2023北京北大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)

这是一份2023北京北大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)，共14页。试卷主要包含了解答题共4小题，共40分等内容，欢迎下载使用。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知点在的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
2. 将的终边逆时针旋转，与的终边重合，则与终边相同的角的集合为（ ）
A. B. C. D.
3. 若且，则的终边所在象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 已知，则（ ）
A. 7B. C. 1D.
5. 已知是第二象限角，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知非零向量，不共线，且，则向量（ ）
A. B.
C. D.
7. 要得到函数的图象，只需先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象上的所有点（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
8. 设，是平面向量，则“是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知角的终边交单位圆于点A，将A绕原点顺时针旋转至，则的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图放置的边长为1的正沿轴滚动．设顶点的运动轨迹对应的函数解析式为，给出下列结论，其中正确结论的个数为（ ）
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③在其两个相邻零点间的曲线长度为；
④在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为．
说明：“正沿轴滚动”包括沿轴正方向和负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转，当顶点落在轴上时，再以顶点为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正可以沿轴负方向滚动．
A. 1B. 2C. 3D. 4
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 化简__________．
12. 已知，，若，则__________．
13. 已知．当，时，的取值范围为，则的一个取值为__________．
14. 已知函数满足：①，且；②当时，．则不等式的解集为__________．
15. 如下图单位圆，正弦最初的定义（称为古典正弦定义）为；单位圆中，当圆心角在时，圆心角为时，的“古典正弦”为．根据以上信息，的“古典正弦”为__________．当时，的“古典正弦”除以的最大值为__________．
三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步橾或证明过程。
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）求在上的最大值和最小值，并求出相应的值；
（3）若函数在上恰有3个零点，请直接写出的取值范围．
17. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连结，，设为中点．
（1）若（），则__________；
（2）求；
（3）求证：．
18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）若，则__________；
（2）在条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择三个作为已知，使，，唯一确定．则选择的三个条件序号可以是__________，此时__________，__________，__________；
（3）利用（2）中的结论，设，若函数在区间上单调递增，求实数的最大值．
条件①：； 条件②：；
条件③：； 条件④：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（3）问得0分．
19. 有如下条件：①对，，2，，均有；
②对，，2，，均有；
③对，，2，3，；若，则均有；
④对，，2，3，；若，则均有．
（1）设函数，，直接写出该函数满足的所有条件序号；
（2）设，比较函数，，值的大小，并说明理由；
（3）设函数，满足条件②，求证：的最大值．（注：导数法不予计分）
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】B
【解析】
【分析】根据终边上的点，结合三角函数的定义求余弦值即可.
【详解】由题设.
故选：B
2. 【答案】B
【解析】
【分析】由题设，即可得与终边相同的角，即知答案.
【详解】由题设，则且，
所以与终边相同的角的集合为.
故选：B
3. 【答案】C
【解析】
【分析】根据角的终边的位置与三角函数值符号的关系可出结论.
【详解】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上，
因为，则的终边在第一、三象限，
因此，的终边所在象限为第三象限.
故选：C.
4. 【答案】A
【解析】
【分析】利用商数关系，由弦化切求值即可.
【详解】由题设.
故选：A
5. 【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式化简，再用同角间的三角函数基本关系式转化求解即可．
【详解】由，可得，
是第二象限角，．
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题．
6. 【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加减法法则及数量关系，用表示出即可.
【详解】由题设.
故选：A
7. 【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象求得、，再判断函数图象的平移过程，即可得答案.
【详解】由题图知：，且，
对于：，故，则，
又，则，，故，，
由图知：是正半轴上第一个零点且在增区间内，不妨令，故，
所以，所有点的横坐标缩短到原来的，则，
再将右移个单位，.
故选：D
8. 【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义及共线的性质，结合充分必要性定义判断条件间的推出关系，即得答案.
【详解】由，即，故，所以不一定成立；
由（非零向量）时，若反向共线，则，若同向共线，则，所以也不一定成立；
综上，“是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
9. 【答案】C
【解析】
【分析】作出简图，由三角函数定义及诱导公式计算即可.
【详解】如图所示，易知B为100°与单位圆的交点，
由三角函数的定义可知，
由诱导公式化简可得.
故选：C
10. 【答案】B
【解析】
【分析】根据题设描述画出点的轨迹，数形结合判断其对称性、周期性，利用弧长、扇形面积公式求曲线长度及围成的面积即可.
【详解】当正沿轴正方向滚动，
绕旋转轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的弧上，从旋转到；
绕旋转轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的弧上，从旋转到；
绕旋转时点不动，后续继续旋转重复上述过程，只是圆心位置改变，
同理，正沿轴负方向滚动，
先绕旋转，然后绕旋转，再绕旋转，每次旋转角度、半径都相同，只是圆心不同；
综上，在轴上部分轨迹如上图示，由图易知：区间图象在x轴上周期性出现，
所以的图象关于对称，不关于对称，①错，②对；
在其两个相邻零点间的曲线长度为，③对；
在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为，④错.
故选：B
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 【答案】
【解析】
【分析】根据向量加减运算法则进行计算.
【详解】.
故答案为：
12. 【答案】
【解析】
【分析】利用向量线性关系的坐标表示求得，，再根据向量共线的坐标表示求参数即可.
【详解】由题设，，又，
所以，则.
故答案为：
13. 【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题设知区间内至少含最大、最小值各一个，讨论结合正弦函数性质确定最值，即可得参数值.
【详解】由题设，，又的取值范围为，
所以区间内至少含最大、最小值各一个，
当，则，取不到最小值；
当，则，取不到最大值；
当，则，可同时取到最大、最小值.
故答案为：（答案不唯一）
14. 【答案】
【解析】
【分析】根据已知函数性质推得关于对称且周期为4的奇函数，并画出部分函数图象，由不等式知或，数形结合确定解集即可.
【详解】由①知：关于对称的奇函数，则，
所以，则，即，
所以为周期为4的函数；
由时，易知：时，故部分图象如下：
由，则或，结合图象知：或等区间满足要求；
所以，不等式的解集为.
故答案为：
15. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据古典正弦定义写出的“古典正弦”，由的“古典正弦”除以为，利用倍角正弦公式，余弦函数的性质求最值即可.
【详解】由题设，的“古典正弦”为，
的“古典正弦”为，则，又，
所以，则，故，
所以的“古典正弦”除以的最大值为.
故答案为：，
三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步橾或证明过程。
16. 【答案】（1），.
（2）在处取得最小值，在处取得最大值.
（3）
【解析】
【分析】（1）通过分析函数即可求出周期，进而求出单调区间；
（2）由（1）的单调性求出在上的单调性，即可求出在上的最大值和最小值，并求出相应的值；
（3）将零点问题转化成求函数为时的值有个，即可得出的取值范围．
【小问1详解】
由题意，
在中，,
当函数单调递增时，，
解得：，
∴的单调增区间为：.
【小问2详解】
由题意及（1）得，
在中，的单调增区间为：，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∵，
∴函数在处取得最小值，在处取得最大值.
【小问3详解】
由题意及（1）（2）得，
在中，在上恰有3个零点，
∴在上恰有3个交点，
即在上，有且仅有3个值，
∴或在上，有且仅有3个值，
即或在上，有且仅有3个值，
∴，
∴，
故的取值范围为：.
17. 【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出，即可得解；
（2）根据数量积的坐标公式计算即可；
（3）证明即可.
【小问1详解】
由题意可得，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
由，得，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】
，则，
所以；
【小问3详解】
因为为中点，所以，
则，
因为，所以，
所以．
18. 【答案】（1）
（2）①②④，，，
（3）
【解析】
【分析】（1）由，结合周期公式求；
（2）根据、若得判断②③、①③④不能同时成立，即可确定条件，进而求出参数；
（3）由（2），结合正弦函数的性质及区间单调性求参数范围，即可得其最大值.
【小问1详解】
由图知：，可得；
【小问2详解】
由题图，，显然②③不可能同时成立，
若，则且，故，故①③④不可能同时成立，
所以，选①②④：，则，
所以，而，则，又，可得，则.
综上，，，.
【小问3详解】
由（2）知：，则，
对于，则，该区间内递增，
所以，可得，故的最大值.
19. 【答案】（1）①④ （2），理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由正弦函数区间单调性判断①②，根据题设有，，，且得大小，讨论、判断大小，即可得答案；
（2）由题意，结合、在上单调性判断大小关系；
（3）由正弦函数的性质知上，上，根据函数单调性及单调性定义即可证结论.
【小问1详解】
由在上递增，故①满足，②不满足；
由，且，则，，，
故，，，且，显然，③错；
由于，则，
当，则，故，
此时与的距离比与的距离小，且、在两侧，故；
当，则，易知：；
综上，，④对.
所以，满足①④.
【小问2详解】
由，则，
而在上递减，在上递增，
所以，
故.
【小问3详解】
由题意，已知函数在给定区间内递减，
由在恒成立，
当时，的增长率比大，故随增大变小；
当时，递增，递减，故随增大变小；
综上，上且递减，而时，
显然，使在上递减，
所以在上递减，则最大值，得证.
【点睛】关键点点睛：第二问应用幂、指数函数的单调性判断大小，第三问，只需根据正弦函数的区间符号判断在、上的符号，即可证结论.