天津市和平区2024届高三一模数学试卷(含答案)

这是一份天津市和平区2024届高三一模数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,，集合，则集合C的子集个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2．函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
3．已知等比数列的各项均为正数，若,,成等差数列，则( )
A.B.C.D.
4．已知，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充要条件
5．某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为( )
①估计居民月均用水量低于的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取4人.
A.1B.2C.3D.4
6．设,,，则有( )
A.B.C.D.
7．已知函数,是的导数，则以下结论中正确的是( )
A.函数是奇函数
B.函数与的值域相同
C.函数的图象关于直线对称
D.函数在区间上单调递增
8．若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球O的表面上，，则三棱台的高为( )
A.B.8C.6或8D.或6
9．设双曲线,的左、右焦点分别为点,，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．i为虚数单位，复数则______.
11．在的二项展开式中，的系数为______(请用数字作答).
12．圆与抛物线的准线相交于A，B两点.若，则抛物线的焦点坐标为______.
13．若函数(其中)在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为______.
三、双空题
14．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为______；党员甲能通过初试的概率为______.
15．青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称.(i)请用,表示______；(ii)请写出的取值范围______.
四、解答题
16．在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中,，且.
(1)求c的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E,F分别是棱，的中点，点M是线段上一点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度.
18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.
19．若数列满足，其中,，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当,时.
(ⅰ)求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
(ⅱ)，求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
20．已知函数,，(e为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间：
(2)设在处的切线方程为，求证：当时，；
(3)若，存在，使得，且，求证：当时，.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,，
所以，
所以集合C的子集个数为.
故选：D.
2．答案：B
解析：定义域为R，，
为定义在R上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C错误；
当时，，，
在上单调递增，AD错误，B正确.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为等比数列中的各项都是正数，设公比为q，得，
又,,成等差数列，
可得，
又，所以，解得或，
又，所以
则，
故选：A.
4．答案：B
解析：例如：,，此时，但，所以充分性不成立；
设直线，圆，则圆心为，半径为，
可得圆心到l的距离为，
此时直线l与圆C相切，所以与圆C没有公共点，
即满足不等式的点，使得恒成立，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：D
解析：由频率分布直方图可知，居民月均用水量低于的概率为，故①正确；
前三组的频率之和为，而前四组频率之和为，故中位数位于，由，可以估计居民月均用水量的中位数约为，②正确；
估计40万居民中月均用水量不低于的人数为，③正确；
根据用水量对这100位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取20人，则在用水量中应抽取人，④正确.
故选：D.
6．答案：B
解析：由可得，
，，
下面比较b,c，
因为，所以，
所以，
而，故，所以，
综上，.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题意，,，
对A,为偶函数，故A错误；
对B，易知的值域为，的值域为，故B错误；
对C,,故C错误；
对D,,,单调递减，故在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
8．答案：C
解析：设球O的半径为r，则，得，
如图所示，为的中心，M为的中心，
由题意可知，三棱台为正三棱台，为其高，球心O在上，
在中，在中，
故，，
当O在线段上时，，
当O在线段的延长线上时，，
故选：C.
9．答案：C
解析：如图，
由及双曲线、直线的对称性可知，，
则由双曲线定义可知，
所以，，
所以，
解得，
因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，
所以，，
所以双曲线方程为：
故选：C.
10．答案：
解析：，
故答案为：.
11．答案：
解析：二项展开式通项为，
令，解得,
所以，
故答案为：.
12．答案：
解析：如图，抛物线的准线方程为，
圆即，圆心坐标为，半径为5，
由垂径定理可得，即，
得或(舍去)，故抛物线的方程为，焦点坐标为.
故答案为：.
13．答案：
解析：当，设，，
则为开口向上的二次函数，，
①当，有唯一解，此时，
，此时有三个解，且均不为3，符合题意；
②当,，无解，故区间上恰有4个零点，
则，解得，符合题意；
③当,，的对称轴，且,，
(i)当，，此时有两个解：2和5，，此时有三个解，且与的解2，5不重合，不合题意，
(ii)当，且，此时有两个解，且均属于，，
若有2个解，故，解得，则，舍去；
(iii)若有3个解，故，解得，
若此时有2个解，则必须有1个重根，
下面检验重根情况：，则，的3个解为，
且，，，
故重根可能为，，.
令，，解得,，
当重合，若，则()，
解得，满足题意；
若，则，即，无解；
若，，即，无解；
当重合，若，则，解得(舍去)；
若，则，解得，符合题意；
若，则，即，无解，舍去；
(iv)当，，此时有1个解，
设为m，则，，故，解得，
又，综合得，
同理(iii)的分析，，，
此时有三个解，且与的解不重合，符合题意，
综上所述：或或
故答案为：.
14．答案：；
解析：由题意，X的可能取值为0,1,2,3，
则，，
，，
所以；
党员甲能通过初试的概率为.
故答案为：；.
15．答案：；
解析：,B在圆O上运动且关于圆心O对称，为中点，.
；
当M为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值；
六边形为正六边形，为正三角形，；
作，则F为中点，；
，即的取值范围为.
故答案为：；.
16．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)，
，
，解得，
.
(2)由余弦定理可得，又，
，.
(3)因为,，
所以.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)1
解析：(1)因为四棱锥的底面是正方形，平面，
所以以点D为坐标原点，,,的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则,,,,,,，
所以,，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又因为，则，即，
由平面，所以平面.
(2)设平面与平面的夹角为，
平面的法向量，平面的法向量,
所以，，
则平面与平面的夹角的余弦值为.
(3)设长度为，，
设直线与平面所成角为，
因为,，
，
解得，此时的长度为1.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由椭圆的离心率为，且过点F且与x轴垂直的直线截得的线段长为3，
可得，解得,，所以椭圆的标准方程为.
(2)证明：设直线所在的直线方程为，
联立方程组，整理得，
所以，解得，
设,,，则,，
所以，则，即，
所以的方程为，
联立，解得或，所以,，
则，
又由
，
又因为T的中点，
可得，
所以.
19．答案：(1)(ⅰ)证明见解析，
(ⅱ)
(2)证明见解析
解析：(1)(ⅰ)由，可得，
所以数列是首项为公差为1的等差数列，
所以，
又因为，所以.
(ⅱ)，
设，，
，，
所以，
.
(2)若是M数列，有，
故，且，
即
，
则
，
由随的增大而增大，
若，可得，
因为，故对任意的，总存在正整数n使，
即总存在正整数n，使得.
20．答案：(1)单调递增区间，单调递减区间
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)因为，定义域为，
令，即,，
所以递减区间为，递增区间为.
(2)因为，所以，而，
所以在点处的切线方程为：，
当时，令，
由，，当时，，当时，，
所以在递减，在上单调递增，故，即，
所以，所以，
所以在时恒成立，
即时，得证.
(3)由题意可知，
因为时，，
令,，所以在时单调递减，
所以，所以在上为减函数，且，此时，
则由(1)有在上单调递减，在上单调递增，且，此时，
由题意，设，
设与交点的横坐标为，则，有，
因为，且，
所以，又，
所以，
令，则,
,，
令，则，
所以时，，时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，即，
所以，，
所以在单调递增.
在时，，
所以，
所以.