专题21 多边形与平行四边形的核心知识点精讲（讲义）-备战中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

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1.了解多边形及其顶点、边、内角、外角、对角线
2.掌握多边形的内角和与外角和
3.掌握平行四边形的概念、性质和判定
考点1：多边形
考点2：平行四边形性质
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“▱”表示.
平行四边形的性质
边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF.
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,
△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.
如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得
S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD
考点3：平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.
考点4：三角形的中位线
三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样，
连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

【题型1：多边形的内角和与外角和】
【典例1】（2023•襄阳）五边形的外角和等于（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【答案】B
【解答】解：五边形的外角和是360°．
故选：B．
1．（2023•北京）正十二边形的外角和为（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°
【答案】C
【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C．
2．（2023•兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（ ）
A．45°B．60°C．110°D．135°
【答案】A
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴每一个外角为360°÷8＝45°．
故选：A．
3．（2023•绵阳）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ）
A．4条B．5条C．6条D．9条
【答案】C
【解答】解：如图，正六边形的对称轴有6条．
故答案为：C．
4．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝ 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n＝360÷72＝5，
故答案为：5．
【题型2：平行四边形的性质】
【典例2】（2023•绵阳）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE∥DF；
（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）24．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DO＝BO，
∵OM⊥BD，
∴DM＝BM，
∵△BFM的周长为12，
∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12，
∴四边形BEDF的周长为24．
1．（2023•成都）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝BDB．OA＝OCC．AC⊥BDD．∠ADC＝∠BCD
【答案】B
【解答】解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；
B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；
D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；
故选：B．
2．（2023•通辽）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（ ）
A．3B．4C．5D．12
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF，BC＝AD＝a，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形，
由平移的性质得BE＝CF，
∴EF＝BC＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝矩形AEFD的面积＝ah＝12，
∴△ABE的平移距离为4．
故选：B．
3．（2023•凉山州）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 （4，2） ．
【答案】（4，2）．
【解答】解：如图，延长BC交y轴于点D，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵OA⊥y轴，
∴BC⊥y轴，
∵A（3，0），C（1，2），
∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，
∴BD＝CD+BC＝1+3＝4，
∴B（4，2），
故答案为：（4，2）．
4．（2023•盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为 5 cm．
【答案】5．
【解答】解：∵D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，
∴DE＝BC＝5cm，
故答案为：5．
5．（2023•淄博）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE≌△CDF．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，
又∵AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴∠1＝∠2（平行四边形对角相等）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝FC，AF＝CE，
∴BE＝FD，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
6．（2023•杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
【答案】（1）见解析过程；
（2）△CFO的面积为1．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴△CFO的面积＝1．
7．（2023•凉山州）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝8，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴OB＝＝＝6，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△BOE∽△AOB，
∴＝，
即＝，
解得：OE＝，
即OE的长为．
【题型3：平行四边形的判定】
【典例3】（2023•无锡）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四边形DBCF是平行四边形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴AE＝CE，
在△CEF与△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（SAS）；
（2）由（1）证得△CEF≌△AED，
∴∠A＝∠FCE，
∵点D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，即DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．
1．（2023•益阳）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（ ）
A．OA＝OBB．OA⊥OBC．OA＝OCD．∠OBA＝∠OBC
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
故选：C．
2．（2023•衡阳）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BCB．AB∥DCC．AB＝DCD．∠A＝∠C
【答案】C
【解答】解：A、因为AD∥BC，AD＝BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、因为AD∥BC，AB∥DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D、因为AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
3．（2023•扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．
【答案】（1）见解析过程；
（2）12．
【解答】解：（1）∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，
∴AH∥CF，AH＝CF，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AM∥CN，
同理可得，四边形AECG是平行四边形，
∴AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）如图所示，连接AC，
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴点N是△ACD的重心，
∴CN＝2HN，
∴S△ACN＝S△ACH，
又∵CH是△ACD的中线，
∴S△ACN＝S△ACD，
又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角线，
∴S平行四边形AMCN＝S平行四边形ABCD，
又∵▱AMCN的面积为4，
∴▱ABCD的面积为12．
【题型4：三角形的中位线】
【典例4】（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A．B．7C．D．8
【答案】C
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，
∴△DEF∽△BMF，
∴＝＝＝2，
∴BM＝，
CM＝BC+BM＝．
故选：C．
1．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A．B．7C．D．8
【答案】C
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，
∴△DEF∽△BMF，
∴＝＝＝2，
∴BM＝，
CM＝BC+BM＝．
故选：C．
2.（2022•眉山）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9B．12C．14D．16
【答案】A
【解答】解：如图，点D，E，F分别为各边的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，EF＝AB＝2，DF＝AC＝4，
∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．
故选：A．
3．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1.2 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 3≤S≤4 ．
【答案】1.2；3＜S≤4．
【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，
∴DE是三角形ABM的中位线．
∴DE＝AM＝1.2．
如图，
设AM＝x，
∴DE＝AM＝x．
由题意得，DE∥AM，且DE＝AM，
又FG∥AM，FG＝AM，
∴DE∥FG，DE＝FG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8，
∴DE边上的高为（4﹣x）．
∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4．
∵2.4＜x≤6，
∴3≤S≤4．
故答案为：1.2；3≤S≤4．
一．选择题（共10小题）
1．五边形的外角和等于（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【答案】B
【解答】解：五边形的外角和是360°．
故选：B．
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A．AB＝BCB．AC⊥BDC．∠A＝∠CD．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：结合选项可知，添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝BE＝2，EO＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】D
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AE＝BE＝2，
∴CD＝AB＝4，OE是△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝6，
∴▱ABCD的周长＝2×（AB+BC）＝2×（4+6）＝20．
故选：D．
4．如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为（ ）
A．1和4B．4和1C．2和3D．3和2
【答案】D
【解答】解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE＝∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2．
故选：D．
5．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【解答】解：根据平行四边形的性质得：OB＝OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+DE＝AB+AD＝×16＝8cm．
故选：C．
6．如图，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是（ ）
A．（5，4）B．（3，4）C．（4，5）D．（4，3）
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AGB＝∠GBC，
由作图可知，BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠GBC，
∴∠ABG＝∠AGB，
∴AG＝AB，
∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OB＝3，OA＝4，
∴AB＝，
∴AG＝5，
∴G的坐标为（5，4），
故选：A．
7．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：设E点到AD的距离为h，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，A点到BE的距离为h．
∵△ADE的面积为2，
∴AD×h＝2，即AD×h＝4．
∴▱ABCD面积＝AD×h＝4．
故选：B．
8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴OA＝3，OB＝5，AB∥DC，
∵∠OCD＝90°，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝，
∵E是BC边的中点，OA＝OC，
∴2OE＝AB，
∴OE＝2，
故选：B．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CDB．AD∥BCC．OA＝OCD．AD＝BC
【答案】D
【解答】解：A、∵AB∥CD、AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD、AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO．
在△ABO和△CDO中，，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD、AD＝BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
10．如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5B．∠3＝∠4C．∠1＝∠2D．∠B＝∠D
【答案】C
【解答】解：A．∵∠D＝∠5，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A选项不符合题意；
B．∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B选项不符合题意；
C．∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故C选项符合题意；
D．∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故D选项不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 30° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是 65° ．
【答案】65°．
【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝310°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣310°＝230°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，
∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝115°，
∴∠CPD＝180°﹣115°＝65°．
故答案为：65°．
13．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4cm，则四边形DECF的周长是 8cm ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A＝∠B，
∴BC＝AC＝4cm，
∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝∠BDF，
∴DF＝BF，
同理AE＝DE，
∴四边形DECF的周长为：CF+DF+DE+CE＝CF+BF+AE+CE＝BC+AC＝4cm+4cm＝8cm，
故答案为：8cm．
14．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 8 ．
【答案】8．
【解答】解：如图，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB＝AF，∠FAE＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝3，
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝4，
∴AE＝2OA＝8．
故答案为：8．
15．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ 30° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴平行四边形A'B'C'D'的底边A′D′边上的高等于A′B′的一半，
∴∠A'＝30°．
故答案为：30°
16．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n2+2n ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，
…
第 n个是n•（n+2）＝n2+2n
故答案为：n2+2n．
17．如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n＝ 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×3，
解得：n＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共2小题）
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）由（1）知：△ADF≌△CBE，
∴AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，
∴∠AFE＝∠FEC，
∴AF∥EC，
又∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
19．已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交CD于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）5．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AD＝CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DAH＝∠BCG，
AB∥CD，
∴∠CGB＝∠GBA，
∵∠DAH＝∠GBA，
∴∠CGB＝∠BCG，
∴BG＝BC，
在Rt△CFB中，
∵BF＝BG﹣FG＝BC﹣2，CF＝4，
∴BC2＝BF2+CF2，
∴BC2＝（BC﹣2）2+42，
∴BC＝5．
∴AD＝BC＝5．
一．选择题（共10小题）
1．如图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：如图1，∵AD＝CB，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
如图2，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝×360°＝180°，
∴AD∥CB，
同理AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
如图3，∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
如图4，∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
故选：C．
2．如图，▱ABCD中，AB＝3，BE平分∠ABC，交AD于点E，DE＝2，点F，G分别是BE和CE的中点，则FG的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．5
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝3，
∴AD＝BC＝AE+ED＝3+2＝5，
∵点F，G分别是BE和CE的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG＝BC＝2.5，
故选：B．
3．如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①错误，②正确
C．①②都错误D．①正确，②错误
【答案】B
【解答】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD对角线互相垂直．
∴①错误，②正确．
故选B．
4．我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．如图，矩形AOCB的顶点A和C分别在y轴和x轴上，且A（0，4），C（6，0）．向下按压矩形AOCB，得到如图所示的平行四边形，其中∠AOA′＝30°，则平行四边形 的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，）B．（2，）C．（2，）D．（1，）
【答案】B
【解答】解：作A′M⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，
∵A的坐标是（0，4），C的坐标是（6，0），
∴OA＝4，OC＝6，
由题意知OA′＝OA＝4，
∵∠AOA′＝30°，
∴∠MOA′＝90°﹣∠AOA′＝60°，
∴OM＝OA′＝2，
∴A′M＝OM＝2，
∴CM＝OC+OM＝8，
∵四边形OCB′A′是平行四边形，
∴CD＝DA′，
∵A′M⊥x轴，DN⊥x轴，
∴DN∥MA′，
∴MN＝NC，
∴CN＝CM＝4，
∴ON＝OC﹣CN＝6﹣4＝2，
∵CD＝DA′，MN＝CN，
∴DN是△CMA′的中位线，
∴DN＝MA′＝，
∴D的坐标为（2，）．
故选：B．
5．我们知道三角形的内角和为180°，而四边形可以分成两个三角形，故它的内角和为2×180°＝360°，五边形则可以分成3个三角形，它的内角和为3×180°＝540°（如图），依此类推，则八边形的内角和为（ ）
A．900°B．1080°C．1260°D．1440°
【答案】B
【解答】解：6×180°＝1080度．故选B．
6．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为（ ）
A．54°B．64°C．66°D．72°
【答案】B
【解答】解：如图，
根据题意得：∠DEF＝126°，∠FGC＝118°，
∴∠AED＝180°﹣126°＝54°，∠BGF＝180°﹣118°＝62°，
∵DE∥CG，FG∥CD，
∴∠B＝∠AED＝54°，∠C＝∠BGF＝62°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点E，F，D分别在边AC，BC，AB上，EF∥AB，DF∥AC，则四边形AEFD的周长是（ ）
A．10B．15C．18D．20
【答案】A
【解答】解：∵EF∥AB，DF∥AC，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AD＝EF，DF＝AE，
∵DF∥AC，
∴∠DFB＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFB，
∴DB＝DF，
同理可得，EF＝EC，
∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝5+5＝10，
故选：A．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE．若△AOE的面积为5，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．10B．20C．40D．80
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
又∵E是AD的中点，
∴EO是△ACD的中位线，
∴CD＝2EO，CD∥OE，
∵△AOE的面积为5，
∴△ACD的面积为5×4＝20，
∴平行四边形ABCD的面积＝2×20＝40，
故选：C．
9．等边三角形、正方形及正五边形各一个，按如图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．102°B．104°C．106°D．108°
【答案】A
【解答】解：正三角形的每个内角为180°÷3＝60°，
正五边形的每个内角（5﹣2）×180°÷5＝108°，
正方形的每一个内角为360°÷4＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣90°﹣60°﹣108°＝102°，
故选：A．
10．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝7，DC＝DE＝7，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝7+7﹣AD＝3．
∴AD＝11，
∴BC＝11．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝4，BD＝8，则OM的长为 ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，OB＝OD＝BD＝×8＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵点M为AB的中点，
∴OM＝AB＝×2＝，
故答案为：．
12．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，其中AH⊥BC，垂足为H，若AB＝5，BC＝8，，则tan∠CDH＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5，
∵AH⊥BC，
∴∠DAH＝∠AHB＝90°，
∵＝csB＝，
∴BH＝AB＝×5＝3，
∴CH＝BC﹣BH＝8﹣3＝5，AH＝＝＝4，
∴CD＝CH，
∴∠CDH＝∠CHD＝∠ADH，
∴tan∠CDH＝tan∠ADH＝＝＝，
故答案为：．
13．若一个多边形的每个外角都是24°，则该多边形的边数为 15 ．
【答案】15．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于24°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是360°÷24°＝15，
故答案为：15．
14．刺绣是我国独特的民间传统手工艺品之一，至少有二三千年历史．如图是用红色纱线完成的正五角星刺绣作品，则图中∠OAB的度数是 126 度．
【答案】126．
【解答】解：∵图形是正五角星，
∴∠AOC＝×360°＝72°，∠OCB＝∠OAB，
∵正五角星的5个角相等，5个的和是180°，
∴∠B＝×180°＝36°，
∵∠OAB+∠OCB+∠B+∠AOC＝360°，
∴2∠OAB＝252°，
∴∠OAB＝126°．
故答案为：126．
15．如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝ 72 °．
【答案】72．
【解答】解：过B点作BF∥l1，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝108°，
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠3＝180°﹣∠1，∠4＝∠2，
∴180°﹣∠1+∠2＝∠ABC＝108°，
∴∠1﹣∠2＝72°．
故答案为：72．
1．（2023•十堰）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【答案】C
【解答】解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；
此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意．
BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意，
四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意．
故选：C．
2．（2023•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDP＝∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∵CD＝6，
∴AB＝6，
∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO＝PB＝1，
故选：A．
3．（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mmB．2mmC．2mmD．4mm
【答案】D
【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
4．（2023•重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 800° ．
【答案】800°．
【解答】解：由题意可得七边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，
∵该七边形的一个内角为100°，
∴其余六个内角之和为900°﹣100°＝800°，
故答案为：800°．
5．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：多边形的边数是：360°÷60°＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
6．（2023•福建）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 10 ．
【答案】10．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∵O为BD的中点，
∴OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∴CD﹣DF＝AB﹣BE，
∴CF＝AE＝10．
故答案为：10．
7．（2023•株洲）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形；
∴AD∥BC，DC＝AB．
∴∠DEA＝∠EAB，
∵∠DAB的平分线AE交DC于点E，
∴∠EAB＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝DE，
∵AD＝3，AB＝5，
∴EC＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
8．（2023•金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 8 cm．
【答案】8．
【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8（cm），
故答案为：8．
9．（2023•济南）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF．
10．（2023•南充）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF．
11．（2023•雅安）如图，已知E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求▱ABCD的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）9．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵＝3，
∴CH＝3BH，
∵CH⊥AB于H，
∴∠H＝90°，
∴BC2＝BH2+CH2，
∵BC＝，
∴（）2＝BH2+（3BH）2，
解得BH＝1，
∴CH＝3，
在Rt△ACH中，tan∠CAB＝＝，
∴AH＝4，
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣1＝3，
∴S▱ABCD＝AB•CH＝3×3＝9．
12．（2023•长沙）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）3，9．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF，
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF﹣AB＝3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝，
∴＝3，
∴△ADF的面积＝．
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
2.多边形的内角和、外角和
（1） 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.
( 3 ) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.