2024邯郸十校联考高二下学期一调试题数学含解析

这是一份2024邯郸十校联考高二下学期一调试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法种数是（ ）
A. 24B. 36C. 64D. 81
2. 已知函数，则从1到平均变化率为（ ）
A. 2B. C. D.
3. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ）
A. 108种B. 90种C. 72种D. 36种
4. 已知函数的导函数为，则（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中有理项的项数为
A. 0B. 1C. 2D. 3
6. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A. 300B. 360C. 390D. 420
8. 已知则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A. 若A，不相邻，有72种排法B. 若A，不相邻，有48种排法
C. 若A，相邻，有48种排法D. 若A，相邻，有24种排法
10. 过点且与曲线相切的直线方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D
12. 已知函数导函数为，则（ ）
A. 无最小值B. 无最小值
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 随着杭州亚运会举办，吉祥物“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为____________．（用数字作答）
14. 在的展开式中，的系数为______________.
15. 函数的极大值是______．
16. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. （1）求值：;
（2）解方程：．
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
19. 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？
（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
20. 已知函数，.
（1）若函数在上单调递增，求的最小值；
（2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
21. 在的展开式中，
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项.
（3）求系数最大的项.
22. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：．2023~2024学年第二学期一调考试
高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ）
A. 24B. 36C. 64D. 81
【答案】C
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理计数判断．
【详解】不同方法的种数是：．
故选：C．
2. 已知函数，则从1到的平均变化率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.
【详解】函数从1到的平均变化率为
.
故选：B
3. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ）
A. 108种B. 90种C. 72种D. 36种
【答案】A
【解析】
【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种；
第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案，
综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案.
故选：A
4. 已知函数的导函数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为，可得，
所以，解得.
故选：C.
5. 的展开式中有理项的项数为
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为整数，求出有理项．
【详解】的展开式的通项为，
当x的指数是整数时为有理项，
∴当或时，为有理项，
故选C.
【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查了有理项的概念，属于基础题．
6. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围.
【详解】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
7. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A. 300B. 360C. 390D. 420
【答案】C
【解析】
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及平均分组问题求解.
【详解】(1)当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为;
(2)当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为；
(3)当5人全部被录取，则不同的录取情况数为；
综上不同的录取情况数共有.
故选：C
8. 已知则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，通过换元法、赋值法比较的大小关系;
构造函数,利用导数判断函数的单调性，通过换元法、赋值法比较的大小关系.
【详解】构造函数，，则，当时，，
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故，当且仅当时取等号．由于，则，
则，则，则，当且仅当时取等号．
当时，，所以，所以．
构造函数，则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号．
当时，，则，所以．
综上得：．
故选：A．
【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就成了函数的形式，如在本题中，化为，中都有，即比较函数与大小即可得到的大小关系，进一步变形为比较与大小关系，从而构造函数并利用函数的单调性比较大小即可.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A. 若A，不相邻，有72种排法B. 若A，不相邻，有48种排法
C. 若A，相邻，有48种排法D. 若A，相邻，有24种排法
【答案】AC
【解析】
【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD.
【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，
则先让，，自由排列，再让A，去插空即可，
则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误；
A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，
则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可，
则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：AC
10. 过点且与曲线相切的直线方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】设切点为，又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
所以，整理得，解得或，
即切线方程为或．
故选：BC．
11. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二项式项的系数求法判断A；分别令和，两式相加求解可判、C；令，得，可求，可判断D
【详解】，故A错误；
在中，令，可得 ①，故B正确；
在中，令，可得 ②，
由，可得，故C正确；
令，得，可得，故D正确．
故选：BCD．
12. 已知函数的导函数为，则（ ）
A. 无最小值B. 无最小值
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，得到，求得，得到在定义域上为增函数，可得判定A正确；根据存在，使得，得出函数的单调性，可判定B错误；根据上为单调递增函数，得到函数上为凹函数，可判定C正确，D错误．
【详解】由函数，可得，
则，
所以在定义域上为增函数，
所以函数无最小值，所以A正确；
当时，，所以，
又因为，故一定存在，使得，
所以在单调递减，在单调递增，所以在处取得最小值，
所以B错误；
又由在定义域上为单调递增函数，
可得在上为凹函数，
可得，即，
所以C正确，D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 随着杭州亚运会的举办，吉祥物“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为____________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的一个空位中，结合排列数的计算公式，即可求解.
【详解】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的一个空位中，
所以不同的排队方法种数为（种）．
故答案为：.
14. 在展开式中，的系数为______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解.
【详解】因为的展开通项公式为，
的展开通项公式为，
所以取，得的系数为.
故答案为：.
15. 函数的极大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数求函数的极大值即可.
【详解】由，则，
令，解得或，
则当，时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
则当时，函数取得极大值，
.
故答案为：
16. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】设，则，
设切点为，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. （1）求值：;
（2）解方程：．
【答案】（1）165；（2）
【解析】
【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于；
（2）由排列数计算公式可得，可得.
【详解】（1）因为，所以，
原式
；
（2）因为，
所以，
化简可得，同时，
解得.
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程；
(2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性.
【小问1详解】
当时，，
，所以，曲线在处的切线方程为.
【小问2详解】
，
①当时，，所以函数在上单调递增；
②当时，令，则(舍)或，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
③当时，令，则或(舍)，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；
当时，当时，函数单调递减
当时，函数单调递增；
当时，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增
19. 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？
（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
【答案】（1）120种；
（2）36种.
【解析】
【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.
（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
【小问1详解】
两组都是3女2男的情况有（种）：
一组是1男4女，另一组是3男2女情况有（种），
所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案.
【小问2详解】
视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种，
再排余下两个及丙，有种，而丁和戊排列有种，
所以不同排列方式的种数是.
20. 已知函数，.
（1）若函数在上单调递增，求的最小值；
（2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，分析函数在上的单调性，根据可求得实数的取值范围，即可得解；
（2）令，分析可知，函数的图象与直线只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由已知可得，则，
因函数在上单调递增，
所以对任意的恒成立，
又因为函数在上为增函数，
则，解得，故实数的最小值为.
【小问2详解】
解：，令，可得，
因为函数的图象与有且只有一个交点，
令，则函数的图象与直线只有一个公共点，
则，令，解得或，令，解得，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，极小值为，
的图象如下所示：

由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点，
因此，实数的取值范围是.
21. 在的展开式中，
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项.
（3）求系数最大的项.
【答案】（1）第6项和第7项；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出二项式展开式通项公式，结合已知列出不等式并求解即得.
（2）利用二项式系数的性质求解即得.
（3）利用（1）的结论，按正负比较即得.
【小问1详解】
的展开式的通项为，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
【小问2详解】
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，.
【小问3详解】
由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，
所以系数最大的项为第7项.
22. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：．
【答案】（1）极小值1，无极大值；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值.
（2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即得.
（3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得.
【小问1详解】
当时，的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则在上递减，在上递增，
所以有极小值，无极大值.
【小问2详解】
由恒成，得，令，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此，则，
所以实数的取值范围是.
【小问3详解】
由（2）知，当时，即
于是，，，，
因此，
所以.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.