2024年浙江省丽水市中考数学模拟预测题（含解析）

这是一份2024年浙江省丽水市中考数学模拟预测题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约人次，将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是( )
A．8，9B．8，8.5C．16，8.5D．16，14
5．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是( )
A．20°B．22°C．28°D．38°
7．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A．B．C．D．
9．四个边长为5的大正方形按如图方式摆放，在中间形成一个边长为3的小正方形，则正方形ABCD的面积为( )
A．16B．29C．34D．39
10．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CDD．MN=3CD
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
12．一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
13．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．

14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
16．如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．

（1）若，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）

20．某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
21．2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
22．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
23．已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1)当时，求和的值；
(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3)求证：．
24．如图，在中，为直角，点O在上，以为半径的圆与相切于点E，与相交于点D，已知，，点P，Q分别在上（不与端点重合），且满足．设，．

(1)求圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点Q作于点R，连结．
①当为直角三角形时，求x的值．
②把线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，当落在圆O上时，直接写出的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得到答案．
【解答】13000000=
故选：B．
4．A
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）分别求出众数和中位数即可得．
【解答】解：∵睡眠8小时出现的次数最多，为16次，
∴众数是8，
∵被调查的学生人数为3+16+14+7=40（人），
∴总共有40个数据，
将这些数据按从小到大进行排序后，
第20个数和第21个数据分别为9，9，
则中位数是9，
故选：A．
【点拨】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．
5．A
【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而在数轴上表示即可．
【解答】解：
解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤2，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示解集为：
．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了解一元一次不等式组，正确解不等式是解题关键．
6．B
【分析】过C作CD∥直线m，根据平行线的性质即可求出∠2的度数．
【解答】解：过C作CD∥直线m，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：依题意，，根据物距为，像距为，得，即可作答．
【解答】解：如图：
依题意，
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故选：A
8．D
【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解．
【解答】解：由反比例函数解析式可知：，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，，在反比例函数图象上，
∴，
故选D．
【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．B
【分析】由正方形的性质得出AF＝BE＝DG＝5，EF＝GF＝EH＝3，∠AFD＝90°，得出DF＝DG﹣GF＝2，由勾股定理得出AD2＝AF2+DF2＝52+22＝29，即可得出答案.
【解答】解：如图所示：
由正方形的性质得：AF＝BE＝DG＝5，EF＝GF＝EH＝3，∠AFD＝90°，
∴DF＝DG﹣GF＝5﹣3＝2，
∴AD2＝AF2+DF2＝52+22＝29，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝29；
故选B.
【点拨】利用正方形的性质和勾股定理求出AD的边长是本题的解题关键.
10．D
【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【解答】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选D．
【点拨】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
11．
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
12．6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【解答】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
【点拨】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键．
13．4
【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．
【解答】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
14．##
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【解答】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
【点拨】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键．
15．
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．
16．
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解．
【解答】解：（1） ，图1阴影部分的面积是，
故答案为：．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为，
∴，，即
∴（负值舍去）
∵，．
解得：
∵①
∴，
∴，
∴②
联立①②解得：（为负数舍去）或
∴，
图2阴影部分的面积是
故答案为：．
【点拨】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
17．2
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：


．
【点拨】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【解答】解：
．
当时，
原式．
【点拨】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
19．
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【解答】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．
20．(1)50，72
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；
（2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【解答】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
（2）解：由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：乒乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
【点拨】本题考查用样本估计总体、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键．
21．(1)甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
(2)乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【分析】（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可；
（2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解．
【解答】（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
【点拨】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式及一次函数的应用，根据实际意义找出所含的等量关系，并正确列出分式方程及一次函数是解题的关键．
22．（1）；（2）；理由见解析；（3）4．
【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：连接、，如图所示:
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
【点拨】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答；
（2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答；
（3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论．
【解答】（1）解：当时，图像过点和，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）解：∵函数图像过点和，
∴函数图像的对称轴为直线．
∵图像过点，
∴根据图像的对称性得．
∵，
∴．
（3）解：∵图像过点和，
∴根据图像的对称性得．
∴，顶点坐标为．
将点和分别代人表达式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
24．(1)3
(2)
(3)①或；②
【分析】（1）如图：连接，由勾股定理可得，再证可得进而得到关于的方程求解即可；
（2）由圆的性质可得，即，则；然后再根据列式化简即可；
（3）①分、、三种情况，分别利用矩形的性质、解直角三角形明确线段之间的关系，然后列方程求解即可；②先说明P和重合，然后再求得、，再证可得，据此列方程可得，然后再求得，最后代入计算即可．
【解答】（1）解：如图：连接
∵为直角，、
∴

∵以为半径的圆与相切于点E
∴,
∴,
∴，
∴,即，解得：，
∴圆O的半径为3．
（2）解：∵圆O的半径为3 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
（3）解：①由题意易得：，
当时，
∵,
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，解得：；

当时，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
过Q作，
∴，
∴，即，解得：．

综上x的值为或．
②由①可得：,，
∴，
∴，
∴， P和重合，
∴,，
∵,，
∴，解得：,即，
∵落在圆O上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,即,解得：或2（不满足题意舍弃），
∴,，
∴．

【点拨】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角函数等知识点，运用三角函数表示出各线段的长并掌握分类讨论思想是解答本题的关键．