江苏省苏州中学校2024年九年级下学期一模考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省苏州中学校2024年九年级下学期一模考试数学模拟试题（原卷版+解析版），文件包含江苏省苏州中学校2024年九年级下学期一模考试数学模拟试题原卷版docx、江苏省苏州中学校2024年九年级下学期一模考试数学模拟试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【详解】解：的倒数是：．
故选A．
【点睛】此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式的计算法则进行计算，然后做出判断．
【详解】解：A、正确，该选项符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式的计算，掌握计算法则正确计算是解题关键．
3. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达8016000000元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据8016000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：，
故选：D．
4. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可．
【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，
由题意得，，
故选A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
5. 已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线平行，内错角相等可得，由角平分线的定义可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
6. 一个圆锥的母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆锥底面半径为，则圆锥底面圆周长为，再求出侧面展开图扇形的弧长，根据两者相等，即可得到圆锥的底面圆半径．
【详解】解：设圆锥底面半径为，
那么圆锥底面圆周长为，
所以侧面展开图的弧长为，
则，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了弧长公式、圆锥的侧面展开图等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．
7. 如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案．
【详解】解：设，交于点，
由题意得，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，
故，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
．

故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过设点法，设出、、、，表示出的面积，再借助整体换元思想，令，求出t值即可．
【详解】解：如图所示，分别过点A、B作y轴垂线，交点分别为G、F，过点B作x轴垂线，交点为E，
设、，则、，，，
则
令，则，代入，
则，
解得，（舍）
则的值为．
故选：C．
【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义与换元思想，解题的关键是正确应用k的几何意义．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 函数的自变量的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案．
【详解】解：由有意义可得：
即
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键．
10. 若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的中位数为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：∵数据1、3、x、5、8的众数为8，
∴x＝8，
则数据重新排列为1、3、5、8、8，
所以中位数为5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
11. 因式分解=______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：
=
=，
故答案为．
12. 在中（如图），点D、E分别为、的中点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线和相似三角形的性质和判定，根据中位线性质证明，再利用相似的性质即可解题．
【详解】解：点D、E分别为、的中点，
为的中位线，
，，
,
，
，
故答案为：．
13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_________．
【答案】120
【解析】
【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
14. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰是“3倍长三角形”，底边的长为3，则等腰的周长为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“3倍长三角形”是解本题的关键．由等腰是“3倍长三角形”，可知或，若，可得的长为9；若，因为，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；再根据周长的多余即可得答案．
【详解】解：等腰是“3倍长三角形”，
或，
若，则三边分别是9、9、3，符合题意，
等腰三角形的周长为；
若，则，三边分别是1、1、3，
，
此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形的周长为
故答案为：
15. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．
【答案】
【解析】
分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟，
3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
则排水速度为升/分钟，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
16. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，由，可得，进而由菱形的性质得到，利用勾股定理求出，进而求出，再利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
由翻折可得：，
∴在菱形中，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共82分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及化简绝对值，负整数指数幂．根据特殊角的三角函数值以及化简绝对值，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解不等式组的解集，正确计算是解题的关键．先分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集为：．
19. 先化简，再求值：，并从，0，1选一个合适的数代再求值．
【答案】，2
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件选择合适的整数代入计算，得到答案．
【详解】解：原式
，
∵不能取，0，
∴
当时，原式．
20. 如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F．
（1）求证：△ABE≌△DFE；
（2）试连接BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）平行四边形，理由见试题解析．
【解析】
【分析】（1）用ASA证明△ABE≌△DFE；
（2）四边形ABDF是平行四边形，可用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CF，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴△ABE≌△DFE；
（2）四边形ABDF是平行四边形．理由如下：
∵△ABE≌△DFE，
∴AB=DF，
又∵AB//DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的判定及性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
21. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 ；
（2）扇形统计图中对应圆心角度数为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数．
【答案】（1）450 （2）
（3）见解析 （4）人
【解析】
【分析】（1）根据的人数是人，所占的比例是，据此即可求得此次调查的样本容量；
（2）用类学生数除以，再乘以即可得解；
（3）利用总人数减去、、三类的人数即可求得的人数，从而补全直方图；
（4）利用总人数乘以对应的百分比即可求得．
【小问1详解】
解：，
答：此次调查的样本容量为是，
故答案为．
【小问2详解】
解：，
故答案为；
【小问3详解】
解：
补全图形如下：
【小问4详解】
解：（人）
答：九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数共有人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22. 在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
（2）先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先判断盒子中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可；
（2）根据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
故和均为无理数，
故盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：树状图画出所有情况为：
即抽签的组合有种，分别为：
对应的组合运算结果共个，其中运算结果为无理数的有个，
故抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运算的结果，判断结果是无理数的个数．
23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．

（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）过点作轴于点，连接，求四边形的面积；
（3）根据图像直接写出使成立的的取值范围．
【答案】（1），
（2）5 （3）或
【解析】
【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点的坐标代入反比例函数解析式，求出值，再将点代入反比例函数解析式求出n值，然后将点坐标代入一次函数解析数即可．
（2）四边形的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函数与坐标轴的交点即可求出面积．
（3）结合图像确定的取值范围即可．
【小问1详解】
解：将点代入中，
得，解得，
故；
将点代入，可得，
将，代入，
得，解得，
故；
【小问2详解】
如图所示，

对于一次函数，
令，则，即
令，则，即，
∴，，
∵，轴，
∴，，
设的高为，由可知，
；
【小问3详解】
结合图像可知，当时，
的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正确的点的坐标，将四边形放在大三角形中求解面积．
24. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值．
【答案】（1）可购买绿萝38盆，吊兰8盆
（2）购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，不等式的应用：
（1）设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，由题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆．采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，得，求得m的取值范围，设购买两种绿植共花费w元，由题意得：，根据一次函数的增减性即可求得最省钱方案．
【小问1详解】
解：设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，依题意得：
，
解得：，
答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆；
【小问2详解】
解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，
∵绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，
∴，
解得：，
设购买两种绿植共花费w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取最小值，即花费最少，
（元），
此时购买吊兰15盆，绿萝（盆），
答：购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元．
25. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
（1）求、两点之间的距离；
（2）求长．
（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
【答案】（1）6.7m
（2）4.5m
【解析】
【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．
在中，，
，所以，
，所以，
中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间的距离约6.7m．
【小问2详解】
如图2，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：的长为4.5m．
【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解
26. 如图，已知O是边上的一点，以O为圆心、为半径的与边相切于点D，且，连接，交于点E，连接并延长，交于点F．
（1）求证：是切线；
（2）求证：；
（3）若，F是中点，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质可知．又易证，即得出，即，说明是圆O的切线；
（2）由题意易证，即得出，整理得；
（3）由正切的定义结合题意可设，则．再由勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出，．由，又可设，则，，即可求出，从而得出，解出y的值，即可求出，即半径为．由直角三角形斜边中线的性质得出，结合等边对等角，得出，进而可证，得出，代入数据，即可求出，最后由求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵与圆O相切与点D，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，即，
∴是圆O的切线；
【小问2详解】
证明：，
．
，
．
又，
，
，
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
设，则．
∵，
∴，
解得：（舍去负值），
∴，．
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
解得：，
∴，即半径为．
∵F是中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．
27. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或（3，4）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【小问1详解】
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
【小问3详解】
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
组合情况
运算结果
运算结果是否是无理数
第一种组合
，，乘法
否
第二种组合
，，加法
是
第三种组合
，，乘法
是
第四种组合
，，加法
是
第五种组合
，，乘法
否
第六种组合
，，加法
是
第七种组合
，，乘法
是
第八种组合
，，加法
是
第九种组合
，，乘法
是
第十种组合
，，加法
是
第十一种组合
，，乘法；
是
第十二种组合
，，加法
是