重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一上学期期末学业质量联合调研抽测数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一上学期期末学业质量联合调研抽测数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得.
【详解】解不等式得或，
记，
因为AB，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
2. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】，解得，故，其中，故.
点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出选项.
3. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】换元，可得出，然后将问题转化为二次函数在上的值域，利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】，令，得，
由于二次函数在区间上单调递增，当时，.
因此，函数的值域为.
故选D.
【点睛】本题考查指数型函数值域求解，利用换元法转化为二次函数的值域问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，再利用两角差的正切公式计算可得；
【详解】解：因为，所以；
故选：D
5. 函数(（是常数）,的部分图像如图所示，则f(0)=（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】
欲求f（0），须先求f（x）的解析式．易求A，，从而可求ω＝，由φ＝π可求φ的值，从而使问题解决．
【详解】由f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象可得：
A，，
∴T＝，又T，
∴ω＝，
又φ＝π，
∴φ，
∴f（x）sin（x）
∴f（0）sin．
故选：D．
【点睛】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，结合图象求A，ω，φ的值是关键，属于中档题．
6. 已知，二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数的性质可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】由题意可知，，即，
则，
当且仅当，即 时，上式取等号，
∴最小值为.
故选：D
7. 已知函数，若函数有9个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在直角坐标系中，画出 和图像，函数有9个零点等价于和图像有9个交点.即可得到关于 的不等式，从而求出实数的取值范围.
【详解】解：设 ，则恒过定点 ，所以画出，的图像.
由题意知，有9个零点，则，图像有9个交点.
当在上时，两图像有8个交点；当在上时，两图像有10个交点，
所以 ，解得 ，即.
故选:C.
【点睛】本题考查了函数的零点的应用，考查了数形结合的数学思想.若 ，则 零点的个数就等价于 交点的个数.画 图像时，先画出 的图像，再将 轴下方的图像向上翻折即可.
8. 高斯函数是数学中的一种函数，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用表示不超过x的最大整数.则方程的解的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数新定义得，结合方程得求范围，再由有，且，讨论、、即可得解的个数.
【详解】由题意，则，
所以，即，
故，
由，则且，故，且，
若，则，满足；
若，则，满足；
若，则，不满足；
故其它情况均不满足题设，
综上，、为方程的解，共2个.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 若幂函数在上单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质可得，解之即可.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，，解得，
故，所以，.
故选：CD.
10. 已知，则等于（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】AB
【解析】
【分析】将平方可以得到，可得的值.
【详解】令
故选：AB
11. 已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用诱导公式分析运算即可判断ABC，根据平方关系和商数关系分析计算即可判断D.
【详解】对于A，，正确；
对于B，
，正确；
对于C，，错误；
对于D，
，正确.
故选：ABD.
12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 若.则
C. 在区间上是增函数
D. 的对称轴是
【答案】BD
【解析】
【分析】把函数化成分段函数，作出函数图象，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】依题意，，函数部分图象如图，
函数是周期函数，周期为，而，
即不是的周期，A不正确；
因且，则当时，且，
则且，，因此，，，B正确；
观察图象知，在区间上不单调，事实上，，在区间上不是增函数，C不正确；
观察图象知，，是函数图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，
事实上，即图象关于对称，
同理有图象关于对称，而函数的周期是，所以函数图象对称轴，D正确.
故选：BD
【点睛】结论点睛：存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，，用列举法表示集合，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件及元素的互异性即得.
【详解】∵集合，，
∴.
故答案为：.
14. 函数的值域为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出的范围，然后结合指数函数的图象可得答案.
【详解】因为，所以
故答案为：
15. 已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
推导出函数的图象关于直线对称，再结合函数的对称性可求得的值.
【详解】函数是定义在上的奇函数，则.
由于函数为偶函数，即，所以，函数的图象关于直线对称.
则，，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的对称性求函数值，推导出函数的对称轴是解本题的关键，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
16. 已知函数,函数有四个不同的零点且满足，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图像，然后得到，然后将所求式子用表示，然后可得答案.
【详解】作出函数的图像，
由图得 ，
所以
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【答案】，
【解析】
【分析】由、列方程组，解方程组求得.
【详解】依题意，函数是奇函数，是偶函数，
解得，.
18. 已知，求
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式化简， 利用齐次式直接求解；
（2）利用齐次式直接求解.
【详解】（1）由诱导公式得，原式.
（2）原式.
【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α可以知一求二．
(2)关于sin α，cs α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
19. 已知函数定义域为.
（1）求定义域；
（2）当时，求的最值及相应的的值.
【答案】（1）或（2）当时，有最大值为，无最小值.
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的定义域的求法，则有求解.
（2）利用换元法，令，将转化为二次函数
再求解.
【详解】（1）因为
所以
解得或
所以函数的定义域为
（2）令
可转化为
当 即时，
即的最大值为，无最小值.
【点睛】本题主要考查了对数函数定义域的求法和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数在上有定义知，即可求的值；
（2）判断函数的单调性，结合奇函数可得，再求出二次函数最小值即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，由是奇函数，得，解得，即，
当时，，即函数是奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，而函数在上单调递增，因此在上单调递减，
不等式化为，
由是奇函数，得，因此不等式化为，
于是，即，
依题设，对任意的，不等式恒成立，
显然当时，取得最小值1，从而，
所以实数的取值范围是.
21. 已知函数，（a为正常数），且函数和的图象与y轴的交点重合.
（1）求a实数的值
（2）若（b为常数）试讨论函数的奇偶性；
（3）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得：，即，可得.
（2）利用奇偶函数的定义，确定b的值，进而可得函数的奇偶性.
（3）关于x的不等式有解转化为的最大值大于或等于a，计算可得答案.
【详解】（1）由题意得：，即，又∵，∴.
（2）由（1）可知，，，
∴，
若为偶函数，即，则有，此时，，
故，即不为奇函数；
若为奇函数，即，则，此时，，
故，即不为偶函数；
综上所述：
当且仅当时，函数为偶函数，且不为奇函数，
当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数，
当时，函数既非奇函数又非偶函数.
（3）关于x的不等式有解，即x的不等式有解
，当时等号成立.
故
【点睛】本题考查了根据函数值求参数，函数的奇偶性，不等式解存在问题，转化为函数的最值是解题的关键.
22. 关于 ​的一元二次方​恒有两个实数根​.
（1）当 ​且两个根皆为负时, 求实数​的取值范围.
（2）不等式 ​恒成立, 求实数​的最大值.
【答案】（1）​
（2）​
【解析】
【分析】（1）两个根皆为负即；（2）韦达定理的逆运用，转化为关于的式子，再结合因式分解，二次函数的最值进行求解.
【小问1详解】
当 ​时, 方程化​
由已知有 ​
所以实数 ​的取值范围为​
【小问2详解】
​
此时​
​
​