甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单选题（每题5分，共40分）
1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义可直接得到答案.
【详解】因为函数在处的导数为1，
根据导数的定义可知，
故选：A
2. 曲线在点处切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用导数的定义与几何意义可求得正确答案
【详解】设，
所以
.
因为，
所以曲线在点处的切线的方程为，即.
故选：C.
3. 已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的图象结合导数的几何意义可得答案.
【详解】由函数的图象可知， 函数在上为减函数，且，
所以.
故选：A
4. 已知倾斜角为的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】设点的横坐标为为，
，
由题意可得，解得（舍去），
即点的横坐标为.
故选：C.
5. 已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导函数的图像可知，当或时，，严格增，当时，，严格减，结合选项即可得出答案.
【详解】由图可知，当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
当时，，即上单调递增.
结合各选项，只有D符合要求.
故选：D
6. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出导函数，由得减区间．
【详解】函数定义域是，
由已知，由得，∴减区间为，
故选：A．
7. 若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为，比较系数可得a，b的值．
【详解】因为，切点为(0,)，
所以切线的斜率为，则切线方程为，即，
又切线方程为，即，
所以，.
故选：D
8. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由在上恒成立，再转化为求函数的最值得参数范围．
【详解】由题意，得，因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即，
令，则，
令，得，当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以的最小值为，所以，即的取值范围为.
故选：D.
二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得3分，有错误项不得分）
9. 已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.
【详解】因为的定义域为R，
，
令得：或，
所以在区间，上单调递增．
故选：AC．
10. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 的极大值为1
C. 方程有两解D. 曲线经过四个象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】先利用导数分析函数单调性，进而画出大致图象，判断各选项即可.
【详解】因为，
所以，
令，即或；令，即，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，故A正确；
当时，取得极大值，故B正确；
又，画出大致图象，
结合图象可知函数与只有一个交点，
所以方程只有一解，故C错误；
由图象可知曲线经过四个象限，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 时，函数的极大值为
B. 是函数为奇函数的充要条件
C. 若函数恰有两个零点，则或
D. 若函数在上单调递增，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A应用导数研究极值；B根据奇函数及充分、必要性定义判断；C由，问题化为有且仅有一个零点，结合二次函数性质求参数；D由恒成立求参数范围即可.
【详解】A：，则，
在上，在上，故极大值为，错；
B：，则，故，函数为奇函数，充分性成立；
，则，必要性成立，对；
C： 由，显然，要使函数恰有两个零点，
只需有且仅有一个零点，即，即，对；
D：由题设在上恒成立，即，所以，错；
故选：BC
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 如图，函数的图象在点处的切线是，方程为，则 ________；
【答案】.
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可得.
【详解】因为在点处的切线的斜率为，
所以.
故答案为：.
13. 设函数.若对于任意，都有，则实数的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】分，和三类讨论，并利用分离参数即可求出值.
【详解】若，则不论取何值，都成立；
当，即时，可化为，
设，则，
当时，；当，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，所以；
当，即时，可化为，
又因为在上恒大于0，则在区间上单调递增，
所以，所以.
综上，实数的值为4.
故答案为：4.
14. 已知函数在时取得极大值4，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.
详解】由题意可知，
因为函数在时取得极大值4，所以，
解之得，
检验，此时，令或，
令，
即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，
故.
故答案为：
四、解答题（共77分）
15. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】（1）（2）由基本初等函数导数运算即可得解；
（3）（4）（5）（6）由复合函数导数法则即可运算求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
.
【小问4详解】
.
【小问5详解】
.
【小问6详解】
.
16. 设函数
（1）求的极大值点与极小值点及单调区间；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）极大值点，极小值点；单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）最大值为63，最小值为0
【解析】
【分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系求函数的极大值点与极小值点以及单调区间；
（2）利用导数求出极值，端点的函数值，然后求函数的最大值和最小值．
【小问1详解】
函数的导数为．
令，解得，．
由，得，即的单调递增区间为，
由，得或，即的单调递减区间为，．
的极大值点，极小值点．
【小问2详解】
列表
当x变化时，，的变化表为：
当时，，
当时，，
当时，．
∴在区间上最大值为63，最小值为0.
17. 已知函数
（1）当时，求的函数值；
（2）若有三个零点，求的取值范围.
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）根据解析式直接求函数值；
（2）利用函数的导数与单调性、极值的关系列出不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，,则.
【小问2详解】
,
若，则，则函数在上单调递增，
此时函数至多有一个零点，不满足题意；
若，令，解得或，
令，解得，
所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，
要使函数有三个零点，只需，
即，解得，
综上，.
18. 某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为 (单位：万元)，成本函数为 (单位：万元)．
（1）求利润函数；(提示：利润＝产值－成本)
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
【答案】（1）且；
（2）当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.
【解析】
【分析】（1）根据，可得函数关系式；
（2）求导函数，确定函数的单调性，从而得到函数的最值.
【小问1详解】
由题可得
且；
【小问2详解】
因为，
由，得或 (舍去)，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
∴当时，取得极大值，也为最大值，
∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
19. 已知在处取得极小值．
（1）求的解析式；
（2）求在处的切线方程；
（3）若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出，由题意可的，由此即可求出答案；
（2）分别求出，的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数与有且只有一个交点，求出函数的单调性与极值，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
由题意知，
因为在处取得极小值
则，解得：
经检验，满足题意，所以，
所以
【小问2详解】
由题意知，，
所以所以切点坐标为，斜率
所以切线方程为：，即.
【小问3详解】
令，解得或，
则，，的关系如下表：
则，，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于函数与有且只有一个交点，
即或，解得：或，
所以.
x
0
－
0
＋
极小值
+
0
0
+
单调递增
单调递减
单调递增