江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期期中模拟数学试卷（考试范围：三角函数平、面向量及其应用、复数）

这是一份江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期期中模拟数学试卷（考试范围：三角函数平、面向量及其应用、复数），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试范围：三角函数、平面向量及其应用、复数）
一、单项选择题（40分）
1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
5．半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为．圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数图象的一个对称中心为，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（18分）
9．下列说法错误的是（ ）
A．在正三角形中，，的夹角为
B．若，且，则
C．若且，则
D．对于非零向量，“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件
10．函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为B．在上单调递增
C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称
11．设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．若，则
三、填空题（15分）
12．计算 .
13．已知（），则的值为 ．
14．记的内角的对边分别为，其外接圆半径为，且，则角大小为 ，若点在边上，，则的面积为 ．
四、解答题（77分）
15．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值．
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．
(1)求角A的大小；
(2)求的值；
(3)求的面积.
17．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，在中，，，求的值；
(3)记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域．
18．（1）已知，若为实数，求的值.
（2）已知复数满足，若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值.
19．如图，现有一食品厂的占地区域为半圆形，直径为AB的中点，为OB的中点，点在BA的延长线上，且，市政规划要求，在半圆弧上选取一点，各修建一条地下管道EC和ED通往C，D两点.

(1)设，试将管道总长（即EC+ED）表示为的函数；
(2)若修建管道EC的费用为10万元，修建管道ED的费用为20万元，求修建管道的总费用的最大值.
参考答案：
1．C
【分析】由复数的四则运算先算出，在得到.
【详解】由，
得.
故选:C.
2．A
【分析】根据结合诱导公式求解即可.
【详解】.
故选：A.
3．A
【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算即得.
【详解】由，得.
故选：A
4．B
【分析】根据向量的加减运算可得，两边平方后结合数量积的性质，即可推得答案.
【详解】由，可得，
即，即，
将等式两边平方，化简得，∴，
即，因此，是直角三角形，
故选：B．
5．D
【分析】设点M的横坐标x关于时间 （单位： 的函数关系式为，求出的值，时，射线OM可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式．
【详解】设点M的纵坐标关于时间 （单位：的函数关系式为，
由题意可得，，
时，射线可视角的终边，则．
故选：D．
6．D
【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.
【详解】因为，
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为
．
故选：D．
7．D
【分析】借助二次函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项计算即可得.
【详解】对A：二次函数不是中心对称图形，故A错误；
对B：当时，，由不是函数的对称中心，
故不是的对称中心，故B错误；
对C：当时，，由不是函数的对称中心，
故不是的对称中心，故C错误；
对D：当时，，由是函数的对称中心，
故是的对称中心，故D正确.
故选；D.
8．B
【分析】先根据正弦定理和条件化简得到，把转化为角求解可得答案.
【详解】因为，所以，
整理可得，即有.
又，所以，解得，所以，
于是
.
因为三角形是锐角三角形，所以，所以，
所以的取值范围是.
故选：B
9．ACD
【分析】根据向量的夹角定义可判断A；根据平行向量的定义可判断B；根据平面向量数量积的运算律可判断C；根据平面向量数量积的定义可判断D.
【详解】对于A，在正三角形中，的夹角为，故A错误；
对于B，若，且，则，故B正确；
对于C，若，则，当时，可以有，故C错误；
对于D，当时，与的夹角为锐角或零角，故充分性不成立，
当与的夹角为锐角时，，故必要性成立，
所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，故D错误.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：令，解得，
当时，取到最大值为2，故A错误；
对于选项B：因为，则，
且在内单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
对于选项CD：，不是最值，
所以直线不是的图像的对称轴，故C错误；
的图像关于点对称，故D错误；
故选：ACD.
11．AC
【分析】根据条件，结合共轭复数的定义，复数模的公式，复数的四则运算，即可求解.
【详解】对于A，若，则，，所以，故A正确；
对于B，令，，，所以，但，故B不正确；
对于C，设，，则，
则，
所以，
则，
所以，
则，故C正确；
对于D，令，，则，但，所以D不正确；
故选：AC
12．/
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
13．1
【分析】由已知条件先表示出，利用复数模的性质计算.
【详解】由（），
得到
从而有，
则．
故答案为：1
14．
【分析】化简得，解得，得角大小；由外接圆半径，求，，两边同时平方，结合余弦定理，求出，面积公式求的面积.
【详解】中，，
即，得，解得，（舍），
由，得.
的外接圆半径为，则，解得，
由余弦定理，，得，
点在边上，，
则，
有，
得，
即，
由，解得，
所以的面积为.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用公式求解，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求解.
15．(1)证明见解析
(2)12
【详解】（1）证明：由已知，得＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2.
因为＝2e1－8e2，所以.
因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线．
（2）由（1）可知＝e1－4e2.因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理求解出的值，则A可求；
（2）利用正弦定理可直接求解出的值；
（3）利用三角形的面积公式运算求解.
【详解】（1）在中，根据余弦定理得，，
且，所以.
（2）在中，根据正弦定理，
可得.
（3）由（1）可得：的面积为.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用正弦展开式化简成已知要求的函数形式即可；
（2）由同角的三角函数关系和正弦展开式化简即可；
（3）利用正弦函数的单调性，值域，诱导公式，辅助角公式结合计算即可
【详解】（1），
所以．
（2）由题意，得．
因为，又C为的内角，所以．
因为，所以，所以．
所以．
（3）由题意，得，
∵，∴，
①当时，为上的增函数，上的减函数，
所以，，
此时，；
∵，∴，∴，
即可得函数的取值范围为；
②当时，为的减函数，，
最小值为，
此时；
∵，∴，∴，
即可得函数的取值范围为．
综上可得函数的值域为．
18．（1）；（2）19.
【分析】（1）化简复数，然后根据复数为实数列方程求解即可；
（2）根据复数模的运算求得，代入二次方程，根据复数相等列方程组求解即可.
【详解】（1）因为为实数，
所以，解得；
（2）由可设，由题意，所以，
所以，所以，代入得，
即，所以，所以，所以.
19．(1)（单位：）
(2)万元
【分析】（1）在和中使用余弦定理计算即可求出的表达式；
（2）将表示为的函数再求最大值即可得到答案.
【详解】（1）为方便起见，在本解析中我们将在过程中略去单位，只在最终结果标明单位.如无特殊说明，线段长度的单位均为“千米”，费用的单位均为“万元”.
由条件知，，，从而在和中使用余弦定理有
，
故（单位：）.
（2）设管道总费用为，，由（1）可知，
，
，当且仅当时取等号，
故当时，总费用的最大值是万元.
【点睛】关键点点睛：在和中使用余弦定理得到的表达式是将本题转化为函数问题的关键.