2024届河北省高碑店市崇德实验中学高三上学期9月月考数学试题含解析

这是一份2024届河北省高碑店市崇德实验中学高三上学期9月月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．等比数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】利用等比中项直接计算即可.
【详解】因为数列是等比数列，
所以即，解得，
故选：C
2．在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）
A．18B．27C．36D．45
【答案】D
【解析】根据等差数列的性质求得，再根据等差数列前项和公式求得.
【详解】在等差数列中，，所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.
3．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】利用等差中项与等比中项的性质求出，从而可得答案.
【详解】因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数，
所以，
所以的值为，
故选：D.
4．已知数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项B．第3项、第4项C．第4项D．第2项、第3项
【答案】D
【分析】根据题意，可知数列的通项公式，根据二次函数的性质可知，当或3时，取得最小值，从而得出答案.
【详解】解：由题可知，，
由于，所以当或3时，取得最小值，
所以数列的最小项是第2项、第3项.
故选：D.
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由空间中线线，线面，面面间的位置关系判断即可.
【详解】A：，，则无法判断n与的位置关系，A为假命题；
B：，，则无法判断n与的位置关系，B为假命题；
C：，，则m∥n或m与n是异面直线，C为假命题；
D：，，则n⊥β，D为真命题.
故选：D.
6．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质可得，进而可求解.
【详解】由得，所以，
故选：A
7．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ）

A．B．直线与平面所成角为
C．平面D．异面直线与所成角为
【答案】D
【分析】连接，由中位线性质知，由线面平行的判定知C正确；根据线面垂直性质知，由知A正确；根据和平面知直线与平面所成角为，可知B正确；根据知与所成角为，可知D错误.
【详解】连接，则，
四边形为正方形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面，C正确；
平面，平面，，
又，，A正确；
平面，，与平面所成角即为，
，与平面所成角为，B正确；
，与所成角即为，
，与所成角为，D错误.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的线线关系、线面关系的判定，异面直线所成角和直线与平面所成角的求解问题；求解角度的关键是能够通过平行关系将进行平移，将问题转化为与有关的角度问题的求解.
8．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.
【详解】
如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，
，，
设上底面面积为，下底面面积为，
则体积为.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体，正三棱锥是正四面体
B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C．平行的线段在直观图中仍然平行
D．圆心和圆上两点可确定一个平面
【答案】BC
【分析】根据棱锥分类、平行六面体的定义、直观图的特征和平面的确定方法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，正四面体是各棱长均相等的三棱锥，是正三棱锥的一种，A错误；
对于B，平行六面体两个相对的面为全等的平行四边形，B正确；
对于C，平行的线段在直观图中的位置关系不变，仍然平行，C正确；
对于D，若圆心和圆上两点共线，此时过三点的平面有无数个，D错误.
故选：BC.
10．为数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．是等差数列
C．是等比数列D．
【答案】ACD
【解析】令可判断A；利用可得，可判断BC；求出，得到的值，可判断D.
【详解】当时，，，A正确；
因为，
，
所以，
化为
所以数列是等比数列，首项，公比 ，故B错、C对；
等比数列的通项公式为：，
，故D对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.
11．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则，是异面直线
D．若，，，则或，是异面直线
【答案】AD
【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；举例说明判断B，C；利用面面平行的定义判断D作答.
【详解】对于A，因，，由线面垂直的性质得，A正确；
对于B，当时，存在过直线m的平面，有，此时必有，即满足，，而，B不正确；
对于C，因，是两个不同的平面，则存在平面，有，即满足，，而直线m，n共面，C不正确；
对于D，因，则，没有公共点，而，，因此直线m，n没有公共点，即或m，n是异面直线，D正确.
故选：AD
12．三棱锥P−ABC的各顶点都在同一球面上，底面ABC，若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形B．此球的表面积等于
C．平面PACD．三棱锥A−PBC的体积为
【答案】BC
【分析】根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断A，找到外接球的球心求出半径即可判断B，根据线面垂直判定定理可判断C，根据锥体的体积计算公式可判断D.
【详解】如图，
在底面三角形ABC中，由，，，
利用余弦定理可得：，
∴，即，
由于底面ABC，∴，，
∵，∴平面PAC，故C正确；
∴，
由于，即为锐角，
∴是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误；
取D为AB中点，则D为的外心，可得三角形外接圆的半径为1，
设三棱锥的外接球的球心为O，连接OP，则，
即三棱锥的外接球的半径为，
∴三棱锥球的外接球的表面积等于，故B正确；
，故D错误；
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，锥体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等等，属于中档题.
三、填空题
13．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝ .
【答案】
【分析】根据递推式赋值，分别令，即可求出．
【详解】因为a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1－＝，
a4＝1＋＝3，所以a5＝1－＝.
故答案为：．
14．已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 .
【答案】.
【分析】根据条件，列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】成等比数列，，
即，
化简得,
由得，
联立得，故.
故答案为：
15．等比数列的前项和为，若，则实数 .
【答案】1
【分析】利用公式求数列通项，可解得实数，验证数列满足等比数列即可.
【详解】，则，
当时，，
依题意时也应该满足，有，解得，
则，满足为等比数列，所以.
故答案为：1
16．已知数列{an}满足a1＝15，(n∈N*)，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用累加法求得，结合数列的单调性求得的最小值.
【详解】由得，当时，，
，
当时，上式也符合.
.
当依次取时，的值递减；当时递增，
且，所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；
(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.
【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
综上，
18．数列满足，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和，并证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.
【分析】（1）根据递推公式，得到，即可证明结论成立；
（2）根据（1）的结论，先求出，再由等差数列的求和公式，得到，根据放缩法，化，再由裂项求和，即可得出结论成立.
【详解】（1）证明：∵，
∴，化简得，
即，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
所以，．
因此
．
【点睛】本题主要考查证明数列是等差数列，考查裂项相消的方法求数列的和，属于常考题型.
19．如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
(1)求证：平面EAC；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)连接交于，连接，由中位线得EO∥PB；
(2)过P作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABCD，故.
【详解】（1）连接交于，连接，
∵、分别为、的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴∥平面；
（2）
过P作PF⊥AD于F，
∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD，
∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD，
∴PF⊥平面ABCD，
故.
20．已知等差数列．请你在①，②中选择一个求解．
①若，；②若，前3项和．
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，根据等差数列的定义，列出方程求出即可.若选②，由，即可得，从而得到公差，从而得到通项公式,.
（2）由（1）中结论，得到通项公式，列出其前项和式子，用错位相减法即可得到结果.
【详解】（1）选择①，设数列的公差为d，
因为等差数列满足，，
得，解得所以；
选择②，设数列的公差为d，
因为等差数列满足，，
得，，得，得，所以；
（2）由（1）可得，
所以，
，
两式相减得：，
，
化简得
21．在数列中，，，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由递推关系得，结合已知及等比数列定义即可证结论.
（2）由（1）得，当n为奇数，应用累加法求，当n为偶数，结合求，即可确定的通项公式.
【详解】（1）由得：，且，
则，又，
所以数列是首项为3，公比为4的等比数列.
（2）由（1）知：，又，则，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，·
综上，·
22．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）运用线面平行的判定定理可证得平面，平面，进而证得平面平面，结合面面平行的性质可证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，运用线面角的坐标公式计算即可.
【详解】（1）如图，取中点，连接，，
因为为中点，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
又因为，、平面，所以平面平面，
又平面，故平面.
（2）
根据题意，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.