2024年广西壮族自治区钦州市灵山县部分学校九年级一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 中国古代数学著作《九章算术》中首次正式引入负数．如果支出200元记作元，那么收入60元记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，根据支出记为负，则收入就记为正，从而得解．
【详解】解：如果支出200元记作元，那么收入60元记作元，
故选：B．
2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的横纵坐标特点，判断其所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)．
【详解】解：∵点(-3，5)的横纵坐标符号分别为：-，+，
∴点P(-3，5)位于第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
3. 中华人民共和国第一届学生（青年）运动会在广西南宁举行，下图是本届青运会的会徽，在下列的四个图中能由如图所示的图形平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平移，根据平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变图形的位置判断即可．
【详解】解：A、图形方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意；
B、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意；
C、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意；
D、图形的大小、形状和方向与原图一致，能通过平移得到，符合题意；
故选D．
4. “生活在这个世界上，我们必须全力以赴”这是2024年2月10日大年初一全国上映的电影《热辣滚烫》中的一句话，这部电影首日票房约402000000元，数字402000000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，将402000000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选B．
5. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ）
A. 2是变量B. 是变量C. r是变量D. C是常量
【答案】C
【解析】
【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．
6. 为了解某社区300名老人防诈骗的安全意识，工作人员从中抽取了30名老人进行了问卷调查，其中的30是（ ）
A. 样本容量B. 个体C. 总体D. 样本
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【详解】解：工作人员从中抽取了30名老人进行了问卷调查，其中的30是样本容量，
故选：A．
7. 计算的结果等于（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了同分母分式的加法运算．解题的关键在于明确同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
8. 如图，在中，弦相交于点，连接．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是相等的，即可作答
【详解】解：∵
∴
故选：D
9. 某校举行广西特色“嗦粉”文化活动，参赛者小僮和小丽要从“南宁老友粉”、“柳州螺蛳粉”、“桂林米粉”、“玉林牛巴粉”四种粉中选取一种进行讲解，则两人恰好选中同一种粉的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：设分别代表“南宁老友粉”、“柳州螺蛳粉”、“桂林米粉”、“玉林牛巴粉”，
画出树状图如图所示：
，
由图可得，共有种等可能出现的结果，两人恰好选中同一种粉的情况有种，
两人恰好选中同一种粉的概率是，
故选：C
10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，由对顶角相等得出，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案．
【详解】解：如图，
，
由题意得：，
，
，
，
，
，
故选：B．
11. 为了加强劳动教育，让学生热爱自然，提高劳动品质，南宁市某中学秉着“让花成花”的教育理念开展了种植体验课程．课程开设后，学校打算花费6400元购进月季和郁金香两种花苗共100株，其中月季每株7元，郁金香每株4元．设月季有株，郁金香有株，依题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设月季有株，郁金香有株，根据“学校打算花费6400元购进月季和郁金香两种花苗共100株，其中月季每株7元，郁金香每株4元”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题关键．
【详解】解：设月季有株，郁金香有株，
由题意得：，
故选：A．
12. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出．
【详解】解：，点是的中点，，
，
，
，
，
分别是的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
14. 计算：___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：．
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，点分别在上，．若不添加辅助线，添加一个条件即可证明四边形是菱形，则这个条件可以是______．（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定，由平行四边形的性质得出，结合得出四边形是平行四边形，再结合，即可得出四边形是菱形，熟练掌握菱形的判定、平行四边形的性质与判定是解此题的关键．
【详解】解：这个条件可以是，
理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
16. 若反比例函数的图象经过点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，把代入，即可求出的值进行作答．
【详解】解：依题意，∵反比例函数的图象经过点
∴把代入
得
解得
故答案为：
17. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
18. 在正方形中，连接对角线，点是边上一点，连接，将沿翻折，点的对称点落在边上，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了求一个角的正切值，解直角三角形的相关内容以及正方形的性质，先得出，得，设，根据正弦性质，得，，结合正切性质，列式代数化简，即可作答．
【详解】解：∵四边形是正方形
∴
∵将沿翻折，点的对称点落在边上
∴
∴
设
∵
∴
∴
在
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：
．
20. 解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
【答案】无解，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
用数轴表示为：
由数轴可知，该不等式组无解．
21. 如图，；
（1）尺规作图：在上截取，并连接（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）求证：．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）以点为圆心，长为半径画弧，交于一点,即为点，即可作答．
（2）根据平行四边形的性质，通过“”，证明，即可作答．
【小问1详解】
解：以点为圆心，长为半径画弧，交于一点,即为点，连接，如图：
【小问2详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
22. 某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A，B两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．为了解两款软件的性能，测试员小桂随机选取了20段短文，其中每段短文都含10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
款软件每段短文中识别错误的字数记录为：
5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，
9，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
款软件每段短文中识别错误的字数图示
A、B两款软件每段短文中识别错误的字数的统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中______，______，______；
（2）若你是测试员小桂，根据上述数据，你会向部门推荐哪款软件？请说明理由；
（3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了800段短文，每段短文有10个文字，请估计两款软件完全识别错误的短文共有多少段？
【答案】（1）6，8，
（2）向部门推荐B款软件，理由见解析
（3）280段
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、用调查数据作决策、用样本估计总体：
（1）根据记录的数据和折线统计图中的数据以及众数、中位数的意义，可以得到a，b，c的值；
（2）由于平均数相同，因此可以比较两款软件完全识别错误的段数所占百分比得出答案；
（3）根据A款语音识别完全错误的百分比和B款语音识别完全错误的百分比求解即可．
【小问1详解】
解：由A款软件测试数据可知，A款软件每段短文中识别错误的字数出现最多的是6，有7次，故众数为6，即；
由折线统计图可知，将B款软件每段短文中识别错误的字数从小到大排列，第10，11位都是8，故中位数为8，即；
由折线统计图可知，B款软件完全识别错误的有2段，，故B款软件完全识别错误的段数所占百分比为，即；
故答案为：6，8，；
【小问2详解】
解：向部门推荐B款软件，
理由：A款软件完全识别错误的段数所占百分比为，B款软件完全识别错误的段数所占百分比为，说明B款识别错误率更低；
【小问3详解】
解：（段），
即两款软件完全识别错误的短文共有280段．
23. 如图，直线经过上的点，并且，，交直线于，交于点，连接并延长交于．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）连接，由等腰三角形三线合一的性质推出，即可证明直线是的切线；
（2）设的半径为r，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，，结合等腰三角形三线合一的性质，推出，利用圆周角定理证明，进而证明是直角三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解即可．
小问1详解】
证明：如图，连接，
，
是中线，
，
，
又点在上，
直线是的切线；
【小问2详解】
解：设的半径为r，
，，
，即，
，，
．
，，
，即，
，
，
在中，，，
，
．
，
解得，
．
【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，难度一般，综合运用上述知识点是解题的关键．
24. 【探究】在“动点与函数”的活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在矩形中，，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为，请直接写出关于的函数表达式以及自变量的取值范围．
（图1） （图2）
【尝试】小邕学习函数时，常常利用“数形结合”的数学思想，因此在这道题的基础上，他想在平面直角坐标系中（图2）画出这个函数的图象，请你按照小邕的思路画出图象，并结合函数图象写出函数的性质（写出一条即可）．
【应用】进一步思考：结合函数图象，写出的面积为4时的值．
【答案】探究：；尝试：见解析；应用：或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一次函数的应用、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
探究：由矩形的性质和勾股定理得出，从而得出，分两种情况：当时，点在上；当时，点在上，利用三角形面积公式分别求解即可；
尝试：根据探究得出的解析式画出函数图象，再根据函数图象写出性质即可；
应用：当时，令，则， 当时，由图可得，即可得出答案．
【详解】解：探究：
四边形是矩形，
，，，
，
，
动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动时间秒，
当时，点在上，且，如图，作于，
，
，
的面积为，
当时，点在上，且，
，
，
，
的面积为；
综上所述：关于的函数表达式为；
尝试：画出函数图象如图所示：
，
由图象可得：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，的最大值为；
应用：当时，令，则，解得：，
当时，由图可得，
的面积为4时的值为或．
25. 综合与实践
【答案】任务1：，理由见解析；任务2：②号“”的测量距离为；任务3：镜长至少为
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．
任务1：根据相似三角形的对应边成比例解答；
任务2：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可；
任务3：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可．
【详解】解：任务1：，
理由如下：，
，
，即；
任务2：，且，，，
，
，
②号“”的测量距离为；
任务3：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于，交于，
，
则，，
，，
，
由题意得：，，
，
，
，
镜长至少为．
26. 已知抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①写出与满足的等量关系；
②当函数图象经过点，，时，求的最小值；
（2）已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①；②6
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，由此列不等式组，解不等式组即可得出答案．
【小问1详解】
解：①当时，对称轴为直线．
，
；
②由二次函数的性质可知，当，关于对称轴对称时取最小值，
对称轴为直线，点关于对称轴的对称点为，
与点重合，与点重合时，取最小值，
最小值为：．
【小问2详解】
解：，
抛物线开口下上，
，，
点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
，
解得，
，
，
．软件
平均数
众数
中位数
完全识别错误的段数所占百分比
A款
7.7
8
B款
7.7
8
视力表中蕴含的数学知识
素材1
用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．
（图1）
任务1
探究图中与之间的关系，请说明理由；
任务2
若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离．
素材2
为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．
（图2）
任务3
美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．