天津市红桥区2024届高三一模数学试卷(含答案)

这是一份天津市红桥区2024届高三一模数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知a,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．设,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
4．已知函数,则的图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．已知,,,则( )
A.B.C.D.
6．已知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
7．已知直线与圆相切,交曲线于点P,若,O是坐标原点,则以P为圆心,以p为半径的圆与圆的位置关系为( )
A.相交B.内含C.外离D.外切
8．某中学有学生近600人,要求学生在每天上午7:30之前进校,现有一个调查小组调查某天7:00~7:30进校人数的情况,得到如下表格(其中纵坐标表示第分钟至第分钟到校人数,,,如当时,纵坐标表示在7:08~7:09这一分钟内进校的人数为4人).根据调查所得数据,甲同学得到的回归方程是(图中的实线表示),乙同学得到的回归方程是(图中的虚线表示),则下列结论中错误的是( )
A.7:00~7:30内,每分钟的进校人数与相应时间呈正相关
B.乙同学的回归方程拟合效果更好
C.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7:09~7:10这一分钟内的进校人数一定是9人
D.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校
9．将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移单位,得到函数的部分图象(如图所示).对于,,且,若,都有成立,则下列结论中不正确的是( )
A.
B.
C.在上单调递增
D.函数在的零点为,,…,,则
二、填空题
10．i是虚数单位,复数________.
11．已知二项式,则其展开式中含的项的系数为________.
12．已知双曲线与抛物线的一个交点为A,F为抛物线的焦点,若,则双曲线的渐近线方程为________.
13．甲､乙两位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计赢2局者胜,分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为,每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为________,本次比赛甲获胜的概率为________.
14．如图,在平行四边形ABCD中,,E为CD的中点,P为线段AE上一点,且满足,则________;若的面积为,则的最小值为________.
15．设函数,若有四个实数根,,,,且,则的取值范围________.
三、解答题
16．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
（1）求角B的大小;
（2）设,,求的值.
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,底面ABCD,PB与平面ABCD所成角为,E,F分别是中点.
（1）求证:平面PFB;
（2）求平面PFB与平面EDB夹角的正弦值.
18．已知为数列的前n项和,且满足,其中,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,若对任意的,都有,求实数m的取值范围.
19．已知椭圆过点,且椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆的方程;
（2）若动点P在直线上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,且P为线段MN的中点,再过P作直线,证明:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.
20．已知函数的图象在处的切线经过点.
（1）求a的值及函数的单调区间;
（2）若关于x的不等式在区间上恒成立,求正实数的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以,
又,所以,
故选:B.
2．答案：D
解析：当,时,,,
当时,,,
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
3．答案：C
解析：因为在上单调递减,所以,即.
因为在上单调递增,又,,
又,所以,故,所以.
故选:C.
4．答案：A
解析：因为,故C错误;
又因为,
故函数的图象关于对称,故B错误;
当趋近时,趋近,趋近0,所以趋近正无穷,故D错误.
故选:A.
5．答案：D
解析：由换底公式得,,,
所以.
故选:D.
6．答案：B
解析：如图,设正六棱柱下底面的中心为,其外接球的圆心为点O,
则,为等边三角形,
故,即为其外接球的半径R,
所以,
所以该正六棱柱的外接球的表面积为.
故选:B.
7．答案：C
解析：根据,解得,
结合抛物线的对称性,只需考虑的情形,
联立解得或
所以,解得,
此时点,圆P的方程为,
因为圆C和圆P的圆心距,
所以两圆外离.同理当时,两圆也外离.
故选:C.
8．答案：C
解析：对于A,根据散点图知,7:00～7:30内,每分钟的进校人数y与相应时间x呈正相关,故A正确;
对于B,由图知,曲线的拟合效果更好,故乙同学的回归方程拟合效果更好,故B正确;
对于C,表格中并未给出对应的值,而由甲的回归方程得到的只能是估计值,不一定就是实际值,故C错误;
对于D,全校学生近600人,从表格中的数据知,7:26～7:30进校的人数超过300,故D正确,
故选:C.
9．答案：C
解析：对于A,由题意可知函数的图象在区间上的对称轴为,
则与关于对称,
又,结合图象可得,
所以,又,所以,
所以,故A正确;
对于B,右移个单位得到函数的图象,
再将其横坐标缩短为原来的得到的图象,故B正确;
对于C,由,得,
所以在上不单调,故C错误;
对于D,令,则,
函数在上有个零点,,,,,,
则,,,,,
故,
所以,故D正确;
故选:C.
10．答案：/
解析：.
故答案为:
11．答案：4320
解析：展开式的通项为,
令,得,
所以含的项的系数为.
故答案为:4320.
12．答案：
解析：因为抛物线的准线方程为,设,
因为,所以,得到,所以,
又在双曲线上,所以,得到,
故双曲线为,其渐近线方程为.
故答案为:.
13．答案：或,或
解析：到第3局才分出胜负,则前两局甲､乙各赢一局,其概率为.
若甲获胜,分2种情况:①甲连赢2局,其概率为,
②前两局甲､乙各赢一局,第三局甲赢,其概率为.
故甲获胜的概率为.
故答案为:,
14．答案：,
解析:由题意,设,,
则,
所以,所以,所以;
所以,
由的面积为,得到,得到,
所以,
当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:;.
15．答案：
解析：因为,所以,其图象如图所示,
又有四个实数根,由图知,得到,即,且,
由,得到或,所以,
所以,
令,,易知在区间上单调递增,所以,
所以的取值范围为,
故答案为:.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,由正弦定理得:,
因为,所以,可得,
即,,又,可得;
（2）在中,由余弦定理得:,
由,以及,可得,
因为,所以A是锐角,所以,
因此,,
所以,,
综上,,.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取PB的中点M,连接ME,MF,
因为E,F分别是PC,AD中点,所以且,
又且,
所以且,
所以四边形MEDF为平行四边形,所以,
又平面PFB,平面PFB,
所以平面PFB;
（2）连接BD,BE,
如图,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,
因为底面ABCD,所以即为PB与平面ABCD所成角的平面角,
所以,所以,
则,,,,,
故,,,,
设平面PFB的法向量为,
则有,令,则,,
所以,
设平面BDE的法向量为,
则有,令,则,
所以,
则,
所以平面PFB与平面EDB夹角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,
当时,,所以,
当时,,所以,
所以数列是以2为公比的等比数列,
所以;
（2）由（1）得,
则,
故,
,
而随的增大而减小,
所以,
随n的增大而增大,
所以,
因为对任意的,都有,
所以.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为点在椭圆C上,可得,解得,
又因为椭圆C的离心率为,所以,所以,解得,
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由题意,可设,且,
①当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为,,,
联立方程组,
整理得,
则,
所以,
因为P为MN的中点,所以,即,
所以,经检验,此时,
因为,所以,所以直线的方程为,
即,所以直线l恒过定点.
②当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为,
此时直线l为x轴,也过点.
综上所述,直线l恒过定点.
20．答案：（1）,单调递增区间为,,无单调递减区间
（2）
解析：（1）因为,所以,
又,则,
又函数的图象在处的切线经过点,
所以,解得,
所以,函数的定义域为,又,
令,则,
所以当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以当时恒成立,即恒成立,
所以在,上单调递增.
即的单调递增区间为,,无单调递减区间.
（2）因为不等式在区间上恒成立,
因为,则,
即在区间上恒成立,
所以在区间上恒成立,
又,所以,
所以在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,
由（1）可知在上单调递增,
所以在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,
令,,
则,
所以在上单调递减,
所以,即区间上恒成立,
所以时在区间上恒成立,
即对任意关于的不等式在区间上恒成立.
x
1
5
9
15
19
21
24
27
28
29
30
y
1
3
4
4
11
21
36
66
94
101
106