辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年七年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2.本试卷共23道题，满分120分，考试时间共120分钟．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各图中，与是对顶角的是 （ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查学生对顶角概念，掌握“有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角互为对顶角”是解题的关键．
【详解】A.两条边没有互为反向延长线，故错误；
B.两条边没有互为反向延长线，故错误；
C.有公共顶点且两条边都互为反向延长线，故正确；
D.两条边没有互为反向延长线，故错误；
故选C．
2. 在，，0，，，中无理数的个数有（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：，0，是有理数；
，，是无理数．
∴无理数一共有3个，
故选A．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
3. 计算的结果是（ ）
A. 2B. C. －2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】直接计算算术平方根，即可得到答案
【详解】解：；
故选：A
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是熟记定义进行计算
4. 如图，小聪把一块含有角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2=60°-∠3代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=25°，
∴∠3=∠1=25°，
∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质是解题的关键．
5. 的立方根是( )
A.
B
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵，∴的立方根是．
6. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断即可．
【详解】解：A.当时，，故选项A不符合题意；
B.当时，无法判断a与b平行，故选项B符合题意；
C当时，，故选项C不符合题意；
D.当时，，故选项D不符合题意；
故选：B．
7. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根性质求解即可．
【详解】解：被开方数由到缩小了倍
结果由缩小倍，即．
故选：B．
8. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，由平行可求得，又由折叠的性质可得，结合平角可求得，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∴，
又由折叠的性质可得，
，
∴，
故选：A．
9. 如图，中，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．根据垂线段最短，得出当时，最小,利用等积法求出最小值即可．
【详解】解：过点C作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵垂线段最短，
∴当点P与点D重合时，最小，
即最小值为．
故选：B．
10. 如图，小轩从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】向北的方向是互相平行的，根据两直线平行，同旁内角互补求解.
【详解】解：因为向北的方向互相平行，所以∠ABC＝180°－60°－20°＝100°.
故选：D
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直角平行，同旁内角互补.
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，直线，直线是截线，如果，那么等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质及邻补角的定义是解题的关键．根据“两直线平行，同位角相等”，得到，再由，即得答案．
【详解】，
，
，
．
故答案为：．
12. 在数轴上离原点距离是的点表示的数是_____
【答案】±
【解析】
【详解】在数轴上离原点距离是的点表示的数有两个，它们互为相反数，分别是，故答案为
13. 如图，计划把池中的水引到处，可过点作，垂足为点，然后沿挖渠，可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是______．
【答案】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
【解析】
【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
14. 若一个正数的平方根是和，则这个正数是________．
【答案】4
【解析】
【详解】一个正数的平方根是a+1和a-3，
可得a+1+a-3=0，解得a=1，
所以a+1=2，即可得这个正数是4．
故答案为：4．
15. 两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少30°，这两个角分别是_____．
【答案】30°，30°或70°，110°
【解析】
【分析】设另一个角为a，则这个角是2a-30°，然后根据两边分别垂直的两个角相等或互补列式计算即可得解．
【详解】解：设一个角为a，则另一个角是2a-30°，
∵这两个角的两边分别垂直，
∴这两个角相等或这两个角互补
即a=2a-30°或a+2a-30°=180°
解得a=30°或a=70°
这两个角为30°，30°或70°，110°．
故答案为：30°，30°或70°，110°．
【点睛】本题考查了垂线，熟记两边分别垂直的两个角相等或互补是解本题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分、解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】本题考查实数的运算．
（1）先去绝对值，再计算加减即可；
（2）先算算术平方根，立方根，再算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17. 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解．
【小问1详解】
解：，
，
∴或；
【小问2详解】
解：，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握立方根，平方根的定义是解本题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
18. 完成下面的推理填空
如图，、分别在和上，，与互余，于，求证：
证明：∵
∴，（______）
∵，（已知）
∴（______）（______）
∴（______），（______）
又∵与互余（已知），，
∴，
∴（______），（______）
∴．（______）
【答案】垂直定义；；；，两直线平行，同位角相等；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质、余角和补角．根据垂直的定义得出∠CGF=90°，由平行线的判定证出AF∥DE，得出∠4=∠CGF=90°，再证明∠C=∠3，即可得出结论．掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：∵
∴，（垂直的定义）
∵，（已知）
∴（）（）
∴（），（两直线平行，同位角相等）
又∵与互余（已知），，
∴，
∴（），（同角的余角相等）
∴．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直定义；；；，两直线平行，同位角相等；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
19. 已知3是的算术平方根，4是的立方根，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根以及平方根的定义，利用算术平方根，立方根定义求出x与y的值，代入代数式计算出结果，再求出平方根即可．
【详解】解：∵3是的算术平方根，4是的立方根，
，
解得：，
则，
那么的平方根为．
20. 如图所示，点在直线上，点在直线上．若，若，求的度数．
【答案】96°
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质的应用．
首先根据，判断出，然后根据，判断出，即可求出的度数是多少．
【详解】解：，
∴，
，
∵，
∴,
∴，
∴，
21. 已知一个正方体木块的表面积为cm2．
（1）求这个正方体的棱长和体积；
（2）现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长．
【答案】（1）正方体的棱长为cm，体积为cm3
（2）cm
【解析】
【分析】本题考查正方体的表面积、体积、棱长，涉及平方根，立方根．
（1）设正方体的棱长为，依题意可得：，求出棱长为，再求体积即可；
（2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，求出棱长为即可．
【小问1详解】
设正方体的棱长为，依题意可得：，
解得：或（舍去），即棱长为cm，
体积为(cm3)，
答：正方体的棱长为cm，体积为cm3；
【小问2详解】
设每个小正方体的棱长为，依题可得：，
解得：，
所以每个小正方体的棱长为cm．
答：每个小正方体的棱长为cm．
22. （1）【阅读探究】
如图1，已知是一个平面镜，光线，在平面镜上经点反射后，形成反射光线．我们称为入射光线，为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．
利用镜面反射的性质，探究：当两个平面镜夹角为时，入射光线和反射光线平行，探究此时两平面镜的夹角的度数，并说明理由．
【方法运用】
（2）如图3，放置4块平面镜，其中两块平面镜，另一块在两直线和之间，四块平面镜构成四边形，光线从点以适当的角度射出后，其传播路径为直接写出和的数量关系．
【应用拓展】
（3）如图4，若镜子与的夹角，增加一块平面镜，设镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，已知入射光线从平面镜开始反射，经过3次反射，当反射光线与入射光线平行时，求的度数（用含有的式子表示）．（友情提示：三角形内角和等于）
【答案】（1），见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质．
（1）过点作，根据平行线的性质得出，，根据，，求出，即可求出；
（2）过点P作，过点R作，根据平行线的性质得出，，根据反射得出，即可证明结论；
（3）作，根据平形公理得出，根据平行线的性质和反射的特点，结合三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】解：（1）过点作，如图所示：
∵，
∴，
，，
根据题意得：，，
，
∴，
，
即．
（2）解：，理由如下：
过点P作，过点R作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
同理可得：，
入射角等于反射角，
，
．
（3）若经过三次反射标记各反射点，如图所示，作，
∵，
∴，
，
，
，，
∵，
∴，
，
，
，
，
．
23. 【问题初探】
（1）课堂上，李老师提出问题：如图1，，点是上的点，点是上的点，点是和之间的一点，连接．
求证：；
请你利用图2的辅助线，证明这个问题；
【类比分析】
（2）如图3，，点、点分别是上的点，点和点位于直线和之间，射线平分，射线平分，射线和相交于点．探究，和三个角之间的数量关系：
【学以致用】
（3）如图4，直线，点在直线上，点在直线上，连接，作和的平分线交于点，若，求的度数．（用含的式子表示）（三角形内角和）
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理的应用．
（1）如图2，过点作，则有，利用平行线的性质得出，，则可证明结论．
（2）设，由角平分线的定义可得出，，由于，可利用（1）的结论表示出，，以及，代入即可得出答案．
（3）过点作，由三角形内角和定理可得出，由平行线的性质可得出，由角平分线的性质可得出，，即可得出，结合（1）的结论即可求出
的度数．
【详解】证明：（1）如图2，过点作，则有，
，，
∴，
即．
（2）设，如下图所示：
分别平分，
，，
，，
∵，
由（1）可知：，，
，
∴，
．
（3）过点作，如下图所示：
∵，
，
，
，
，分别是和的角平分线，
，，
，
，
由（1）知，．