2024七年级数学下册第12讲分式的概念与运算核心考点讲与练试题（附解析浙教版）

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第12讲分式的概念与运算（核心考点讲与练）一、分式的基本概念二、分式的基本性质三、分式的基本运算分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. ⑴先把除法变为乘法；⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 分式的加减 ⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。 ⑵异分母分式加减法则：运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算. 考点一：分式的基本概念例题1 当x取何值时，分式的值为0？【答案】x=－1；【解析】依题得，解得，所以. 求解此类题目，最易忽略分母不能为零的情况！例题2当x________时，分式有意义．【答案】．【解析】解：当2x﹣1≠0，即x时，分式有意义．故答案为．例题3 当x=时，分式的值为0.【答案】.【解析】解：依题：，解之得，故.例题4⑴下列式子：，其中是分式的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ⑵当时，分式有意义；当时，分式有意义；⑶当为何值时，下列分式的值为？① ②③ ④ ⑤⑴D； ⑵， 为任意实数;⑶① ， ② ， ③，④ ， ⑤ .例题5⑴当时，分式的值为1；如果分式的值为，则的值是_____.⑵当时，分式的值为正数；当时，分式的值为负数；当时，分式的值为正整数.⑶当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则_____.⑴， 0； ，即，解得；，即，解得；⑵，，=0、1、2或5.，即，解得；，即 ，解得；或，不等式组无解.⑶，，考点二：分式的基本性质例题6下列各式中是最简分式的是（　　）A．； B．； C．； D．【答案】B；【解析】解：A、该分式的分子分母中含有公因式（x﹣5），不是最简分式，故A不符合题意；B、该分式符合最简分式的定义，故B符合题意；C、该分式的分子分母中含有公因式（a﹣b），不是最简分式，故C不符合题意；D、该分式的分子分母中含有公因数4，不是最简分式，故D不符合题意．故选：B．例题7先化简，再求值：，其中.【答案】，-2；【解析】解:原式= = ,当时，原式=.例题8 如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）扩大到原来的3倍； 扩大到原来的9倍；缩小到原来的； 不变【答案】A.【解析】将3x, 3y分别代入分式中的x, y得，因此扩大到原来的3倍，故选A.在代入变化后的数据之后无需计算，只需通过简单的式子变形，将其变为与原式相似的形式即可.例题9化简：＝.【答案】；【解析】原式＝. 分式的化简应先将分子分母分别进行因式分解再约去相同的因式，约分的依据就是分式的基本性质.例题10⑴下列式子中，正确的是（ ）A. B. C. D. ⑵若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？① ② ③④⑶不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数： ． ⑴ D； ⑵①，不发生变化；②，是原来的倍；③，是原来的倍；④，是原来的倍； ⑶；； .例题11⑴ 约分： ⑵ 求下列各组分式的最简公分母：①与；②，与⑶通分：①；②，，；③，，⑷ 下列分式为最简分式的是（ ）A． B． C． D． ⑴ ，， ，；⑵ ①；②⑶①，，②先分解因式，而后找公分母为，，； ③，.易错点：在通分的时候，分子的位置忘了同时乘.⑷ D.考点三：分式的基本运算例题12计算：______．【答案】；【解析】解：, 故答案为：.例题13 计算：＝　 　．【答案】；【解析】解：原式＝==.考点四：整数指数幂及运算例题14将分式表示成不含有分母的形式：_________________.【答案】;【解析】解：,故答案为：.例题15PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5μm0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将 0.0000025 用科学记数法表示为_______________．【答案】;【解析】解：由题意得：；故答案为：.例题16⑴ 用科学计数法表示下列各数：⑵ 计算： ① ② ⑶下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. ⑴ ⑵ ① ② ⑶ D例题17计算：⑴⑵ ⑶⑷⑸ ⑹⑴ ； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸1； ⑹.【探究对象】分式运算的几种技巧【探究目的】在基本运算的基础上进行运算技巧的拓展，使学生更深入地掌握本讲内容【变式一】先约分后通分技巧计算【分析】两个分式均能约分，故先约分后再计算【解析】原式【变式二】分离整数技巧计算【分析】两个分式的分子、分母不能约分，分离整数方法可使计算化简【解析】原式=【点评】分离整数这种方法是复杂分式运算必考察，秋季讲义仍有专项练习，希望教师在暑假能有所铺垫【变式三】裂项相消技巧计算【分析】此类题可利用裂项相消计算【解析】原式【变式四】分组计算技巧计算【分析】通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为，第二项、第三项分母乘积为，采取分组计算比较简捷【解析】原式【变式五】变形技巧已知，求的值【分析】将已知两边同除以可变出，然后利用完全平方公式的逆用可求出的值【解析】由，两边同除以，得，即∴已知三个数x、y、z满足＝，＝，＝．则的值为　　　　　.由＝，得＝，裂项得＋＝．同理＋＝，＋＝．所以，＋＋＋＋＋＝＋＝，＋＋＝．于是＝＋＋＝，所以＝．【点评】此题取材于八年级数学教师用书分式全章后的拓展资源，具有一定的难度，属于技能考查．学生要想顺利解答此题，必须熟练掌握分式中的反比、裂项这两种变形技巧．【教师备选】全国中考分式运算八例1.计算代数式的值，其中，，．【解析】原式=当，，时，原式=3【点评】本题考查考生对于同分母分式的减法，提公因式并约分的应用，形式简洁，而又能考查多个知识点，注意化为最简后再代数。2.化简求值：，其中：【分析】如果用先算括号中的异分母的分式相加减，所得结果再与后项约分略显麻烦【解析】利用乘法分配率：原式当时，原式=1注意括号的添加：3.计算：【解析】原式.4.计算：．【解析】原式5.化简分式，并从中选一个你认为合适的整数x代入求值．【解析】原式由于当x=或x=1或x=0时，分式的分母为0，故取x的值时，不可取x=或x=1或x=0，若取x=2，此时原式．6.先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．【解析】原式∵，且为整数，∴若使分式有意义，只能取和1.若取=1时，原式=.7.已知：，，求的值． 【解析】原式当，时，原式8.已知：，求的值。【解析】原式【点评】本题考查了分式的化简求值，注意也可用两头向中间凑的方式求代数式的值。思维拓展训练(选讲) 当取何值时，下列分式有意义：⑴； ⑵ ； ⑶.⑴ ； ⑵x取任意实数； ⑶且.计算：⑴； ⑵；⑶；⑴ 原式 ； ⑵ 方法：直接通分或拆分. 原式；⑶方法：分步通分. 原式.已知为实数，且，设请比较与的大小 .由通分计算：，则由 可得∴ 计算知识模块一 分式的基本概念 课后演练⑴已知分式的值为零，那么的值是,⑵当,分式的值为正数 .⑴； ⑵.知识模块二 分式的基本性质 课后演练若成立，则的值为．.约分：⑴；⑵；⑶.⑴⑵⑶ 知识模块三 分式的基本运算 课后演练计算：． 原式=.计算： 原式=.课后测⑴当x_______时，分式有意义，当x_______时，分式无意义．⑵当x__________时，分式的值为零．⑶当x__________时，分式的值为正．⑷分式的值为零，则a____，． ⑴ ⑵⑶ ⑷.计算下列各式⑴；⑵；⑶；⑷；⑴；⑵； ⑶；⑷.计算⑴； ⑵；⑶； ⑷；⑴ ； ⑵ ； ⑶0 ； ⑷.定义示例剖析分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且．例如分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即．使有意义的条件是分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．即当且时，．使值为0的x值为1定义示例剖析分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.分式的乘法分式的除法分式的乘方同分母分式相加减异分母分式相加减0指数幂负整数指数幂（，为正整数）