江苏省常熟市2024年九年级中考模拟考试数学模拟试题（含解析）

这是一份江苏省常熟市2024年九年级中考模拟考试数学模拟试题（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初三数学
（满分130分，时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上．
1．数轴上表示的点位于（ ）
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
2．截止到年月日，中国红十字会中华骨髓库非血缘造血干细胞捐献突破例．用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面④，则多面体的上面是（ ）
A．面①B．面②C．面⑤D．面⑥
5．如图，在中，点，，在圆上，，的半径的长为，则劣弧的长是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，游戏板正五边形中，点分别是的中点，假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是（ ）

A．B．C．D．
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，则依据条件可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图1，在中，．点从出发，沿运动到点停止，过点作，垂足为连接．设点的运动路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卷相应位置上．
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．分解因式 ．
11．月日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级名同学近个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
则阅读课外书数量的中位数是 ．
12．在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点，则代数式的值为 ．
13．如图，在中，的中点为，以为圆心，长为半径作，于交于点，连接，若，则的值为 ．
14．我们规定：若，则．例如，则．已知，若，且，则的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，以为斜边，在轴的下方作等腰，连接，点在线段上，且，则 ．
16．如图，点是二次函数（为常数）的图像与轴的交点，是二次函数的对称轴与轴的交点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在二次函数的图像上，则的值为 ．

三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．计算：
18．解方程组：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．，，三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由将球随机地传给两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的拿球者随机地传给其他两人中的某一人．
(1)一次传球后，球恰在手中的概率为 ；
(2)求三次传球后，球恰在手中的概率（用树状图的方法说明）．
21．如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．为进一步加强手机管理，促进学生身心健康发展，某校从全校1500名学生中随机选取一部分学生进行每周手机使用时间调查，将手机使用时间（单位：小时）分成以下四组：，并将统计结果制成了如图所示两幅统计图，请根据图中信息解答下列问题：
(1)参加本次调查的学生的人数为 ；
(2)请将条形统计图补全，并求出组对应的扇形的圆心角的度数；
(3)请估计全校手机使用时间超过7小时的学生人数．
23．如图1是常熟市聚沙塔，始建于南宋绍兴年间，塔基是正八边形．塔是聚众人之财，汇众人之力而建成，所以取“聚沙成塔，集腋成裘"意而名．某数学学习活动小组开展了测量“聚沙塔塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：
①如图2，测量塔基正八边型的边长；②在地面选取测量点和塔基正八边形的顶、，调整的度数，使得测量点、八边形的顶点以及正八边形的中心在同一条直线上（三点在同一条直线上）；③测量之间的距离；④如图3，测量塔的顶点与地面测量点所在直线与地面形成的夹角．
数据收集：通过实地测量，正八边形的边长，地面上两点的距离为，．
问题解决：
(1)如图2，要使得三点在同一条直线上，应调整的角度，使得的度变为 ；
(2)求塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，）
24．如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？
25．如图，是的直径，切于，弦．
(1)求证：是的切线；
(2)设四边形的面积为，的面积为，若，求的值．
26．（1）问题解决：如图1，点在一条直线上，，求证：；
（2）问题探究：在（1）的条件下，若点为的中点，求证：；
（3）拓展运用：如图2，在中，，点是的内心，若，求的长．
27．如图，边长为1的正方形中，轴，轴（在的右侧、在的下方），点在二次函数（为常数，且）的图像上．
(1)若点的坐标为
①求二次函数图像顶点坐标；
②判断二次函数图像与边是否相交，并说明理由；
(2)若点的横坐标为，且二次函数的图像与边相交，求的范围；
(3)在（2）的条件下，若二次函数在正方形内（包括边界）的部分函数最小值为，求的范围．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了实数和数轴，利用夹逼法估算出的取值范围即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【解答】解：∵，
∴，
∴数轴上表示的点位于和之间，
故选：．
2．C
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【解答】解：，
故选：．
3．C
【分析】本题主要考查了幂的运算和合并同类项，根据合并同类项法则判断A，B，根据幂的乘方法则计算判断C，根据同底数幂相除法则计算判断D．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意；
B、，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，故选项D计算错误，不符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查几何体的表面展开图，根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面判定即可．
【解答】解：若多面体的底面是面④，则多面体的上面是面①．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，根据圆周角定理求出度数，再利用弧长公式计算即可，熟练掌握圆周角定理和弧长公式的应用是解题的关键．
【解答】解：∵，
∴，
∴劣弧的长是，
故选：．
6．C
【分析】本题主要考查了几何概率，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明是的中位线，得到，再证明，得到，则由正五边形的对称性可得阴影部分的面积是正五边形的面积的，据此可得答案．
【解答】解；∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴由正五边形的对称性可得阴影部分的面积是正五边形的面积的，
∴飞镖击中阴影部分的概率是，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识,因为每枚黄金重x两，每枚白银重y两，甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，所以；两袋互相交换1枚后，甲袋中黄金是8枚，白银是1枚，重两，乙袋中黄金1枚，白银10枚，重两；又因为两袋互相交换后，甲袋比乙袋轻了13两，所以．
【解答】解：根据甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，可得方程；
根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋重忽略不计），可得方程．
综上所述，可以列出方程组：
．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了二次函数的应用和勾股定理，根据图象结合点的运动过程即可求解，熟练掌握求解二次函数解析式是解题的关键．
【解答】解：∵，，，
∴由勾股定理，
由题意得，时，
，即，，
∴，同理，
∴，
∴
当时，
∴，
时，如图，
由题意得：，
，即，，
∴，同理，
∴，
当时，
∴，
∴，
故选：．
9．
【分析】分式有意义的条件为分母不为0，据此求解．
【解答】解：若代数式有意义，则，
解得，
故实数的取值范围是，
故答案为：．
【点拨】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式的分母不能为0．
10．
【分析】本题考查因式分解．先提公因式a，再运用平方差公式分解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了中位数，利用中位数的定义即可解决问题，解题的关键是掌握中位数的概念．
【解答】解：中位数为第个和第个的平均数为：，
故答案为：．
12．1
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入函数得，代入解析式解答即可．
【解答】解：把代入函数得，
，
把代入得，
，
故答案为：1．
13．
【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及甭角的正切值，先判定，判断，由勾股定理求出，得到再求的正切值即可．
【解答】解：是的直径，
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴，
∴
∴
故答案为：
14．
【分析】本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，根据新定义运算法则得到一元二次方程，求解后再对方程的解进行判断即可
【解答】解：若，则
所以，，得：
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，即，的值为：，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，过点作，，得，由的坐标为，点的坐标为，得，，由勾股定理求出，长，再由，，求出 ，，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【解答】如图，过点作，
∴，
∴，
∴，
∵的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，解得，
在中，由勾股定理得，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，即，
，即，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作轴于点，由旋转得，，进而可证明，得到，，又由二次函数可得，，即可得，把代入二次函数的解析式解答即可求解，证明得到点的坐标是解题的关键．
【解答】解：过点作轴于点，

则，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵是二次函数的对称轴与轴的交点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点恰好落在二次函数的图像上，
∴，
整理得，，
解得，，
∴的值为或，
故答案为：或．
17．
【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【解答】解：原式
．
18．
【分析】把①×2+②，消去y，求出x的值，再把求得的x的值代入②，求出y的值即可.
【解答】2x-y=13x+2y=12①②
①×2+②，得：7x=14，
解得：x=2，
将x=2代入②，得：6+2y=12，
解得：y=3，
所以方程组的解为．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，当两方程中相同的未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法解方程组比较简单．灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
19．；
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可．
【解答】解：
；
当时，原式．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．(1)；
(2)三次传球后，球恰在手中的概率为：．
【分析】（）利用概率公式即可求解；
（）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在A手中的情况，再利用概率公式即可求得答案；
本题考查了简单随机事件的概率计算，解题的关键是熟练掌握利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率．
【解答】（1）一次传球后，球恰在B手中的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图得：
共有种等可能的结果，三次传球后，球恰在手中的有种情况，
∴三次传球后，球恰在手中的概率为：．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图-角平分线的作法，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质：
（1）根据角平分线的定义结合平行四边形对边平行推出，再根据证明即可；
（2）证明四边形是菱形即可得出结果．
【解答】（1）证明：由作图可知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：如图，连接，
由（1）知，且，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
22．(1)100
(2)见解析，
(3)估计全校手机使用时间超过7小时的学生人数为150人
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
（1）用D的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去A、B、D的人数，可得C组人数，即可补全条形统计图；用B组的占比乘以即可求出该组对应的扇形的圆心角的度数；
（3）用总人数乘以全校上网超过7小时的学生人数所占的百分比即可．
【解答】（1）解：（人）
故答案为：100；
（2）解：C组的人数为：（人），
所以，补全图形如下 ：
组对应的扇形的圆心角的度数
（3）解：（人），
答：估计全校手机使用时间超过7小时的学生人数为150人．
23．(1)；
(2)塔高约为．
【分析】（）利用等腰三角形的性质和领补角的定义即可求解；
（）过点作，求出，再利用三角函数即可求解；
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和领补角的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【解答】（1）解：∵塔基是正八边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图过点作，
∵ ，
∴（米），
在中，，
∴，
∴（米）
如图，在中，，
∴（米），
答：塔高约为．
24．(1)
(2)当时，最大值
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．
（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．
【解答】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：∵点C在一次函数的图象上，且点C的横坐标为a，
∴点C的纵坐标为，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴有最大值，当时，最大值．
25．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）接，利用平行线的性质得出，，证明即可；
（）过点作，利用三角函数和面积公式即可求解；
本题考查圆的切线判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【解答】（1）证明：连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与 中
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）如图所示，过点作，
∵，
∴设，，，，
，，，
∴．
26．（1）见解析（2）见解析（3）10
【分析】（1）根据三角形外角的性质得，即可证明结论；
（2）由，得，可说明，进而证明结论成立；
（3）过点O作交于点E，交于点F，可知是等腰直角三角形，再说明，可得和的长，最后利用勾股定理求出BC的长．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点C为的中点
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点O作交于点E，交于点F，
∵点O是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
27．(1)①②不相交，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）①将A点坐代入解析式直接求出；②求出点C坐标，代入横坐标，判断函数值是否等于点C的纵坐标即可．
（2）求出P、D、C三点的纵坐标，根据P点要处在C、D之间列出不等式组即可解决问题．
（3）对应的函数的最小值为，即点P的纵坐标的值为，由此列出关系式，即可解决问题．再结合（2）的结果确定m的范围．
【解答】（1）解：①把代入，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
②∵正方形的边长为1，且，
∴，
∴
∴点D的坐标为，点C的坐标为
当时，，
所以，二次函数图像与边不相交；
（2）解：如图，
∵A点的横坐标为m，正方形边长为1，
∴，，，，，
∵，
解得：，
∵，
解得：，
综上所述，．
（3）解：∵对应的函数的最小值为，
∴，
∴．
∴，
由图象可知点P不在y轴上，
∴，
∴
由（2）可知，且，
解得．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数和反比例函数在特定范围内的增减性、不等式与不等式组等重要知识点．第（2）问的关键是利用函数增减性列出不等式组，第（3）问的关键是利用（2）的结论，转化为不等式确定自变量取值范围．
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