高考数学模拟仿真测试卷 （含答案）

这是一份高考数学模拟仿真测试卷 （含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·南平质检)设集合A＝{x|x2－40)的准线与圆M：(x＋1)2＋y2＝1相切于点A，直线AB与抛物线C切于点B，点N在圆M上，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的取值范围为( )
A．[0,8] B．[2－2eq \r(5)，2＋2eq \r(5)]
C．[4－4eq \r(2)，4＋4eq \r(2)] D．[4eq \r(2)－4,4eq \r(2)＋4]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)
9．(2023·张家口模拟)一组互不相等的样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，极差为m，中位数为n，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为eq \x\t(x′)，方差为s′2，极差为m′，中位数为n′，则下列选项一定正确的有( )
A．n＝n′ B.eq \x\t(x)＝eq \x\t(x′)
C．s2>s′2 D．m>m′
10．已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0f(0)＝1，即f(x)>sin x；
当x＝0时，sin 0＝0，
所以f(0)>sin 0，满足f(x)>sin x；
当－20，所以f(x)>sin x，
综上可得，对于∀x∈(－2，＋∞)，都有f(x)>sin x.
21．(12分)抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州旅游参观的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为eq \f(2,3)，且游客之间的选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与均值；
(2)若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为Am，求数列{Am}的前6项和；
(3)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．
解 (1)X的所有可能取值为3,4,5,6，
P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(1,27)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(6,27)，
P(X＝5)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(12,27)，
P(X＝6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
故X的分布列为
E(X)＝3×eq \f(1,27)＋4×eq \f(6,27)＋5×eq \f(12,27)＋6×eq \f(8,27)＝5.
(2)总分恰为m的概率Am＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))m，
故S6＝eq \f(\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,36))),1－\f(1,3))＝eq \f(364,729).
(3)已调查过的累计得分恰为n 分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得n－1分，再得2分，概率为eq \f(2,3)Bn－1，而B1＝eq \f(1,3)，
故1－Bn＝eq \f(2,3)Bn－1，
即Bn＝－eq \f(2,3)Bn－1＋1，
可得Bn－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Bn－1－\f(3,5)))，
又B1－eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Bn－\f(3,5)))是以－eq \f(4,15)为首项，－eq \f(2,3)为公比的等比数列，
所以Bn－eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1，
可得Bn＝eq \f(3,5)＋eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n.
22．(12分)(2023·烟台模拟)在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线C：x2＝y上两点(异于点O)，过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线OQ与l的斜率乘积为－2.
(1)求证：直线PQ过定点，并求此定点D的坐标；
(2)过M作l的垂线交椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1于A，B两点，过D作l的平行线交直线AB于H，记△OPQ的面积为S，△ABD的面积为T.
①当eq \f(T,S2)取最大值时，求点P的纵坐标；
②证明：存在定点G，使|GH|为定值．
(1)证明 设P(x1，xeq \\al(2,1))，Q(x2，xeq \\al(2,2))，因为y′＝2x，所以l斜率kl＝2x1，
所以直线OQ斜率kOQ＝－eq \f(1,x1)，
即eq \f(x\\al(2,2)－0,x2－0)＝x2＝－eq \f(1,x1)，
所以kPQ＝eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),x1－x2)＝x1＋x2＝x1－eq \f(1,x1)，
所以PQ的方程为y－xeq \\al(2,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1)))(x－x1)，即y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1)))x＋1，
所以直线PQ过定点D(0,1)．
(2)①解 S＝eq \f(1,2)|OD||x1－x2|＝eq \f(1,2)|OD|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))，
l的方程为y－xeq \\al(2,1)＝2x1(x－x1)，令y＝0，得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)，0))，
所以直线AB的方程为y＝－eq \f(1,2x1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x1,2)))，
即y＝－eq \f(x,2x1)＋eq \f(1,4)，
所以直线AB过定点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))).
将y＝－eq \f(x,2x1)＋eq \f(1,4)与eq \f(x2,4)＋y2＝1联立，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x\\al(2,1))))x2－eq \f(x,x1)－eq \f(15,4)＝0.
显然Δ>0，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，
则x3＋x4＝eq \f(x1,x\\al(2,1)＋1)，x3x4＝－eq \f(15x\\al(2,1),4x\\al(2,1)＋1).
所以|x3－x4|＝eq \r(x3＋x42－4x3x4)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x\\al(2,1)＋1)))2＋\f(15x\\al(2,1),x\\al(2,1)＋1))＝eq \f(\r(15x\\al(4,1)＋16x\\al(2,1)),x\\al(2,1)＋1)，
T＝eq \f(1,2)|ND|·|x3－x4|＝eq \f(3\r(15x\\al(4,1)＋16x\\al(2,1)),8x\\al(2,1)＋1)，
所以eq \f(T,S2)＝eq \f(\f(1,2)×\f(3\r(15x\\al(4,1)＋16x\\al(2,1)),4x\\al(2,1)＋1),\f(1,4)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))2)
＝eq \f(3\r(15x\\al(8,1)＋16x\\al(6,1)),2x\\al(2,1)＋13)，
令t＝xeq \\al(2,1)，则t>0，eq \f(T,S2)＝eq \f(3\r(15t4＋16t3),2t＋13)＝eq \f(3,2)eq \r(\f(15t4＋16t3,t＋16))，
设f(t)＝eq \f(15t4＋16t3,t＋16)，t>0，
则f′(t)＝eq \f(－6t25t2－2t－8,t＋17).
令f′(t)＝0，得t＝eq \f(1＋\r(41),5)(负根舍去)，
当t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1＋\r(41),5)))时，f′(t)>0，f(t)单调递增；
当t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(41),5)，＋∞))时，f′(t)