吉林省长春市2024届高三下学期三模数学试题

这是一份吉林省长春市2024届高三下学期三模数学试题，共11页。试卷主要包含了已知随机事件A，B满足，，，则，已知的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过，，三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（结果取整数，参考数据：，）（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知复数，满足，，则（ ）
A．3B．C．D．
6．为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，，该班成绩的方差为s²，则下列判断一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知随机事件A，B满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．函数及其导函数在区间上的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，则（ ）
A．函数的最大值为1B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1D．函数的最小值为1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．满足
C．在区间的值域为
D．在区间上有3个极值点
10．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，满足，，．则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
11．某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则（ ）
A．该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
B．若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为
C．若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
D．若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，且，则______．
13．直线l与抛物线交于A，B两点，若，则AB中点M到x轴距离的最小值是______．
14．有序实数组（且）称为n维向量，为该向量的范数．已知n维向量，其中，，2，…，n，记范数为奇数的n维向量的个数为，则______；______．（用含n的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，，A的角平分线交BC于点D，且．
（1）求A的大小；
（2）若，求的面积．
16．（15分）
已知函数，．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间和极值；
（3）若，，求a的取值范围．
17．（15分）
已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
18．（17分）
由正棱锥截得的棱台称为正棱台，如图正四棱台中，，M为BC中点，点P满足，其中．
（1）证明；
（2）若平面与平面ABCD所成角的余弦值为，且，求直线DP与平面所成角的正弦值．
19．（17分）
入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”．南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天．某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况．
经计算可得：，，．
（1）由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程（精确到0.01），并估计第10天的正常销量；
（2）假设每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为，求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列．
①求数列的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数，使得当时，，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列收敛．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
2024长春三模阅卷标准说明会
长春市2024届高三质量监测（三）
数学
一、单项选择题：
二、多项选择题：
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
12． 13．2 14．40；
四、解答题：
15．（本小题满分13分）
【试题解析】（1）因为，
由正弦定理可得
，所以，故，
（2）由题意可知，
即，化简可得，
在中，由余弦定理得，
从而，解得或（舍）
所以
16．（本小题满分15分）
【试题解析】（1）当时，，则，，，
所以切线方程为．
（2）当时，，．
令，，
故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点
即：0是在R上的唯一零点
当x变化时，，的变化情况如下表：
的单调递增区间为：；递减区间为：
的极大值为，无极小值
（3）由题意知，即，即，
设，则，
令，解得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，
所以
17．（本小题满分15分）
【试题解析】（1）双曲线可化为
，即
双曲线C的标准方程为．
（2）设直线l的方程为，，，
联立双曲线C与直线l：消去x可得：，
因此，．
进而可得，即AB中点M为，
线段AB的中垂线为，
则，即．
．
即为定值1．
18．（本小题满分17分）
【试题解析】（1）方法一：
∵，∴．
∵
∴
∴
．
∴，即．
（1）方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有
，，，
，，，
，，
，
，
．
故，所以．
（2）设平面ABCD的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则有，即，
令，则．
又题意可得，可得．
因为，经过计算可得，，．
将代入，可得平面的法向量．
设直线DP与平面所成角的为θ
．
19．（本小题满分17分）
【试题解析】（1）剔除第10天数据后的，
，；
所以，
故，所以
据此可估计第10天的正常销量约为2.94千张
（2）由题意可知，其中，．
则，
所以是以首项为，公比为的等比数列，
故成立，
则有
，
故，即．
（3）①当n为偶数时，单调递减，最大值为；
当n为奇数时，单调递增，最小值为；
综上：数列的最大值为，最小值为．
②证明：对任意总存在正整数，（其中表示取整函数）
当时，
．日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y（千张）
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
B
D
D
D
A
C
9
10
11
AD
ABC
ACD
x
0
0
极大值