浙江省绍兴市诸暨市实验初级中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列地铁标志图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合；
B、不是中心对称图形，故选项不符合；
C、不是中心对称图形，故选项不符合；
D、中心对称图形，故选项符合．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程)解决此题．
【详解】解：A．是一元一次方程，故A不符合题意．
B．是二元一次方程，故B不符合题意．
C．根据一元二次方程的定义，符合一元二次方程的定义，故C符合题意．
D．是分式方程，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．
3. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】先比较平均数，乙、丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
【详解】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，
由于，故乙的方差大，波动大．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
4. 二次根式中取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得出，再求x的取值范围即可．
【详解】解：∵
∴
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，根据二次根式被开方数大于等于零解此题．
5. 如图，在平行四边形中，，则的度数是 （ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形邻角互补以及，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形邻角互补是解题的关键．
6. 若一个n边形内角和为，则n的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据，计算求解即可．
详解】解：由题意知，，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形内角和．熟练掌握n边形内角和为是解题的关键．
7. 若m是关于x的方程的根，则的值为（ ）
A. 16B. 12C. 20D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程根的概念可得，进而整体代入计算即可．
【详解】解：∵ m是关于x的方程的根 ，
∴，
∴，
∴ ．
故答案为：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求解代数式的值，熟练的利用整体代入法求值是解本题的关键．
8. 某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为( )
A. x(27﹣3x)＝75B. x(3x﹣27)＝75
C. x(30﹣3x)＝75D. x(3x﹣30)＝75
【答案】C
【解析】
【分析】设矩形宽为xm，根据可建墙体总长可得出矩形的长为(30-3x)m，再根据矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解
【详解】解：设矩形宽为xm，则矩形的长为(30﹣3x)m，
根据题意得：x(30﹣3x)＝75．
故选C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程是解题的关键.
9. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出∠A的度数即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
，
根据折叠可知，，
∴，
，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．
10. 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EFCD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（ ）
A. △ECDB. △EBFC. △EBCD. △EFC
【答案】A
【解析】
【分析】过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN=BM，由三角形的面积公式可得△BCF等于△CDF的面积，由平行线间距离相等可说明△CDE的面积与△CDF的面积相等，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，ADBC，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN＝BM，
∵S△BCF＝CF•BM，S△CDF＝CF•DN，
∴S△BCF＝S△CDF，
∵EFCD，
∴S△CDE＝S△CDF，
∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，
∴由△ECD的面积可求△FBC的面积，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，两平行线间距离相等，解题的关键是证明△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11. 当a＝4时，的值为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】直接将a值代入计算即可．
【详解】解：∵a=4，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法．
12. 方程的两根为、，则的值等于______ ．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用根据根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：方程的两根为，
，，


．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是将根与系数的关系与代数式系数变形相结合，对于一元二次方程有两个实数根，则．
13. 若用配方法解方程时，将其配方为的形式，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据配方法进行计算即可求解．
【详解】解：
∴
即
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
14. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 ___m．
【答案】2
【解析】
【分析】设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为468m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝2，x2＝35．
当x＝2时，30﹣2x＝26，符合题意；
当x＝35时，30﹣2x＝﹣40＜0，不合题意，舍去．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于找到等量关系列出方程.
15. 如图，在中，，，D是所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，设此平行四边形的对角线交点为O，则的长为_______．
【答案】或1或
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，运用数形结合思想与分类讨论思想是解决本题的关键．分三种情况讨论：①为边，是对角线；②，为边，③，为边，作出图形，分别由平行四边形的性质和勾股定理可求的长．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
①如图，若，为边，是对角线，
∵四边形是平行四边形，且，，
∴；
②若，为边，为对角线，
∵四边形是平行四边形，
∴；
③若，为边，为对角线，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：或1或．
16. 对于一元二次方程，下列说法：
若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有______个．（填个数）
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可．
【详解】解：①若方程有一根，则，即，故①正确；
②若，则可知方程有一个根为，
则，故②正确；
③若方程的两个根是，
所以方程的两个根为，，故③正确；
④若c是方程的一个根，
则，
当时，则一定有成立，故④错误．
综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算（先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式），以及利用完全平方公式和平方差公式进行计算．
（1）利用二次根式的混合运算法则进行计算，即可解题；
（2）利用完全平方公式和平方差公式，结合二次根式的混合运算法则进行计算，即可解题．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法是解本题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，．
19. 某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．
（1）补全如图的学生课外读书数量条形统计图；
（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数______、中位数______和平均数______；
【答案】（1）见解析 （2）4；；
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可知，课外读书数量为2本的有2人，4本的有4人，据此可以补全条形统计图；
（2）根据众数，中位数和平均数的定义求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知：课外读书数量为2本的有2人，4本的有4人，补全学生课外读书数量条形统计图，如图所示：
【小问2详解】
解：∵本次所抽取学生课外读书数量的数据中出现次数最多的是4，
∴众数是4．
将本次所抽取的12名学生课外读书数量的数据，按照从小到大的顺序排列为：
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5．
∵中间两位数据是3，4，
∴中位数是：．
平均数为：．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，熟练掌握众数，中位数，平均数的定义是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）m的值为4或3
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论；
（2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．
【小问1详解】
证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：当腰为4时，
把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，
得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；
当底为4时，
则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3，
综上所述，m的值为4或3．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．
21. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）若AE＝EF＝4，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，∠ABE=∠CDF，然后根据题意证明即可．
（2）根据OE=OF=求出OE的长度，然后根据勾股定理求出AO的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出AC的长度．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥ED，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴，
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF．
（2）∵AE＝EF＝4，
∴OE=OF＝，
∴在中，，
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理．
22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元
【解析】
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价应定为元，
由题意得，
整理得，
解得或，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
23. 问题：如图，在平行四边形中，，的平分线分别与直线交于点E、F，请直接写出的长．
（1）探究：把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，的长为 ．
②当点E与点C重合时，的长为 ．
（2）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【答案】问题：；探究：（1）①12；②6；（2）2或或
【解析】
【分析】问题：由平行线的性质和角平分线的定义可得，，可求解；
探究：（1）①证，得，同理，即可求解；
②由题意得，再由，即可求解；
（2）分三种情况，由（l）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【详解】解：问题：∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
探究：（1）①如图1所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，同理：，
∵点E与点F重合，
∴；
故答案为：12；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴，
∵，
∴点F与点D重合，
∴；
故答案为：6；
（2）分三种情况
①如图3所示：
同（1）得：，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴，
∴；
②如图4所示：
同（1）得：，
∵，
∴；
③如图5所示：
同（1）得：，
∵，
∴；
综上所述，的值为2或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
24. 在平行四边形中，，，．
（1）若，则______；
（2）如图，当时，求对角线的长（用含的式子表示）；
（3）如图，四边形，四边形都是平行四边形，延长交于点，若，，，，求的长．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）延长，过点作的延长线于点，根据锐角三角函数的定义得出及的长，根据勾股定理即可得出结论；
（）延长，过点作的延长线于点，根据得出 再由得出，故根据勾股定理即可得出结论，然后把代入即可；
（）过点作，交的延长线于点，连接，先根据平行四边形的性质得出，，在中求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质求出且然后用勾股定理求即可；
本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
【小问1详解】
如图，延长，过点作的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
如图，延长，过点作的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，；
【小问3详解】
过点作，交的延长线于点，连接，如图所示，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．甲
乙
丙
丁
（环）
8
9
9
8
S2（环2）
1
1.2
1
1.2