吉林省长春市2021届高三下学期质量监测（二）（二模）文理数学试题含答案

长春市2021届高三质量监测（二)文科数学

               3月

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.复数，则复数的虚部是

2.设全集，则右图阴影部分表示的集合为，

3.已知是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的

4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图. 

根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为

①平均每年减贫人数超过1300万;

②每年减贫人数均保持在1100万以上:

③打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律;

④历年减贫人数的中位数是1240(万人) .

A.   1    B.   2   C.   3   D.   4

5．已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为

6.已知为等差数列的前项和，若，则

A.   24       B.   26       C.   28       D.   30

7.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为

     A.           B.   

C.           D. 

8.已知直线将圆平分，且与直线垂直，则的方程为

9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为

10.若是半径为的圆上的三个点，且,则

11.现有如下信息:

(1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为.

(2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.

(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.

由上述信息可求得

12.已知函数至少有个零点，则实数的取值范围是

二、本题共4小题，每小题5分.

13.已知点满足约束条件，则的最小值为           .

14.写出一个符合“对，”的函数      .

15.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为      .

16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图)，已知“天眼”的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，

垂直于圆面的直径被截得的部分为高），设球冠底的半径为,球冠的高为，

则球的半径           .

三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

(一）必考题:共60分.

17.随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著．某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如右图所示(其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和）．现已知，求解下列问题：

(Ⅰ)经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程;

( II)按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润(单位:万元）满足，请根据:(Ⅰ)中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大.

参考公式：线性回归方程，其中，.

18.已知三棱柱,,⊥平面，,为棱上一点，若.

(Ⅰ)求证：⊥平面；

( II)求三棱锥的体积.

19.已知等比数列满足：.

(Ⅰ)求的通项公式；

( II)令，其前项和为，求的最大值.

20.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，的周长为，为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

( II)求面积的最大值.

21.已知函数

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

( II)若恒成立，求正实数的取值范围.

22.[选修4-4坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为( 为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(I)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;

(II)曲线与相交于、两点，求的值.

23．[选修4-5不等式选讲]

已知函数.

(Ⅰ)解不等式;

(II)若，求证：.

长春市普通高中2021届高三质量监测（二）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.【试题解析】D 复数的虚部为，故选D.

2.【试题解析】A 易知阴影部分为集合，故选A.

3.【试题解析】B 若与不相交，则“直线且”不能推出“”；反之，如果“”，无论与是否相交，都能推出“直线且”，故“直线且”是“”的必要不充分条件，故选B.

4.【试题解析】C 由图易知①②③正确，④中位数应为1289（万），④错，故选C.

5.【试题解析】D 由抛物线的定义可知. 故选D.

6.【试题解析】C 由题意，所以，故选C.

7.【试题解析】C 由题意知，函数的周期为，即，图象向左平移，即，故选C.

8.【试题解析】D　由题意知，直线过点，斜率为，所以直线，故选D.

9.【试题解析】B 由程序框图知，，所以时不满足判断条件，输出，故选B.

10.【试题解析】D　由数量积的几何意义可知为直径，与成角，故. 故选D.

11.【试题解析】D 由题意，设为的黄金三角形，有，所以，所以，故选D

12.【试题解析】A 令有，令，易知其为偶函数，当时，，所以在上是增函数，且，易知的值域为，所以，故选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 【答案】【解析】  可行域为

由得，过（2,2）点时有最小值6.

14. 【答案】例如【解析】可得函数为奇函数.

15.【答案】   【解析】可得.

16.【答案】 【解析】由

三、解答题

17.(本小题满分12分)

【试题解析】解：（1）由题意，，，所以，

（2）由（1）知，，所以当或 时能获得总利润最大.

18.(本小题满分12分)

【试题解析】解：（1）证明：

 . （6分）

（2）.

                （12分）

19.(本小题满分12分)

【试题解析】解：（1）由题意，可知，进一步解得.

即的通项公式为. （6分）

（2），，

，当且仅当时“”成立，

即的最大值为. （12分）

 20.(本小题满分12分)

 【试题解析】解：（1）设椭圆半焦距为，由题意可知，

由离心率有，所以椭圆方程为.（4分）

（2）设直线，联立方程组，消去得，

设，有，由，

所以的面积，

由函数在上单调递增，所以，

当且仅当时取等号，

所以，所以面积的最大值为（12分）.

21. (本小题满分12分)

【试题解析】解：（1）定义域为上，，

当时，在上，所以在定义域上单调递增

当时，令有，令有，

所以在上单调递减，在上单调递增. （4分）

（2）令，由（1）及为正数知，

在处取最小值，所以恒成立等价于，

即，整理得

令，易知为增函数，且，

所以的的取值范围是（12分）

22.(本小题满分10分)

【试题解析】（1）曲线的普通方程为，即极坐标方程为（）.

曲线的直角坐标方程为，即. （5分）

（2）曲线的极坐标方程为，代入，可得，

则. （10分）

23.(本小题满分10分)

【试题解析】（1），则. （5分）

（2）要证成立，即证成立，

即证成立，只需证成立

即证成立，由已知

得显然成立.（10分）

长春市2021届高三质量监测（二)理科数学

               3月

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.复数，则复数的虚部是

2.设全集，则右图阴影部分表示的集合为，

3.已知是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的

4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图. 

根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为

①平均每年减贫人数超过1300万;

②每年减贫人数均保持在1100万以上:

③打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律;

④历年减贫人数的中位数是1240(万人) .

A.   1    B.   2   C.   3   D.   4

5．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为

6.已知为等差数列的前项和，若，则

A.   24       B.   26       C.   28       D.   30

7.已知直线将圆平分，且与直线垂直，则的方程为

8.四边形中，,则

9.现有如下信息:

(1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为.

(2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.

(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.

由上述信息可求得

10.已知抛物线上一点，为焦点，直线交抛物线的准线于点，满足，则抛物线方程为

11.已知函数的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述:

①;   ②;

③若，则;

④若，则.

其中正确的命题是

   A.   ②③   B.   ①④   C.   ①③   D.   ①② 

12.已知函数与函数的图象交点分别为：，，则

二、本题共4小题，每小题5分.

13.已知点满足约束条件，则的最小值为           .

14.写出一个符合“对，当时，”的函数      .

15.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为      .

16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图)，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆

面的直径被截得的部分为高,球冠表面积，其中为球的半径，球冠

的高)，设球冠底的半径为,周长为，球冠的面积为，则的值为          

 (结果用、表示）﹒

三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

(一）必考题:共60分.

17.随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著．某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如右图所示(其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和）．现已知，求解下列问题：

(Ⅰ)经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程;

( II)按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润(单位:万元）满足，请根据:(Ⅰ)中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大.

参考公式：线性回归方程，其中，.

18.已知三棱柱,,⊥平面，,为棱上一点，若.

(Ⅰ)求证：平面⊥平面；

( II)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19.已知等比数列满足：.

(Ⅰ)求的通项公式；

( II)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值.

20.已知函数

(Ⅰ)当时，求的最小值；

( II)若曲线与有两条公切线，求的取值范围.

21.已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，为椭圆上不同两点，为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

( II)线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.

22.[选修4-4坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为( 为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(I)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;

(II)曲线与相交于、两点，求的值.

23．[选修4-5不等式选讲]

已知函数.

(Ⅰ)解不等式;

(II)若，求证：.

长春市普通高中2021届高三质量监测（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 【试题解析】D  复数的虚部为，故选D.

2.【试题解析】A  易知阴影部分为集合，故选A.

3. 【试题解析】B　若与不相交，则“直线且”不能推出“”；反之，如果“”，无论与是否相交，都能推出“直线且”，故“直线且”是“”的必要不充分条件，故选B.

4.【试题解析】C  由图易知①②③正确，④中位数应为1289（万），④错，故选C.

5.【试题解析】C　设事件“第1次抽到代数题” ，事件“第2次抽到几何题”，则，故选C.

6.【试题解析】C　由题意，所以，故选C.

7.【试题解析】D　由题意知，直线过点，斜率为，所以直线，故选D.

8.【试题解析】B  由题意知，所以，故选B

9.【试题解析】D 由题意，设为的黄金三角形，

有，所以，

所以，

另外，，也可获得此结果，故选D.

10.【试题解析】C 由知为线段上靠近的三等分点，所以，有，故选C.

11.【试题解析】C 由图知，，，故①正确，②错误；③中，而直线是函数的对称轴，故③正确，④错误，故选C.

12.【试题解析】D 由题意化简，，可知的图象与的图象都关于点对称，又，所以在上单调递减，由可知，在上单调递减，在上单调递增，由图象可知，与的图象有四个交点，且都关于点对称，所以所求和为4，故选D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 【答案】【解析】可行域为

由得，过（2,2）点时有最小值6.

14. 【答案】例如 【解析】可得此函数为单调递减函数，写出一个减函数即可.

15. 【答案】【解析】注意到双曲线的焦点在轴上，可得.

16. 【答案】【解析】①,②

①②两式对应相除得

设得

所以.

三、   解答题

17.(本小题满分12分)

【试题解析】解：（1）由题意，，，所以. （6分）

（2）由（1）知，，

所以当或时能获得总利润最大. （12分）

18.(本小题满分12分)

 【试题解析】解：（1）证明：

 . （6分）

（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，

建立空间直角坐标系.

，，，，

平面的法向量为，平面的法向量为

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （12分）

 19.(本小题满分12分)

 【试题解析】解：（1）由题意，可知，

进一步解得. 即的通项公式为. （6分）

（2），，

，由，

利用基本不等式以及对勾函数的性质可得得

则的最小值为. （12分）

20.(本小题满分12分)

 【试题解析】解：（1）当时，令，

（）

，令且可得，

. （4分）

（2）方法一：由函数和的图象可知，

当时，曲线与有两条公切线.

即在上恒成立，即在上恒成立，

设，

令，

即，因此，. （12分）

法二： 取两个函数相切的临界条件：

解得，，

由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，. （12分）

 21.(本小题满分12分)

【试题解析】解：（1）由可设，，则，

则方程化为，

又点在椭圆上，则，解得，

因此椭圆的方程为. （4分）

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立直线和椭圆的方程消去得，

，化简得：，

当时，取得最大值，即此时，

又，，

则，即

令，则，

因此平面内存在两点、使得.

当直线的斜率不存在时，设，则

，即当取得最大值.

此时中点的坐标为，满足方程，

即. （12分）

 22.(本小题满分10分)

【试题解析】（1）曲线的普通方程为，即极坐标方程为（）.

曲线的直角坐标方程为，即. （5分）

（2）曲线的极坐标方程为，代入，可得，

则. （10分）

23.(本小题满分10分)

【试题解析】（1），则.

                （5分）

（2）要证成立，即证成立，

即证成立，只需证成立

即证成立，由已知得显然成立.

                 （10分）