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高考数学模拟仿真测试卷 (含答案)
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这是一份高考数学模拟仿真测试卷 (含答案),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2023·潮州模拟)设复数z满足z(1+2i)=3+i(i是虚数单位),则在复平面内eq \x\t(z)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2023·沈阳模拟)已知集合U={x|1lg b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2023·晋中模拟)已知α,β为锐角,且tan α=2,sin(α+β)=eq \f(\r(2),2),则cs β等于( )
A.-eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(3\r(10),10)
C.-eq \f(\r(10),10) D.eq \f(\r(10),10)
5.(2023·马鞍山模拟)龙被视为中华古老文明的象征,大型龙类风筝放飞场面壮观,气势磅礴,因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤,“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中,风筝骨架可采用竹子制作,但竹子易断,还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架,但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列(即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列),则该“龙身”中竹质骨架个数为( )
A.161 B.162 C.163 D.164
6.(2023·葫芦岛模拟)设F1,F2是双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=3|OP|,则C的离心率为( )
A.eq \r(6) B.2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
7.(2023·青岛模拟)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·(a-b)=eq \f(1,2),(b-c)·(3b-c)=0,则|a-c|的最小值为( )
A.eq \r(3)-1 B.eq \r(3) C.2 D.1
8.(2023·长春模拟)已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,点M,N分别为线段AB′,AC上的动点,点T在平面BCC′B′内,则|MT|+|NT|的最小值是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(6),2) D.1
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)
9.(2023·蚌埠模拟)某校在开展的“体育节”活动中,为了解学生对“体育节”的满意程度,组织学生给活动打分(分数为整数,单位:分,满分100分),发现分数均在[40,100]内.从中随机抽取一个容量为300的样本,并将这些数据分成6组作出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形(如图所示),则下列说法中正确的是( )
A.样本中分数落在[60,70)的频数为60
B.样本的众数为75
C.样本的平均数为73.5
D.样本的第80百分位数为85
10.(2023·济宁模拟)甲袋中有3个红球,3个白球和2个黑球;乙袋中有2个红球,2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,分别以A,B,C表示事件“取出的是红球”“取出的是白球”“取出的是黑球”;再从乙袋中随机取出一球,以D表示事件“取出的是白球”,则下列结论中正确的是( )
A.事件A,B,C是两两互斥的事件
B.事件A与事件D为相互独立事件
C.P(D|A)=eq \f(2,9)
D.P(D)=eq \f(19,72)
11.(2023·东北三省四市教研联合体模拟)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P为其上一动点.当P运动到点(2,t)时,|PF|=4,直线l与抛物线相交于A,B两点,点M(4,1).下列结论正确的是( )
A.抛物线的方程为y2=4x
B.|PM|+|PF|的最小值为6
C.以PF为直径的圆与y轴相切
D.若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,则直线AB过焦点F
12.(2023·无锡模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R.记g(x)=f′(x),若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(5,2)))为偶函数,geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)-x))为奇函数,则( )
A.f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=0
B.g(-2)=g(3)
C.geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=0
D.f(0)=f(5)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2023·汕头模拟)(x+2y)5(x-3y)的展开式中x3y3项的系数为________.(用数字作答)
14.(2023·银川一中模拟)已知直线l:kx-y-2k+2=0被圆C:x2+(y+1)2=16所截得的弦长为整数,则满足条件的直线l有________条.
15.(2023·潮州模拟)已知圆柱的侧面积为2π,其外接球的表面积为S,则S的最小值为______.
16.(2023·沈阳模拟)已知对任意的x∈(1,+∞),不等式k·(ekx+1)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)+1))ln x>0恒成立,则k的取值范围是________________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2023·重庆模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足sin(A-B)·tan C=sin Asin B.
(1)求eq \f(a2+c2,b2)的值;
(2)若cs B=eq \f(2,3),求sin A的值.
18.(12分)(2023·苏州质检)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a2=3,且a3,a5,a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=ancs eq \f(πan,2),求数列{bn}的前2 023项和.
19.(12分)(2023·厦门质检)筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形.如图,四边形ABCD为筝形,其对角线交点为O,AB=eq \r(2),BD=BC=2,将△ABD沿BD折到△A′BD的位置,形成三棱锥A′-BCD.
(1)求点B到平面A′OC的距离;
(2)当A′C=1时,在棱A′D上是否存在点P,使得直线BA′与平面POC所成角的正弦值为eq \f(1,4)?若存在,求eq \f(A′P,A′D)的值;若不存在,请说明理由.
20.(12分)(2023·长春模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2),四个顶点构成的四边形面积为2eq \r(2).
(1)求椭圆方程;
(2)若直线y=kx+m交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),且S△AOB=eq \f(\r(2),2),求证:xeq \\al(2,1)+xeq \\al(2,2)为定值.
21.(12分)某游戏棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始位于第0站,选手抛掷均匀硬币进行游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为Pn.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋子所走站数之和X的分布列与均值;
(2)证明:Pn+1-Pn=-eq \f(1,2)(Pn-Pn-1)(1≤n≤98);
(3)若最终棋子落在第99站,则记选手落败,若最终棋子落在第100站,则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
22.(12分)(2023·聊城模拟)已知函数f(x)=(m+1)x-mln x-m.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当m≤1,且x>1时,f(x)(a+1)3>(b+1)3,则0>a>b,由于对数的真数大于0,所以无法推出lg a>lg b,所以充分性不成立;
必要性证明:lg a>lg b⇒a>b>0,可得a+1>b+1⇒(a+1)3>(b+1)3,所以必要性成立.
4.(2023·晋中模拟)已知α,β为锐角,且tan α=2,sin(α+β)=eq \f(\r(2),2),则cs β等于( )
A.-eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(3\r(10),10) C.-eq \f(\r(10),10) D.eq \f(\r(10),10)
答案 D
解析 因为tan α=2,所以sin α=2cs α,
又sin2α+cs2α=1,α为锐角,
所以sin α=eq \f(2\r(5),5),cs α=eq \f(\r(5),5),且α>eq \f(π,4).
因为α,β为锐角,α>eq \f(π,4),所以eq \f(π,4)(x+1)ln x,
所以(ekx+1)ln ekx>(x+1)ln x,①
令f(x)=(x+1)ln x,则f′(x)=eq \f(1,x)+1+ln x,
设g(x)=f′(x)=eq \f(1,x)+1+ln x,
所以g′(x)=-eq \f(1,x2)+eq \f(1,x)=eq \f(x-1,x2),
当0f(x),
所以ekx>x,所以k>eq \f(ln x,x),
令h(x)=eq \f(ln x,x),则h′(x)=eq \f(1-ln x,x2),
当x∈(0,e)时,h′(x)>0,当x∈(e,+∞)时,h′(x)eq \f(1,e).
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2023·重庆模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足sin(A-B)tan C=sin Asin B.
(1)求eq \f(a2+c2,b2)的值;
(2)若cs B=eq \f(2,3),求sin A的值.
解 (1)因为sin(A-B)tan C=sin Asin B,
所以sin(A-B)eq \f(sin C,cs C)=sin Asin B,
所以sin(A-B)sin C=sin Asin Bcs C,
即sin Acs Bsin C-cs Asin Bsin C=sin Asin Bcs C,
由正弦定理可得accs B-bccs A=abcs C,
由余弦定理的推论可得ac·eq \f(a2+c2-b2,2ac)-bc·eq \f(b2+c2-a2,2bc)=ab·eq \f(a2+b2-c2,2ab),
所以a2+c2-b2-b2-c2+a2=a2+b2-c2,
即a2+c2=3b2,
所以eq \f(a2+c2,b2)=3.
(2)由题意可知cs B=eq \f(a2+c2-b2,2ac)=eq \f(2,3),
又a2+c2=3b2,可得a2+c2-2ac=0,
所以a=c,即△ABC为等腰三角形,
由cs B=2cs2eq \f(B,2)-1=eq \f(2,3),
解得cs eq \f(B,2)=eq \f(\r(30),6)或cs eq \f(B,2)=-eq \f(\r(30),6),
因为B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以eq \f(B,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4))),
所以cseq \f(B,2)=eq \f(\r(30),6),
所以sin A=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\f(B,2)))=cs eq \f(B,2)=eq \f(\r(30),6).
18.(12分)(2023·苏州质检)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a2=3,且a3,a5,a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=ancs eq \f(πan,2),求数列{bn}的前2 023项和.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1+d=3,,a\\al(2,5)=a3a8,))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1+d=3,,a1+4d2=a1+2da1+7d,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1=2,,d=1,))
所以an=n+1.
(2)由(1)可知,bn=ancs eq \f(πan,2)=(n+1)cs eq \f(n+1π,2),
对于任意k∈N*,有b4k-3=-4k+2,b4k-2=0,b4k-1=4k,b4k=0,
所以b4k-3+b4k-2+b4k-1+b4k=2,
故数列{bn}的前2 023项和为(b1+b2+b3+b4)+(b5+b6+b7+b8)+…+(b2 021+b2 022+b2 023+b2 024)-b2 024=506×2-0=1 012.
19.(12分)(2023·厦门质检)筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形.如图,四边形ABCD为筝形,其对角线交点为O,AB=eq \r(2),BD=BC=2,将△ABD沿BD折到△A′BD的位置,形成三棱锥A′-BCD.
(1)求点B到平面A′OC的距离;
(2)当A′C=1时,在棱A′D上是否存在点P,使得直线BA′与平面POC所成角的正弦值为eq \f(1,4)?若存在,求eq \f(A′P,A′D)的值;若不存在,请说明理由.
解 (1)因为AB=eq \r(2),BD=BC=2,
所以BD不可能为四边形ABCD的对称轴,则AC为四边形ABCD的对称轴,
所以AC垂直平分BD,所以A′O⊥BD,CO⊥BD.
且A′O⊂平面A′OC,CO⊂平面A′OC,A′O∩CO=O,
所以BD⊥平面A′OC.
所以点B到平面A′OC的距离d=eq \f(1,2)BD=1.
(2)存在点P,使得直线BA′与平面POC所成角的正弦值为eq \f(1,4).理由如下:
过O作OE⊥平面BCD,所以OD,OE,OC两两互相垂直.
以O为原点,OD,OC,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
由(1)得平面BCD⊥平面A′OC,因为OA′=1,OC=eq \r(3),A′C=1,
所以A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(\r(3),2),\f(1,2))),D(1,0,0),O(0,0,0),C(0,eq \r(3),0),B(-1,0,0).
设eq \(A′P,\s\up6(——→))=λeq \(A′D,\s\up6(——→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ,-\f(\r(3),2)λ,-\f(1,2)λ))(λ∈[0,1]),
则eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA′,\s\up6(—→))+eq \(A′P,\s\up6(——→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ,\f(\r(3),2)-\f(\r(3),2)λ,\f(1,2)-\f(1,2)λ)),
eq \(OC,\s\up6(→))=(0,eq \r(3),0),
设平面POC的法向量n=(x,y,z),
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(OC,\s\up6(→))=0,,n·\(OP,\s\up6(→))=0,))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=0,,λx+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)-\f(\r(3),2)λ))y+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(1,2)λ))z=0,))
令z=2λ,则x=λ-1,
所以平面POC的一个法向量n=(λ-1,0,2λ),
设直线BA′与平面POC所成角为θ,
eq \(BA′,\s\up6(—→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(3),2),\f(1,2))),
sin θ=|cs〈eq \(BA′,\s\up6(—→)),n〉|=eq \f(|\(BA′,\s\up6(—→))·n|,|\(BA′,\s\up6(—→))||n|)
=eq \f(|λ-1+λ|,\r(2)×\r(λ-12+4λ2))=eq \f(1,4).
解得λ=eq \f(1,3)或λ=eq \f(7,9),所以存在点P,使得直线BA′与平面POC所成角的正弦值为eq \f(1,4).
eq \f(A′P,A′D)的值为eq \f(1,3)或eq \f(7,9).
20.(12分)(2023·长春模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2),四个顶点构成的四边形面积为2eq \r(2).
(1)求椭圆方程;
(2)若直线y=kx+m交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),且S△AOB=eq \f(\r(2),2),求证:xeq \\al(2,1)+xeq \\al(2,2)为定值.
(1)解 由椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2),可设a=eq \r(2)t,c=t(t>0),则b=t.
四个顶点构成的四边形为菱形,其面积为S=eq \f(1,2)·2a·2b=eq \f(1,2)·2eq \r(2)t·2t=2eq \r(2)t2=2eq \r(2),
即t=1,所以椭圆的方程为eq \f(x2,2)+y2=1.
(2)证明 S△AOB=eq \f(1,2)|m||x1-x2|=eq \f(1,2)|m|eq \r(x1+x22-4x1x2),
联立直线y=kx+m与椭圆eq \f(x2,2)+y2=1,消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)=16k2-8m2+8>0,x1+x2=-eq \f(4km,1+2k2),x1x2=eq \f(2m2-2,1+2k2),
得S△AOB=eq \f(1,2)|m|·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4km,1+2k2)))2-4·\f(2m2-2,1+2k2))
=|m|·eq \f(\r(4k2-2m2+2),1+2k2)=eq \f(\r(2),2),
整理得2m2=2k2+1,
而xeq \\al(2,1)+xeq \\al(2,2)=(x1+x2)2-2x1x2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4km,1+2k2)))2-2·eq \f(2m2-2,1+2k2)=2,
所以xeq \\al(2,1)+xeq \\al(2,2)为定值.
21.(12分)某游戏棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始位于第0站,选手抛掷均匀硬币进行游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为Pn.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋子所走站数之和X的分布列与均值;
(2)证明:Pn+1-Pn=-eq \f(1,2)(Pn-Pn-1)(1≤n≤98);
(3)若最终棋子落在第99站,则记选手落败,若最终棋子落在第100站,则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
(1)解 由题意可知,随机变量X的可能取值为3,4,5,6,
P(X=3)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3=eq \f(1,8),
P(X=4)=Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3=eq \f(3,8),
P(X=5)=Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3=eq \f(3,8),
P(X=6)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3=eq \f(1,8).
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=3×eq \f(1,8)+4×eq \f(3,8)+5×eq \f(3,8)+6×eq \f(1,8)=eq \f(9,2).
(2)证明 依题意,当1≤n≤98时,棋子要到第(n+1)站,有两种情况:
由第n站跳1站得到,其概率为eq \f(1,2)Pn;
由第(n-1)站跳2站得到,其概率为eq \f(1,2)Pn-1.
所以Pn+1=eq \f(1,2)Pn+eq \f(1,2)Pn-1.
同时减去Pn得Pn+1-Pn=-eq \f(1,2)Pn+eq \f(1,2)Pn-1=-eq \f(1,2)(Pn-Pn-1)(1≤n≤98).
(3)解 依照(2)的分析,
棋子落到第99站的概率为P99=eq \f(1,2)P98+eq \f(1,2)P97,
由于若跳到第99站时,自动停止游戏,
故有P100=eq \f(1,2)P98.
所以P1001时,f(x)0,f(x)是(0,+∞)上的增函数;
②当m+10,令f′(x)eln x-mln x.
令g(x)=x-1-ln x,x>1,则g′(x)=1-eq \f(1,x)=eq \f(x-1,x)>0,
所以g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,g(x)>g(1)=0,
即当x>1时,x-1>ln x.
令h(x)=ex-mx,x>0,则h′(x)=ex-m>0在m≤1时恒成立,
所以当m≤1,且x>0时,h(x)单调递增,
因为当x>1时,x-1>0,ln x>0,且x-1>ln x,
所以当m≤1,且x>1时,h(x-1)>h(ln x),
即ex-1-m(x-1)>eln x-mln x.
所以当m≤1,且x>1时,f(x)
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