2024八年级数学下册第4章四边形易错30题专练含解析新版浙教版

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第4章四边形（易错30题专练）一．选择题（共23小题）1．（鹤峰县模拟）数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如遇是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．①勾股树 B．②分形树 C．③谢尔宾斯三角形 D．④雪花【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：①既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；②③是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；④既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（沂南县期中）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（金华模拟）下列大写的英文字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．W B．N C．I D．Q【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．W是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．N不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C．I既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．Q不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（海曙区期末）从六边形的一个顶点出发可以作对角线（　　）A．3条 B．4条 C．5条 D．6条【分析】已知多边形的边数为n（n＞3时），从多边形的一个顶点出发，可以画出（n﹣3）条对角线，根据以上内容求出即可．【解答】解：从六边形的一个顶点出发，可以画出6﹣3＝3条对角线，故选：A．【点评】本题考查了多边形的对角线，能熟记多边形的对角线的定义是解此题的关键．5．（江北区期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．（益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：A．不是中心对称图形，符合题意；B．是中心对称图形，不符合题意；C．是中心对称图形，不符合题意；D．是中心对称图形，不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了中心对称图形的概念．熟记定义是解答本题的关键．7．（历下区三模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．8．（鹿城区校级期中）如图标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9．（金牛区期末）六边形的外角和为（　　）A．180° B．360° C．540° D．720°【分析】由多边形的外角和等于360°，即可求得六边形的外角和．【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，∴六边形的外角和为360°．故选：B．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．解题时注意：多边形的外角和等于360度．10．（金坛区期末）若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180＝360，解得n＝4．故这个多边形的边数为4．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．11．（嘉兴一模）若存在一条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转180°后能与另一个部分重合，则我们把这个图形叫做旋转重合图形．下列图形中，属于旋转重合图形的是（　　）A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正五边形【分析】根据“旋转重合图形”的定义判断即可．【解答】解：直角三角形，等边三角形以及正五边形均不能找到这样的一条线段，使这条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转180°后能与另一个部分重合，所以不是旋转重合图形；平行四边形的对角线的交点绕其中一条对角线旋转180°后能与另一个部分重合，所以是旋转重合图形；故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形，掌握旋转重合图形的定义是解答本题的关键．12．（江干区期末）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝540°，然后解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，∴（n﹣2）•180°＝540°，∴n＝5．故选：C．【点评】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．13．（下城区期末）在四边形ABCD中，设∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β（　　）A．若α＝60°，则β＝60° B．若α＝70°，则β＝70° C．若α＝80°，则β＝80° D．若α＝90°，则β＝90°【分析】根据四边形的内角和为360°求解即可．【解答】解：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β，A．若α＝60°，则β＝180°，故本选项不合题意；B．若α＝70°，则β＝150°，故本选项不合题意；C．若α＝80°，则β＝120°，故本选项不合题意；D．若α＝90°，则β＝90°，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了四边形的内角和公式，n边形内角和公式是（n﹣2）×180°．14．（江干区期末）下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　）A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720° C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【分析】分别根据正多边形的性质，多边形内角和公式以及多边形的外角定义逐一判断即可．【解答】解：A、正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、任意多边形的外角和为360°，故本选项不合题意；C、任何正多边形都有且只有一个外接圆，故本选项符合题意；D、正三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形以及多边形内角与外角，熟记相关定义是解答本题的关键．15．（诸暨市模拟）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．16．（下陆区校级模拟）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正三角形 D．圆【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和等腰三角形、平行四边形、正三角形、圆的性质进行解答．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．17．（绥中县期末）如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和接近于（　　）A．720° B．540° C．360° D．180°【分析】根据多边形的内角和公式求出即可．【解答】解：因为黑色皮块是正五边形，所以黑色皮块的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键，边数为n的多边形的内角和＝（n﹣2）×180°．18．（朝阳期中）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（　　）条．A．9条 B．10条 C．11条 D．12条【分析】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，由此计算即可．【解答】解：12﹣3＝9，十二边形从一个顶点出发可引出9条对角线．故选：A．【点评】本题考查了多边形的边数与对角线的关系．熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．19．（嵊州市期末）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（　　）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，故选：D．【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．20．（永嘉县校级期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（　　）A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60° C．三角形中每个内角都大于60° D．三角形中没有一个内角小于60°【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，故选：C．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．21．（泗县期末）用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（　　）A．直角三角形中两个锐角都大于45° B．直角三角形中两个锐角都不大于45° C．直角三角形中有一个锐角大于45° D．直角三角形中有一个锐角不大于45°【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°．故选：A．【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．22．（苍南县期末）如图，O为▱ABCD对角线AC，BD的交点，OE⊥BD，交边AD于点E，连结BE．若△BCD的周长比△ABE的周长大8，则BE的长有可能为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到BO的长，再根据BE＞BO，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，O是BD的中点，又∵EO⊥BD，∴EO垂直平分BD，∴BE＝DE，∴AE+BE＝AE+DE＝AD，∵△BCD的周长比△ABE的周长大8，∴（BC+CD+BD）﹣（AB+AE+BE）＝8，即（BC+CD+BD）﹣（AB+AD）＝8，∴BD＝8，BO＝4，又∵Rt△BOE中，BE＞BO，∴BE＞4，∴BE的长可能为5，故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长等知识，解答本题的关键是判断出OE是线段BD的垂直平分线．23．（嵊州市期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC＝60°，点F在CD的延长线上，连结BF，G为BF的中点，连结AG．若AB＝2，BC＝6，DF＝3，则AG的长为（　　）A．3 B． C． D．【分析】延长AG交DF于M，过A作AM⊥CF，垂足为N，用三角函数求AN．ND的长，最后用勾股定理求AM．【解答】解：延长AG交DF于M，过A作AN⊥CF，垂足为N，在▱ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝2，AB∥CD，∠AND＝90°，在Rt△ANM中，AM＝，∵∠ADC＝60°，在Rt△AND中，cos60°＝＝，∴DN＝3，sin60°＝，AN＝3．∵G为BF的中点，∴AG＝GM，∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠GFM，∠BAG＝∠MGF，∴△ABG≌△MFG（AAS）．∴AG＝GM，MF＝AB＝2，DM＝1，MN＝4，∴AG＝故选：C．【点评】考查平行四边形性质，三角函数，勾股定理，全等三角形的判断，解题关键作辅助线构造直角三角形．二．填空题（共5小题）24．（江北区期末）请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是　②　，（选择①，②，③，④中的一项）选择理由是　②既是轴对称图形，又是中心对称图形　．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．【解答】解：我最为欣赏的图标是②，选择理由是②既是轴对称图形，又是中心对称图形①是轴对称图形，③既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，④是轴对称图形．故答案为：②；既是轴对称图形，又是中心对称图形．【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．25．（拱墅区期中）已知一个正多边形内角的度数为108°，则它的边数为　5　．【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．【解答】解：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，∴边数＝360°÷72°＝5，∴这个正多边形是正五边形．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．26．（陕西模拟）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是　35　．【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．【解答】解：∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n＝180×（n﹣2），解得：n＝10，这个正n边形的对角线的条数是：＝＝35（条）．故答案为：35．【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．27．（柯桥区自主招生）如图，▱ABCD，AB＝BD＝2，AC＝4，则AD＝　　．【分析】过A作AE⊥BD于E，依据等腰三角形的性质，即可得到BE和DE的长，再根据勾股定理进行计算即可得出AD的长．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥BD于E，∵AB＝2，AO＝AC＝2，∴△ABO是等腰三角形，∴E是BO的中点，∴BE＝OE＝BO＝BD＝，又∵DO＝BD＝1，∴DE＝，∵AE⊥BD，∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即＝AD2﹣，解得AD＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分以及等腰三角形三线合一．28．（衢州期末）▱ABCD的周长为28，对角线交点是O，两邻边之差为2，点E是AB的中点，则OE的长度为　3或4　．【分析】设平行四边形ABCD的两邻边为a和b，▱ABCD的周长为28，两邻边之差为2，列出方程组求出平行四边形的两个邻边，再根据三角形中位线定理即可求出结果．【解答】解：设平行四边形ABCD的两邻边为a和b，∵▱ABCD的周长为28，两邻边之差为2，∴，解得或，∵点E是AB中点，∴OE＝AD＝3或4．故答案为：3或4．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．三．解答题（共2小题）29．（东阳市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝12，∠A＝60°，点E，G分别在边AB，AD上，且AE＝AB，AG＝AD，作EF∥AD、GH∥AB，EF与GH交于点O，分别在OF、OH上截取OP＝OG，OQ＝OE，连结PH、QF交于点I．（1）四边形EBHO的面积　＝　四边形GOFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）比较∠OFQ与∠OHP大小，并说明理由．（3）求四边形OQIP的面积．【分析】（1）根据已知可知四边形EBHO和四边形GOFD都是平行四边形，然后求出它们的面积即可判断；（2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△OFQ∽△OHP，即可解答；（3）利用相似三角形的性质求出△OFQ与△OHP的面积比，再证明△FPI∽△HQI，求出它们的面积比，最后求出△OFQ的面积进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点D作DM⊥GH，垂足为M，过点O作ON⊥AB，垂足为N，∵AD＝8，AB＝12，AE＝AB，AG＝AD，∴AE＝3，AG＝2，∴GD＝AD﹣AG＝9，EB＝AB﹣AE＝8﹣2＝6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵EF∥AD、GH∥AB，∴EF∥AD∥BC，GH∥AB∥CD，∴四边形GOFD是平行四边形，四边形OEBH是平行四边形，四边形AGOE是平行四边形，∴AE＝GO＝3，EB＝OH＝9，GD＝FO＝6，AG＝OE＝2，∵EF∥AD、GH∥AB，∴∠A＝∠DGO＝60°，∠A＝∠OEB＝60°，∴DM＝GDsin60°＝6×＝3，ON＝OEsin60°＝2×＝，∴四边形EBHO的面积＝EB•ON＝9×＝9，四边形GOFD的面积＝GO•DM＝3×3＝9，∴四边形EBHO的面积＝四边形GOFD的面积，故答案为：＝；（2）∠OFQ＝∠OHP，理由：∵OP＝OG＝3，OQ＝OE＝2，OF＝6，OH＝9，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠FOQ＝∠POH，∴△OFQ∽△OHP，∴∠OFQ＝∠OHP；（3）设四边形OQIP的面积为x，△FPI的面积为y，△HQI的面积为z，∵△OFQ∽△OHP，OQ＝2，OP＝3，∴＝，∴＝，∴5x＝4z﹣9y，∵∠FIP＝∠HIQ，∠OFQ＝∠OHP，∴△FPI∽△HQI，∴＝（）2＝（）2＝，∴＝，∴49y＝9z，过点Q作QK⊥OF，垂足为K，∵GH∥AB，∴∠FOQ＝∠FEB＝60°，∴QK＝OQsin60°＝2×＝，∴△OFQ的面积＝OF•QK＝×6×＝3，∴x+y＝3，∴，由②得：z＝y，把z＝y代入①得：5x＝4y﹣y，∴y＝x，把y＝x代入③得：x+x＝3，∴x＝，∴四边形OQIP的面积为：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．30．（拱墅区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．（1）求证：AB＝AE；（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；②设＝k，试求k与m满足的关系．【分析】（1）根据▱ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；（2）①根据＝m＝，可得AB＝BC，证明∠BAC＝90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的长，进而可得平行四边ABCD的面积；②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，由△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE；（2）解：①∵＝m＝，∴AB＝BC，∴AE＝BE＝BC，∴AE＝CE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝90°，当AC＝4时，AB＝4，∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×4＝16；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝mBC，∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，∵S△AOD＝×b＝，∴＝（﹣）bh×＝k，∴2﹣m＝k，∴m+k＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．