2023北京北师大二附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）

这是一份2023北京北师大二附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版），共9页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级： 姓名： 学号： 高
一、选择题（共10小题；共40分）
1. 化为弧度等于
A. B. C. D.

2. 已知向量 ，，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.

3. 已知向量 ，，则“”是“ 与 共线”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

4. 已知 ，那么下列命题成立的是
A. 若 是第一象限角，则
B. 若 是第二象限角，则
C. 若 是第三象限角，则
D. 若 是第四象限角，则

5. 已知函数 ，若对任意的实数 ，总有 ，则 的最小值是
A. B. C. D.

6. 设函数 ，则
A. 在区间 上是增函数
B. 在区间 上是减函数
C. 在区间 上是增函数
D. 在区间 上是减函数

7. 设 α 是第二象限角，则 α3 的终边在
A.第一、二、三象限
B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限
D.第一、二、四象限

8. 若 ，则
A. B. C. D.

9. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为 ，那么用圆的内接正 边形逼近圆，算得圆周率的近似值 可表示成
A. B. C. D.

10. 如图所示，边长为 的正方形 的顶点 ， 分别在边长为 的正方形 的边 和 上移动，则 的最大值是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知 角的终边上有一点 ，则 的值为 ．

12. 已知 ，，则 ， 夹角的大小为 ．

13. 已知 ，，那么 的值为 ．
14. 若平面向量 ， 满足 ，则 的最小值是 ．

15.已知函数 ，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是 dyydu

三、解答题（共6小题；共85分）
16. 已知 ，， 与 的夹角是 ．
（1）求 的值及 的值；
（2）当 为何值时，

17. 已知函数
（1）. 求的值；
（2）. 求的最大值和最小值，并写出取最值时 的值 ．

18. 已知向量 ．
（1）设 ，求 的单调递增区间；
（2）若 ，向量 与 共线，且 为第二象限角，求 的值．
19. 若函数 在区间 上的最大值为 ，
（1）求常数 的值及 的对称中心；
（2）作函数 关于 轴的对称图象 得函数的图象，再把 的图象向右平移 个单位得 的图象，求函数 的单调递减区间．

20. 如图，某市准备在道路 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 ，该曲线段是函数 （，）， 的图象，且图象的最高点为 ；赛道的中间部分为直线跑道 ，且 ，；赛道的后一部分是以 为圆心的一段圆弧 ．
（1）求 的值和 的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形 区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路 上，一个顶点在半径 上，另外一个顶点 在圆弧 上，且 ，求当矩形草坪的面积取最大值时 的值．


21. 如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有"性质"．
（1）. 判断函数是否具有"性质"，若具有"性质"，求出所有的值；若不具有"性质"，请说明理由；
（2）. 设函数具有"性质"，且当时，．若与交点个数为个，求的值．
参考答案
一 选择题
1. C
2. C
3. A
4. D
5. A
6. A
7 D
8. B
9. C
10. D
【解析】以 ， 为 ， 轴建系，令 ，
由于 ，故 ，，
如图， ，，
故 ，，
故 ，
同理可得 ，
即 ，
所以 ，
当 时，故 的最大值为 ．
二 填空题
11.
12.
13.
14.
【解析】将 平方整理，得
又由均值不等式，得
所以 解得
故当且仅当 时， 有最小值为
15
【解析】．
由 ，得 ，解得 ．
由 在 内没有零点，得 ，
解得 ，
因此，．
三 解答题
16. （1） 由向量的数量积的运算公式，
可得 ，

——————————————————7分
（2） 因为 ，
所以 ，
整理得 ，
解得 ．
即当 时，． ——————————14分
17
(1)
——————4分
(2)
．——————8分
因为，
所以当时，
，——————11分
当时，，——————14分
18. （1）
————————3分
由
———————5分
得 的单调递增区间为 ，．——————6分
（2） 因为 ，，
与向量 共线，所以
——————3分
即 ． ——————4分
又因为 是第二象限角，所以
——————8分
——————————14分
19. （1）

因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以 ．
的对称中心 ．————————7分
（2） ，
，
，
．
的单调递减区间是 ．——————14分
20. （1） 由条件得 ，． ， ，
曲线段 的解析式为 ．
当 时，．
又 ， ， ．
————————7分
（2） 由（1）可知 ．又点 在圆弧 上，．
又 ，，
矩形草坪的面积为
， ，
当 ，即 时， 取得最大值．
——————————15分
21
(1) 由 得
根据诱导公式得
所以 具有" 性质"，其中 ．
————————4分
(2)
具有"性质"，，．
，
从而 是以为周期的周期函数．
设，则，所以
再设，
当时，，则，所以
当时，，则，所以
对于，都有．
而，所以是周期为的函数．
①当时，要使得与有个交点，只要与在上有个交点，而在有一个交点即可．
过，从而得；
②当时，同理可得；
③当时，不合题意．
综上所述，．
——————————14分