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河北省保定市高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题
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这是一份河北省保定市高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了已知集合，则-1与集合的关系为，已知命题，都有，则，已知复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答.
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.已知集合，则-1与集合的关系为（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题，都有，则（ ）
A.，都有
B.：，都有
C.，都有
D.，都有
3.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
5.若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，正三棱柱的各棱长相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.0
7.数据的平均数为，标准差为，则数据，的方差和平均数分别为（ ）
A.12，14 B.14，36 C.36，14 D.18，12
8.如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10.下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
B.若相关系数的绝对值越接近于1，则相关性越强.
C.若相关指数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好.
D.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高
11.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
12.直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则直线平面
B.若，则直线平面
C.若，则直线与平面所成角的大小为
D.若，则平面所成锐角的大小为
第II卷（本卷包括填空题和解答题两部分，共90分）
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有__________种.（用数字作答）
14.不等式的解集用区间表示为__________.
15.已知向量是单位向量，，且满足，则__________.
16.的展开式中，含项的系数为__________.
四､解答题（本题共有六道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下，有多少种站法？
（1）女生不站在两端；
（2）女生相邻；
（3）女生不相邻.
18.（本题满分12分）甲､乙两人在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如下：
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别计算以上两组数据的方差；
（3）根据计算结果，对甲乙两人的射击成绩作出评价.
19.（本题满分12分）在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面的问题.
已知，若的展开式中，__________.
（1）求的值；
（2）求的系数；
（3）求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
20.（本题满分12分）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数）
附：经验回归方程，其中，
样本相关系数
参考数据：.
21.（本题满分12分）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛.为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范.已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望.
附：
22.（本题满分12分）
如图，平面平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
2023-2024学年第二学期3月月考高三数学试题
参考答案
1.A（考查一元二次方程的解法及元素与几何的关系）
【详解】当时，，所以，
故选：A
2.C（考查全称量词命题的否定）
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，注意到是否定结论，不是否定条件，所以选项正确.故选：C
3.C（复数的运算）
【详解】由解得，所以.
故选：C.
4.B（投影向量的概念）
【详解】由已知可得，，所以，向量在向量上的投影向量是.故选：B.
5.C（考查含参不等式的解法）
【详解】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不合题意；
当时，不等式解集为，显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；故实数的取值范围为.
故选：C.
6.D（考查线面垂直的判定定理及性质）
【详解】取中点，因为，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在正方形中，分别为的中点，
设可得，
可得，所以
所以，即，
因为且平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以异面直线与所成的角为.
故选：D.
7.C（考查两组有线性关系的数的平均数和方差的性质）
【详解】由题意的平均数，方差为，
则的平均数为，
方差为，
故选：C
8.A（考查二面角大小的求法）
-【详解】设的中点为，连接，过点作，垂足为，
因为均为等边三角形，故，
故为二面角的平面角；
又平面，故平面，
而平面，故，
又平面，
故平面，则点到平面的距离为，
又为等边三角形，边长为2，故，
故在Rt中，，则，即，
故二面角的大小为，
故选：A
9.BC（考查向量基底的判定）
【详解】对于选项A：因为，所以三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项：因为，所以三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故D错误；
因为是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故正确；
对于选项C：设，则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，所以不共面，可以作为基底向量，故正确；故选：BC.
10.ABD（考查经验回归直线､相关系数､决定系数､数据模型与残差的关系）
【详解】解：对于A，由最小二乘法求回归方程的过程可知回归直线一定经过样本点的中心，所以正确；
对于B，相关系数的绝对值越接近于1，则相关性越强，所以正确；
对于，根据相关概念，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，越接近于0，表示效果越差，错误；
对于D，由残差图的特征可知，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，所以正确.
故选：ABD.
11.ABD（考查连输大小的比较以及不等式的性质）
【详解】对，当或或，则；当或，则，即对；
对B，C，，B对错；
对对；
故选：ABD
12.BCD（考查直线的方向向量与平面法向量之间的关系以及平面的法向量的夹角与平面夹角的关系）
【详解】对于A：若，则直线平面或在平面内，故选项不正确；
对于B：若，则也是平面的一个法向量，所以直线平面；故选项正确；对于：直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若，则直线与平面所成角的大小为，故选项C正确；
对于D：若，则平面夹角的大小为，故选项正确，故选：BCD.
13.9（排列组合的应用）
【详解】分为两类：两名老队员，一名新队员时，有3种选法；两名新队员､一名老队员时，有（种）选法，即共有9种不同选法.故答案为：9
14.（本题主要考查分式不等式的解法）
【详解】因为可化为，即，
即，即；所以有
或，
解得：或或；即原不等式的解集为：故答案为
15.3（考查两向量垂直的充要条件及向量模的运算）
【详解】因为向量是单位向量，，可知，因为，则，化简可得，
所以.
故答案为：3.
16.-640
【详解】的展开式中，含项的系数
.
故答案为：-640.
17.（1）2400；（2）1440；（3）3600.（考查排列组合的应用）
【详解】（1）先考虑两端站的人，再考虑其他位置，满足条件的站法有（种）.
（2）将2名女生捆绑，当作一个对象，与其他对象一起全排列，可得满足条件的站法有（种）.
（3）分两步：第一步，先排男生，有种站法，
第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空（包括两端）中，有种站法，由分步乘法计数原理知，满足条件的站法有（种）.
18.【详解】（1）甲的平均数，乙的平均数.
（2）甲的方差为，乙的方差为.
（3）由（1）知：，由（2）知：，所以甲乙平均成绩一样，但乙的成绩比甲稳定.
19.（1）；（2）；（3）.
（考查二项式定理的应用）
【详解】①选择条件①，只有第项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即，所以.
选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以.
选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得，
所以.
（2）由（1）知，的展开式中项为：，
所以.
（3）由（1）知，的展开式中，当时，，
当时，，
所以.
20.（1）0.96
（2）万元
（考查相关系数及经验回归方程的求法）
【详解】（1）
，所以.
（2）由题意，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
21.（考查独立性检验及随机变量的分布列）
【详解】（1）依题意，列联表如下：
零假设：该校学生喜欢篮球与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.
（2）依题意，的可能值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
22.（1）见解析 （2）
【详解】（1）证明：
由题知，平面平面，
所以平面，
因为平面平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面
所以.
（2）根据题意，建立以为原点，
分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，
因为平面平面，
，
所以，
所以，
设为平面的法向量，
所以，即，令，可得，设直线与平面所
成角为.所以，
所以
所以直线与平面所成角的余弦值为.甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号
1
2
3
4
5
6
销售金额/万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
0
1
2
3
说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答.
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.已知集合，则-1与集合的关系为（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题，都有，则（ ）
A.，都有
B.：，都有
C.，都有
D.，都有
3.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
5.若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，正三棱柱的各棱长相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.0
7.数据的平均数为，标准差为，则数据，的方差和平均数分别为（ ）
A.12，14 B.14，36 C.36，14 D.18，12
8.如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10.下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
B.若相关系数的绝对值越接近于1，则相关性越强.
C.若相关指数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好.
D.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高
11.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
12.直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则直线平面
B.若，则直线平面
C.若，则直线与平面所成角的大小为
D.若，则平面所成锐角的大小为
第II卷（本卷包括填空题和解答题两部分，共90分）
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有__________种.（用数字作答）
14.不等式的解集用区间表示为__________.
15.已知向量是单位向量，，且满足，则__________.
16.的展开式中，含项的系数为__________.
四､解答题（本题共有六道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下，有多少种站法？
（1）女生不站在两端；
（2）女生相邻；
（3）女生不相邻.
18.（本题满分12分）甲､乙两人在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如下：
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别计算以上两组数据的方差；
（3）根据计算结果，对甲乙两人的射击成绩作出评价.
19.（本题满分12分）在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面的问题.
已知，若的展开式中，__________.
（1）求的值；
（2）求的系数；
（3）求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
20.（本题满分12分）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数）
附：经验回归方程，其中，
样本相关系数
参考数据：.
21.（本题满分12分）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛.为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范.已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望.
附：
22.（本题满分12分）
如图，平面平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
2023-2024学年第二学期3月月考高三数学试题
参考答案
1.A（考查一元二次方程的解法及元素与几何的关系）
【详解】当时，，所以，
故选：A
2.C（考查全称量词命题的否定）
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，注意到是否定结论，不是否定条件，所以选项正确.故选：C
3.C（复数的运算）
【详解】由解得，所以.
故选：C.
4.B（投影向量的概念）
【详解】由已知可得，，所以，向量在向量上的投影向量是.故选：B.
5.C（考查含参不等式的解法）
【详解】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不合题意；
当时，不等式解集为，显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；故实数的取值范围为.
故选：C.
6.D（考查线面垂直的判定定理及性质）
【详解】取中点，因为，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在正方形中，分别为的中点，
设可得，
可得，所以
所以，即，
因为且平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以异面直线与所成的角为.
故选：D.
7.C（考查两组有线性关系的数的平均数和方差的性质）
【详解】由题意的平均数，方差为，
则的平均数为，
方差为，
故选：C
8.A（考查二面角大小的求法）
-【详解】设的中点为，连接，过点作，垂足为，
因为均为等边三角形，故，
故为二面角的平面角；
又平面，故平面，
而平面，故，
又平面，
故平面，则点到平面的距离为，
又为等边三角形，边长为2，故，
故在Rt中，，则，即，
故二面角的大小为，
故选：A
9.BC（考查向量基底的判定）
【详解】对于选项A：因为，所以三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项：因为，所以三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故D错误；
因为是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故正确；
对于选项C：设，则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，所以不共面，可以作为基底向量，故正确；故选：BC.
10.ABD（考查经验回归直线､相关系数､决定系数､数据模型与残差的关系）
【详解】解：对于A，由最小二乘法求回归方程的过程可知回归直线一定经过样本点的中心，所以正确；
对于B，相关系数的绝对值越接近于1，则相关性越强，所以正确；
对于，根据相关概念，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，越接近于0，表示效果越差，错误；
对于D，由残差图的特征可知，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，所以正确.
故选：ABD.
11.ABD（考查连输大小的比较以及不等式的性质）
【详解】对，当或或，则；当或，则，即对；
对B，C，，B对错；
对对；
故选：ABD
12.BCD（考查直线的方向向量与平面法向量之间的关系以及平面的法向量的夹角与平面夹角的关系）
【详解】对于A：若，则直线平面或在平面内，故选项不正确；
对于B：若，则也是平面的一个法向量，所以直线平面；故选项正确；对于：直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若，则直线与平面所成角的大小为，故选项C正确；
对于D：若，则平面夹角的大小为，故选项正确，故选：BCD.
13.9（排列组合的应用）
【详解】分为两类：两名老队员，一名新队员时，有3种选法；两名新队员､一名老队员时，有（种）选法，即共有9种不同选法.故答案为：9
14.（本题主要考查分式不等式的解法）
【详解】因为可化为，即，
即，即；所以有
或，
解得：或或；即原不等式的解集为：故答案为
15.3（考查两向量垂直的充要条件及向量模的运算）
【详解】因为向量是单位向量，，可知，因为，则，化简可得，
所以.
故答案为：3.
16.-640
【详解】的展开式中，含项的系数
.
故答案为：-640.
17.（1）2400；（2）1440；（3）3600.（考查排列组合的应用）
【详解】（1）先考虑两端站的人，再考虑其他位置，满足条件的站法有（种）.
（2）将2名女生捆绑，当作一个对象，与其他对象一起全排列，可得满足条件的站法有（种）.
（3）分两步：第一步，先排男生，有种站法，
第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空（包括两端）中，有种站法，由分步乘法计数原理知，满足条件的站法有（种）.
18.【详解】（1）甲的平均数，乙的平均数.
（2）甲的方差为，乙的方差为.
（3）由（1）知：，由（2）知：，所以甲乙平均成绩一样，但乙的成绩比甲稳定.
19.（1）；（2）；（3）.
（考查二项式定理的应用）
【详解】①选择条件①，只有第项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即，所以.
选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以.
选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得，
所以.
（2）由（1）知，的展开式中项为：，
所以.
（3）由（1）知，的展开式中，当时，，
当时，，
所以.
20.（1）0.96
（2）万元
（考查相关系数及经验回归方程的求法）
【详解】（1）
，所以.
（2）由题意，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
21.（考查独立性检验及随机变量的分布列）
【详解】（1）依题意，列联表如下：
零假设：该校学生喜欢篮球与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.
（2）依题意，的可能值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
22.（1）见解析 （2）
【详解】（1）证明：
由题知，平面平面，
所以平面，
因为平面平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面
所以.
（2）根据题意，建立以为原点，
分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，
因为平面平面，
，
所以，
所以，
设为平面的法向量，
所以，即，令，可得，设直线与平面所
成角为.所以，
所以
所以直线与平面所成角的余弦值为.甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号
1
2
3
4
5
6
销售金额/万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
0
1
2
3
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