广东省深圳市宝安区荣根学校2022—2023学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份广东省深圳市宝安区荣根学校2022—2023学年下学期八年级期中数学试卷，共14页。

A．B．
C．D．
2．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x）
B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1
C．a（x﹣3）+b（x﹣3）＝（x﹣3）（a+b）
D．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
6．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
7．（3分）已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
8．（3分）如图，函数y＝ax+4和y＝2x的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＞2x的解集为（ ）
A．xB．x＜3C．xD．x＞3
9．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠ADO的度数为（ ）
A．30°B．60°C．75°D．80°
10．（3分）已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（ ）
A．2B．4C．2D．不能确定
二、（本部分共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：m2﹣16＝ ．
12．（3分）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣2，2），右图中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是 ．
13．（3分）已知关于x的方程2x+m＝x﹣3的根是正数，则m的取值范围是 ．
14．（3分）如图，点C为线段AB上一点，且CB＝1，分别以AC、BC为边，在AB的同一侧作等边△ACD和等边△CBE，连接DE，AE，∠CDE＝30°，则△ADE的面积为 ．
15．（3分）如图1所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿着AC翻折得到△ADC，如图2，将△ADC绕着点A旋转到△AD′C′，连接CD′，当CD′∥AB时，四边形ABCD′的面积为 ．
三、（本部分共7小题，共55分）
16．（8分）分解因式：
（1）xy2﹣9x
（2）2x2﹣4x+2．
17．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（7分）已知坐标平面内的三个点A（3，5），B（3，1），O（0，0），把△ABO向下平移3个单位再向右平移2个单位后得到△DEF．
（1）直接写出A，B，O三个对应点D、E、F；
（2）画出将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°后得到的△A'OB'；
（3）求△DEF的面积．
19．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，AE平分∠CAB．
（1）证明：△CAE≌△DBE．
（2）证明：CB＝3CE．
20．（7分）如图1、图2所示，其中a＞b．
（1）用含a、b的代数式表示它们阴影面积，则S1＝ ，S2＝ ；
（2）因式分解S1﹣S2，并求出当a＝4，b＝1时式子的值．
21．（10分）为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？
22．（9分）运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．
（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是 ；（直接写出结论不必证明）
（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．
2022-2023学年广东省深圳市宝安区荣根学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、（本部分共10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．【解答】解：是分式，
故选：C．
3．【解答】解：A、是乘法交换律，故A错误；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C正确；
D、是整式的乘法，故D错误；
故选：C．
4．【解答】解：，
由①得，x＞1，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：1＜x≤2．
在数轴上表示为：
故选：C．
5．【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
6．【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
7．【解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
8．【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式ax+4＞2x的解集为x＜．
故选：A．
9．【解答】解：由题意得∠AOD＝30°，OA＝OD，
∴．
故选：C．
10．【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝4，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝2，
∴DQ＝＝2，
∴DQ的最小值是2，
方法二：∵将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，
∴△ABP≌△ACQ，
取AB的中点G，连接PG，则PG＝DQ，则当GP垂直BC时，GP最短，
∵∠B＝60°，∠BPG＝90°，
∴∠BGP＝30°，
∴PB＝BG＝AB＝2，
∴DQ＝PG＝2，
故选：C．
二、（本部分共5小题，每小题3分，共15分）
11．【解答】解：原式＝（m+4）（m﹣4），
故答案为：（m+4）（m﹣4）
12．【解答】解：∵两眼间的距离为2，且平行于x轴，
∴右图案中右眼的横坐标为（3+2）．
则右图案中右眼的坐标是（5，4）．
故答案为：（5，4）．
13．【解答】解：由方程2x+m＝x﹣3，得x＝﹣m﹣3，
∵关于x的方程2x+m＝x﹣3的根是正数，
∴﹣m﹣3＞0，
解得，m＜﹣3，
故答案为：m＜﹣3．
14．【解答】解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴CE＝CB＝1，AD＝CD，∠DCA＝∠ECB＝∠ADC＝60°，
∴∠DCE＝180°﹣∠DCA﹣∠ECB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CDE＝30°，
∴∠CED＝180°﹣∠CDE﹣∠DCE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴CE＝CD，即AD＝CD＝2CE＝2，
DE＝CD•sin60°＝2×＝，
∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝60°+30°＝90°，
∴S△ADE＝AD•DE＝×2×＝，
故答案为：．
15．【解答】解：如图（2），过点A作AE⊥AB交CD′的延长线于E，由翻折得AD＝AB＝4
∵CD′∥AB
∴∠BCE+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°
∴∠BCE＝90°
∵AE⊥AB
∴∠BAE＝90°
∴ABCE是矩形，AD′＝AD＝AB＝4
∴AE＝BC＝3，CE＝AB＝4，∠AEC＝90°
∴D′E＝＝＝
∴CD′＝CE﹣D′E＝4﹣
∴S四边形ABCD′＝（AB+CD′）•BC＝（4+4﹣）×3＝，
故答案为：．
三、（本部分共7小题，共55分）
16．【解答】解：（1）xy2﹣9x，
＝x（y2﹣9），
＝x（y+3）（y﹣3）；
（2）2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
17．【解答】解：
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x＞﹣2，
故不等式得解集为：x≥2，
在数轴上表示为：
．
18．【解答】解：（1）点D、E、F的坐标分别为（5，2）、（5，﹣2）、（2，﹣3）；
（2）如图，△A'OB'为所作；
（3）△DEF的面积＝×4×3＝6．
19．【解答】证明：（1）∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE＝90°，AE＝BE，
∴∠DAE＝∠B，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠B，
在△CAE和△DBE中，
，
∴△CAE≌△DBE（AAS）；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴3∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE，即BE＝2CE，
∴BC＝3CE．
20．【解答】解：（1）图1的面积是；
图2的面积是；
故答案为：a2﹣b2；（a﹣b）2；
（2）
＝a2﹣b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2
＝2ab﹣2b2
＝2b（a﹣b），
当a＝4，b＝1时，原式＝2×1×（4﹣1）＝6．
21．【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得：
，
解得．
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得
，
解得：6≤a≤8，
所以a＝6，7，8；
则（10﹣a）＝4，3，2；
三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆；
（3）①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4＝1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3＝1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2＝1100万元；
故购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
22．【解答】解：（1）∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，
又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，
∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，
∴h1+h2＝h．
（2）h1﹣h2＝h．
（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，则：
A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），
AB＝＝5，AC＝5，
所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．
①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：
1+My＝OB，My＝3﹣1＝2，把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝，
∴M（，2）；
②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：My﹣1＝OB，My＝3+1＝4，
把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝﹣，
∴M（﹣，4），
∴点M的坐标为（，2）或（，4）．