∠BDF，
∴∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB=60°，
∴△DEF是等边三角形；
(3)当DE⊥AB时，DE最短，此时△DEF的周长最短，

在Rt△ADE中，∠DAE=60°，
∴∠ADE=90−∠DAE=90°−60°=30°，
∵AD=6，
∴AE=3，
∴DE= AD2−AE2= 62−32=3 3，
∵△DEF是等边三角形，
∴l=3 3×3=9 3． 
【解析】(1)根据菱形对角线平分且垂直的性质，求得BD；
(2)先证明△OCE≌△ODE，得DE=DF，∠ADE=∠BDF，从而得到△DEF是等边三角形；
(3)先确定条件，即当DE⊥AB时，DE最短，此时△DEF的周长最短，由三角函数求出DE，从而得出l的最小值．
本题是菱形的性质，勾股定理，30度所对的边等于斜边的一半，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．

25.【答案】(1)解：E点是CF的中点．理由为：
∵∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴CE=AE=BE，又∠CAB=30°，
∴∠ECA=∠EAC=30°，
∴∠AEF=∠EAC+∠ECA=60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=∠ADB=60°，
∴∠AFE=180°−∠DAB−∠AEF=60°，
即∠AFE=∠AEF=∠FAE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=AE=CE，即E点是CF的中点；
(2)证明：∵∠ECA=30°，∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°−∠ECA=60°，
∴∠AFE=∠ADB=∠BCE=60°，
∴BD//CF，DF//BC，
∴四边形FDBC是平行四边形；
(3)解：∵∠FAE=60°，∠CAB=30°，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
设BC=x，
在Rt△ACB中，AB=2BC=2x，则AC2=AB2−BC2=3x2，
∴DA=AB=2x，
由折叠性质得HD=CH，
在Rt△AHC中，CH=HD=AD−AH=2x−AH，
由AC2=CH2−AH2得3x2=(2x−AH)2−AH2，
解得x=4AH，(x=0不符题意，舍去)，
∴HD=AD−AH=2x−AH=7AH，
∴AH：HD=1：7． 
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得到∠ECA=∠EAC=30°，再利用等边三角形的性质和三角形的外角性质得到∠AFE=∠AEF=∠FAE=60°，证明△AEF为等边三角形即可得到结论；
(2)根据平行线的判定得到BD//CF，DF//BC，再根据平行四边形的判定可得结论；
(3)根据折叠性质得到HD=CH，设BC=x，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得HD即可．
本题考查等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的外角性质、平行线的判定、折叠性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解答的关键．