2022-2023学年广东省深圳市宝安区荣根学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市宝安区荣根学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各式中，是分式的是( )
A. x2B. 13x2C. 2x+1x−3D. xπ−2
3.下列各式从左到右，是因式分解的是 ( )
A. (x−2)(x−3)=(3−x)(2−x)B. x2y+xy2−1=xy(x+y)−1
C. a(x−3)+b(x−3)=(x−3)(a+b)D. (y−1)(y+1)=y2−1
4.不等式组3x−1>28−4x≥0的解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 无法确定
6.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A. △ABC三条中线的交点处
B. △ABC三条角平分线的交点处
C. △ABC三条高线的交点处
D. △ABC三条边的垂直平分线的交点处
7.已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2−b2=c(a−b)，则△ABC是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
8.如图，函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A(m,3)，则不等式ax+4>2x的解集为( )
A. x<32B. x<3C. x>32D. x>3
9.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠ADO的度数为( )
A. 30°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
10.已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( )
A. 2 2
B. 4
C. 2 3
D. 不能确定
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：m2−16=______．
12.如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是(−4,2)、(−2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是______．
13.已知关于x的方程2x+m=x−3的根是正数，则m的取值范围是______．
14.如图，点C为线段AB上一点，且CB=1，分别以AC、BC为边，在AB的同一侧作等边△ACD和等边△CBE，连接DE，AE，∠CDE=30°，则△ADE的面积为______．
15.如图1所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，将△ABC沿着AC翻折得到△ADC，如图2，将△ADC绕着点A旋转到△AD′C′，连接CD′，当CD′//AB时，四边形ABCD的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
分解因式：
(1)xy2−9x
(2)2x2−4x+2．
17.(本小题6分)
解不等式组2x−2≥x−x−2<2(x+2)，并把它的解集在数轴上表示出来．
18.(本小题7分)
已知坐标平面内的三个点A(3,5)，B(3,1)，O(0,0)，把△ABO向下平移3个单位再向右平移2个单位后得到△DEF．
(1)直接写出A，B，O三个对应点D、E、F；
(2)画出将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°后得到的△A′OB′；
(3)求△DEF的面积．
19.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，AE平分∠CAB．
(1)证明：△CAE≌△DBE．
(2)证明：CB=3CE．
20.(本小题7分)
如图1、图2所示，其中a>b．
(1)用含a、b的代数式表示它们阴影面积，则S1= ______，S2= ______；
(2)因式分解S1−S2，并求出当a=4，b=1时式子的值．
21.(本小题10分)
为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元．
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
(3)在(2)的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？
22.(本小题9分)
运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．
(1)如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2.请用面积法证明：h1+h2=h；
(2)当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是______；(直接写出结论不必证明)
(3)如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=34x+3、l2：y=−3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用(1)、(2)的结论求出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：2x+1x−3是分式，
故选：C．
根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意π是常数不是字母，xπ−2是整式．
3.【答案】C
【解析】解：A、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故A错误；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C正确；
D、是整式的乘法，故D错误．
故选：C．
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
4.【答案】C
【解析】解：3x−1>2①8−4x≥0②，
由①得，x>1，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：1在数轴上表示为：
故选C．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP=CD解决问题；
本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
7.【答案】C
【解析】解：已知等式变形得：(a+b)(a−b)−c(a−b)=0，即(a−b)(a+b−c)=0，
∵a+b−c>0，
∴a−b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
首先将A(m,3)代入y=2x求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式ax+4>2x的解集即可．
【解答】
解：∵函数y=2x过点A(m,3)，
∴2m=3，
解得：m=32，
∴A(32,3)，
∴不等式ax+4>2x的解集为x<32．
故选：A．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得∠AOD=30°，OA=OD，
∴∠ADO=180°−∠AOD2=75°．
故选：C．
利用等腰三角形的性质解决问题即可．
本题考查旋转变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于参考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠BCQ=120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD=4，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ=30°，
∴CQ=12CD=2，
∴DQ= 42−22=2 3，
∴DQ的最小值是2 3，
故选：C．
根据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
11.【答案】m+4m−4
【解析】解：原式=m+4m−4，
故答案为：m+4m−4
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12.【答案】(5,4)
【解析】解：∵两眼间的距离为2，且平行于x轴，
∴右图案中右眼的横坐标为3+2．
则右图案中右眼的坐标是(5,4)．
故答案为：(5,4)．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13.【答案】m<−3
【解析】解：由方程2x+m=x−3，得x=−m−3，
∵关于x的方程2x+m=x−3的根是正数，
∴−m−3>0，
解得，m<−3，
故答案为：m<−3．
根据关于x的方程2x+m=x−3的根是正数，可以求得m的取值范围．
本题考查解一元一次方程和一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，求出m的取值范围．
14.【答案】 3
【解析】解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴CE=CB=1，AD=CD，∠DCA=∠ECB=∠ADC=60°，
∴∠DCE=180°−∠DCA−∠ECB=180°−60°−60°=60°，
∵∠CDE=30°，
∴∠CED=180°−∠CDE−∠DCE=180°−30°−60°=90°，
∴CE=12CD，即AD=CD=2CE=2，
DE=CD⋅sin60°=2× 32= 3，
∠ADE=∠ADC+∠CDE=60°+30°=90°，
∴S△ADE=12AD⋅DE=12×2× 3= 3，
故答案为： 3．
由等边三角形的性质得出CE=CB=1，AD=CD，∠DCA=∠ECB=∠ADC=60°，由平角的定义得出∠DCE=60°，由三角形内角和定理得出∠CED=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出CE=12CD，即AD=CD=2CE=2，DE=CD⋅sin60°=2× 32= 3，∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，则S△ADE=12AD⋅DE，即可得出结果．
本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形是含30°角直角三角形是解题的关键．
15.【答案】24−3 72
【解析】解：如图(2)，过点A作AE⊥AB交CD′的延长线于E，由翻折得AD=AB=4
∵CD′//AB
∴∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°
∴∠BCE=90°
∵AE⊥AB
∴∠BAE=90°
∴ABCE是矩形，AD′=AD=AB=4
∴AE=BC=3，CE=AB=4，∠AEC=90°
∴D′E= AD′2−AE2= 42−32= 7
∴CD′=CE−D′E=4− 7
∴S四边形ABCD′=12(AB+CD′)⋅BC=12(4+4− 7)×3=24−3 72，
故答案为：24−3 72．
过点A作AE⊥AB交CD′的延长线于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
本题考查了勾股定理，矩形性质，翻折、旋转的性质，梯形面积等，解题关键对翻折、旋转几何变换的性质要熟练掌握和运用．
16.【答案】解：(1)xy2−9x，
=x(y2−9)，
=x(y+3)(y−3)；
(2)2x2−4x+2，
=2(x2−2x+1)，
=2(x−1)2．
【解析】(1)先提取公因式x后，再把剩下的式子写成x2−32，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
(2)先提取公因式2后，剩下的式子符合完全平方公式的特点，可以继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．
17.【答案】解：2x−2≥x①−x−2<2(x+2)②
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x>−2，
故不等式得解集为：x≥2，
在数轴上表示为：
．
【解析】分别解两个不等式，找其公共部分就是不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组及其在数轴上表示不等式的解集，解题的关键掌握找不等式组公共部分的法则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了．
18.【答案】解：(1)点D、E、F的坐标分别为(5,2)、(5,−2)、(2,−3)；
(2)如图，△A′OB′为所作；
(3)△DEF的面积=12×4×3=6．

【解析】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
(1)利用点平移的坐标规律写出点D、E、F的坐标；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A′、B′即可；
(3)利用三角形面积公式计算．
19.【答案】证明：(1)∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE=90°，AE=BE，
∴∠DAE=∠B，∠BDE=∠C=90°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE=∠DAE，
∴∠CAE=∠B，
在△CAE和△DBE中，
∠BDE=∠C∠CAE=∠BAE=BE，
∴△CAE≌△DBE(AAS)；
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠EAB，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE=∠EAB=∠B，
∵∠C=90°，
∴3∠CAE=90°，
∴∠CAE=30°，
∴AE=2CE，即BE=2CE，
∴BC=3CE．
【解析】(1)根据线段垂直平分线得出∠BDE=90°，AE=BE，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出∠CAE=∠B，根据AAS即可证明△CAE≌△DBE；
(2)根据线段垂直平分线得出AE=BE，推出∠B=∠EAB，求出∠CAE=∠EAB=∠B，根据三角形内角和定理得出3∠B=90°，求出∠CAE=30°，根据含30度角的直角三角形的性质得到AE=2CE，据此即可证明结论．
本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质、角平分线定义、三角形的内角和定理、直角三角形的性质等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．
20.【答案】a2−b2 (a−b)2
【解析】解：(1)图1的面积是S1=a2−b2；
图2的面积是S2=(a−b)2；
故答案为：a2−b2；(a−b)2；
(2)S1−S2=a2−b2−(a−b)2
=a2−b2−(a2−2ab+b2)
=a2−b2−a2+2ab−b2
=2ab−2b2
=2b(a−b)，
当a=4，b=1时，原式=2×1×(4−1)=6．
(1)根据正方形的面积公式列代数式即可；
(2)根据(1)得出的结果因式分解，再代入数据即可求解．
此题考查了因式分解，列代数式，用到的知识点是正方形的面积公式，多项式的乘法，关键是根据所给出的图形列出相应的代数式．
21.【答案】解：(1)设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得：
x+2y=4003x+2y=600,
解得x=100y=150．
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
(2)设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10−a)辆，由题意得
100a+150(10−a)≤120060a+100(10−a)≥680，
解得：6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则(10−a)=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；
②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；
③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
(3)①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆：100×6+150×4=1200(万元)；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150(万元)；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100(万元)．
故购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆总费用最少，最少总费用为1100万元．
【解析】(1)设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元”可列出二元一次方程组解决问题；
(2)设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10−a)辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”可列出不等式组探讨得出答案即可；
(3)分别求出各种购车方案总费用，再根据总费用作出判断．
此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
22.【答案】(1)∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，S△ABM=12×AB×ME=12×AB×h1，S△AMC=12×AC×MF=12×AC×h2，
又∵S△ABC=12×AC×BD=12×AC×h，
∴12×AC×h=12×AB×h1+12×AC×h2，
∴h1+h2=h．
(2)h1=h2+h；
(3)在y=34x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=−4，则：
A(−4,0)，B(0,3)同理求得C(1,0)，
AB= OA2+OB2=5，AC=5，
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．设M(Mx，My)
①当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：
1+My=OB，My=3−1=2，把它代入y=−3x+3中求得：Mx=13，
∴M(13,2)；
②当点M在CB延长线上时，由h1−h2=h得：My−1=OB，My=3+1=4，
把它代入y=−3x+3中求得：Mx=−13，
∴M(−13,4)，
∴点M的坐标为(13,2)或(−13,4)．
【解析】【分析】(1)连接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM两个三角形，根据三角形的面积公式底乘以高除以2分别求解，再根据S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h．
(2)根据(1)的方法，利用三角形面积的关系求解即可；
(3)先根据直线关系式求出A、B、C三点的坐标利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，再分点M在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．
本题考查的是一次函数综合运用，主要考查的是面积法解决实际问题，此类题目通常按照题设顺序，逐次求解即可．
【解答】
(1)见答案；
(2)如下图，点M在BC的延长线上，连接AM，
S△ABM=12AB⋅h1=12AC⋅h2 +12AC⋅h，
∵AB=AC，
∴h1=h2+h，
故答案为：h1=h2+h；
(3)见答案．