2023年四川省雅安中学中考数学一模试卷

这是一份2023年四川省雅安中学中考数学一模试卷，共30页。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）下列各数中，负数是（　　）
A．﹣|﹣3| B．﹣（﹣3） C．（﹣3）2 D．（﹣3）0
2．（3分）唐代李白《日出行》云：“日出东方隈，似从地底来”．描述的是看日出的景象，意思是太阳从东方升起，似从地底而来．如图所示，此时观测到地平线和太阳所成的视图可能是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）2018年，成都提出了“三城三都”6个三年行动计划（2018﹣2020年），计划中提出，到2020年成都将实现旅游收入5800亿元．数据580000000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.58×1012 B．58×1010 C．5.8×1010 D．5.8×1011
4．（3分）如图的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x2+3x3＝5x5 B．x2•x3＝x6
C．（2x2）3＝6x6 D．x3÷x2＝x
6．（3分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，2） C．（﹣1，6） D．（﹣9，6）
7．（3分）如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于（　　）

A．26° B．52° C．54° D．77°
8．（3分）某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．1.70，1.75 B．1.75，1.70 C．1.70，1.70 D．1.75，1.725
9．（3分）若关于x的方程+1＝的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．6π B．3π C．2π D．2π
11．（3分）按如图的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为22，则开始输入的x值可以为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}＝．
下列判断：
①P；
②max；
③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则0＜x＜1；
④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1；
⑤max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为．其中正确的是（　　）
A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤
二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）
13．（3分）因式分解：9mx2﹣my2＝　 　．
14．（3分）已知方程x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，则（1﹣x1）（1﹣x2）＝　 　．
15．（3分）如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为　 　．

16．（3分）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离．据此进一步可得点（2，﹣1）到直线y＝x﹣4之间的距离为　 　．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（10分）（1）计算：


（2）解不等式组：，并求出所有非负整数解的和．



19．（5分）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x为你喜欢的数．



20．（9分）近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，我校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：
A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解，
根据调查统计结果，绘制了不完整的两种统计图表．

请结合统计图表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生共有多少人，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角的度数；


（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从A等级中的睿睿和凯凯中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则睿睿去；否则凯凯去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．




21．（6分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，∠ACD＝60°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）

22．（10分）2022年3月，上海市新冠疫情卷土重来，疫情发生后，上海市委市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，上海市急需大量物资．在此期间，成都某快递公司计划租用甲、乙两种货车共10辆，将某农场捐赠的60吨萝卜和26吨白菜运往上海．已知甲种货车可装萝卜8吨和白菜2吨，乙种货车可装萝卜和白菜各4吨．如果设快递公司租用甲种货车x辆，请解答下列问题：
（1）该快递公司安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；


（2）若甲种货车每辆需付运输费1500元，乙种货车每辆需付运输费1300元，设总运费为w元．
①写出w和x的函数关系式；


②该快递公司应选择哪种方案最节约成本？最低成本是多少元？



23．（8分）如图，双曲线y＝与直线y＝x交于A、B两点，点P（a，b）在双曲线y＝上，且0＜a＜4．
（1）设PB交x轴于点E，若a＝2，求点E的坐标；
（2）连接PA、PB，得到△ABP，若4a＝b，求△ABP的面积．


24．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；


（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的位置关系，并说明理由．


②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．


25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+x﹣4a与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一动点E，过点E作EG⊥x轴于G，EG交直线BC于点F，过点E作ED⊥BC于点D．
（1）求抛物线及直线BC的函数关系式；
（2）设S△EDF为S1，S△BGF为S2，当S1＝S2时，求点E的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点M，使得∠MAB＝2∠EAB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）下列各数中，负数是（　　）
A．﹣|﹣3| B．﹣（﹣3） C．（﹣3）2 D．（﹣3）0
【考点】零指数幂；正数和负数；相反数；绝对值；有理数的乘方．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据有理数的乘法法则、相反数、绝对值的性质判断即可．
【解答】解：A、﹣|﹣3|＝﹣3，是负数，符合题意；
B、﹣（﹣3）＝3是正数，不符合题意；
C、（﹣3）2＝9是正数，不符合题意；
D、（﹣3）0＝1是正数，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，零指数幂，相反数，绝对值的性质，难度适中．
2．（3分）唐代李白《日出行》云：“日出东方隈，似从地底来”．描述的是看日出的景象，意思是太阳从东方升起，似从地底而来．如图所示，此时观测到地平线和太阳所成的视图可能是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】平行投影．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】利用圆在海平面以下部分用虚线可对各选项进行判断．
【解答】解：观测到地平线和太阳所成的视图可能是．
故选：B．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了视图．
3．（3分）2018年，成都提出了“三城三都”6个三年行动计划（2018﹣2020年），计划中提出，到2020年成都将实现旅游收入5800亿元．数据580000000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.58×1012 B．58×1010 C．5.8×1010 D．5.8×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据5800 0000 0000用科学记数法可表示为5.8×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线
【考点】中心对称图形；勾股定理的证明；轴对称图形．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是关键．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x2+3x3＝5x5 B．x2•x3＝x6
C．（2x2）3＝6x6 D．x3÷x2＝x
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、2x2，3x3不是同类项不能合并，故A错误；
B、x2•x3＝x5，故B错误；
C、（2x2）3＝8x6，故C错误；
D、x3÷x2＝x3﹣2＝x，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
6．（3分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（﹣9，2） C．（﹣1，6） D．（﹣9，6）
【考点】坐标与图形变化﹣平移；坐标确定位置；生活中的平移现象．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据坐标与图形变化﹣平移的特征即可求解．
【解答】解：∵开始时P点的坐标为（﹣5，4），
∴将“笑脸”图标向右平移4个单位，P点的坐标为（﹣1，4），
∴将“笑脸”图标向下平移2单位，P点的坐标为（﹣1，2），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移以及坐标位置的确定．
7．（3分）如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于（　　）

A．26° B．52° C．54° D．77°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质，得到∠GFD的度数，再根据角平分线的定义求出∠EFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FGB+∠GFD＝180°，
∴∠GFD＝180°﹣∠FGB＝26°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GFD＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD＝52°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
8．（3分）某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．1.70，1.75 B．1.75，1.70 C．1.70，1.70 D．1.75，1.725
【考点】众数；中位数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：由表可知，1.75出现次数最多，所以众数为1.75；
由于一共调查了2+3+2+3+1+1+1＝17人，
所以中位数为排序后的第9人，即：1.70．
故选：B．
【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
9．（3分）若关于x的方程+1＝的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积．
【解答】解：将分式方程去分母得：
a（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x+1）
解得：x＝﹣2a﹣1
∵解为负数
∴﹣2a﹣1＜0
∴a＞﹣
∵当x＝1时，a＝﹣1；x＝﹣1时，a＝0，此时分式的分母为0，
∴a＞﹣，且a≠0；
将不等式组整理得：
∵不等式组无解
∴a≤2
∴a的取值范围为：﹣＜a≤2，且a≠0
∴满足条件的整数a的值为：1，2
∴所有满足条件的整数a的值之积是2．
故选：C．
【点评】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法，是解题的关键．
10．（3分）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．6π B．3π C．2π D．2π
【考点】扇形面积的计算；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC，
∴AB＝OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OC∥AB，
∴S△AOB＝S△ABC，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB＝＝6π，
故选：A．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
11．（3分）按如图的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为22，则开始输入的x值可以为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】代数式求值；有理数的混合运算．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由3x+1＝22，解得x＝7，即开始输入的x为7，最后输出的结果为22；当开始输入的x值满足3x+1＝7，最后输出的结果也为22，可解得x＝2，符合题意．
【解答】解：当输入一个正整数，一次输出22时，
3x+1＝22，
解得：x＝7；
当输入一个正整数，两次后输出22时，
3x+1＝7，
解得：x＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了代数式求值和一元一次方程的运用，解题的关键是根据程序框图列出方程，求出符合条件的x的值．
12．（3分）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}＝．
下列判断：
①P；
②max；
③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则0＜x＜1；
④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1；
⑤max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为．其中正确的是（　　）
A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤
【考点】解一元一次不等式组；实数大小比较；一元一次方程的解．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】①计算出三个数的平均数即可判断；
②找出三个数中最大的数即可判断；
③根据题意列出不等式组，解不等式组即可判断；
④根据题意得出，解得x＝1，即可判断；
⑤建立函数则y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x作出三个函数的图象，利用图象即可判断．
【解答】解：①﹣，0，的平均数是，故①错误；
②﹣3，﹣，﹣π三个数中最大的数﹣，故②正确；
③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则，解得0≤x≤1，故③错误；
④P{2，x+1，2x}＝x+1，
若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，则min{2，x+1，2x}＝x+1，
即，解得x＝1，故④正确；
⑤作出y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象．

由图可知max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为，故⑤正确；
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一次函数、二次函数的图象与性质，比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，此题综合性较强，读懂题目信息并理解新定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）
13．（3分）因式分解：9mx2﹣my2＝　m（3x+y）（3x﹣y）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】m（3x+y）（3x﹣y）．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：9mx2﹣my2
＝m（x2﹣y2）
＝m（3x+y）（3x﹣y）．
故答案为：m（3x+y）（3x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14．（3分）已知方程x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，则（1﹣x1）（1﹣x2）＝　﹣4　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【答案】﹣4．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，再利用乘法公式展开得到（1﹣x1）（1﹣x2）＝1﹣（x1+x2）+x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，
所以（1﹣x1）（1﹣x2）＝1﹣（x1+x2）+x1x2＝1﹣4+（﹣1）＝﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．（3分）如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为　6　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行线的性质得∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，两个对应角相等证明△OAB∽△OCD，其性质得，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出m＝，线段的中点，反比例函数的性质求出k的值为6．
【解答】解：如图所示：

∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
若＝m，
由OB＝m•OD，OA＝m•OC，
又∵，，
∴＝，
又∵S△OAB＝8，S△OCD＝18，
∴，
解得：m＝或m＝（舍去），
设点A、B的坐标分别为（0，a），（b，0），则•a•（﹣b）＝8，即ab＝﹣16，
∵，
∴点C的坐标为（0，﹣a），
又∵点E是线段BC的中点，
∴点E的坐标为（），
又∵点E在反比例函数上，
∴＝﹣＝，
解法二：∵S△OAB＝•OA•OB，S△ODC•OC•OD，SOBC＝•OC•OB，S△OAD＝•OA•OD，所以S△OAB×S△OCD＝S△OBC×S△OAD＝8×18＝144，
又∵AB∥CD，
∴S△ACD＝S△BCD（同底等高），
∴S△OBC＝S△OAD，
∴S△OBC＝S△OAD＝12，
∵双曲线y＝kx恰好经过BC的中点E，且点E在第三象限，
所以根据K的几何意义得到K＝6．
故答案为6．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的中点坐标，反比例函数的性质，三角形的面积公式等知识，重点掌握反比例函数的性质，难点根据三角形的面积求反比例函数系数的值．
16．（3分）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离．据此进一步可得点（2，﹣1）到直线y＝x﹣4之间的距离为　　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据距离表达式即可求解．
【解答】解：∵已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为，
∴点（2，﹣1）到直线y＝x﹣4之间的距离为：|2﹣4+1|÷＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及二次根式的性质与化简．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为　4﹣4　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∵∠ABE＝∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE＝4，
∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝8，
∴OG＝12，
∴OF＝＝4，
∴EF＝4﹣4，
∴PD+PE的长度最小值为4﹣4，
故答案为：4﹣4．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（10分）（1）计算：
（2）解不等式组：，并求出所有非负整数解的和．
【考点】一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值；实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【答案】（1）2﹣；
（2）不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4；10．
【分析】（1）先算绝对值，三次根式，特殊角的三角函数值和负整数指数幂，再算加减法即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解，从而求解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
由①得5x+2＞3x﹣3，
2x＞﹣5，
x＞﹣2.5，
由②得，
2x≤8，
x≤4．
故不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
故不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
故不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10．
【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．同时考查了实数的运算．
19．（5分）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x为你喜欢的数．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【答案】x2+x，当x＝0时，原式＝0．
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x﹣）÷
＝•
＝•
＝•
＝x（x+1）
＝x2+x，
∵当x＝﹣1或2时，原分式无意义，
∴x可以取0，
当x＝0时，原式＝02+0＝0．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（9分）近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，我校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：
A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解，
根据调查统计结果，绘制了不完整的两种统计图表．

请结合统计图表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生共有多少人，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角的度数；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从A等级中的睿睿和凯凯中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则睿睿去；否则凯凯去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【考点】游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【答案】（1）400人；
（2）54°；
（3）不公平．
【分析】（1）由C有180人，占45%，即可求得总人数；
（2）由图可得扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与摸出的两个球上的数字和为奇数的有8种情况，为偶数的有4种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）20÷5%＝400（人），
不了解的人数为：400﹣20﹣60﹣180＝140，
补全条形图：
（2）扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角是：．
（3）游戏规则不公平，
列表如下：

1
2
3
4
1
/
3
4
5
2
3
/
5
6
3
4
5
/
7
4
5
6
7
/
∵一共有12种可能的结果，其中摸出两个球上的数字和为奇数的有8种，为偶教有4种
∴P（睿睿去）＝＝，
∴游戏不公平．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形、扇形统计图．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，∠ACD＝60°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）

【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．

∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，
∴cos37°＝＝＝0.8，
∴DE＝4，
∵sin37°＝＝＝0.6，
∴AE＝3．
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AE＝，
∴AC＝2CE＝2，
∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4≈9.2（米）．
答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．（10分）2022年3月，上海市新冠疫情卷土重来，疫情发生后，上海市委市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，上海市急需大量物资．在此期间，成都某快递公司计划租用甲、乙两种货车共10辆，将某农场捐赠的60吨萝卜和26吨白菜运往上海．已知甲种货车可装萝卜8吨和白菜2吨，乙种货车可装萝卜和白菜各4吨．如果设快递公司租用甲种货车x辆，请解答下列问题：
（1）该快递公司安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（2）若甲种货车每辆需付运输费1500元，乙种货车每辆需付运输费1300元，设总运费为w元．
①写出w和x的函数关系式；
②该快递公司应选择哪种方案最节约成本？最低成本是多少元？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）租车方案有：方案一：租用甲货车5辆，乙货车5辆，
方案二：租用甲货车6辆，乙货车4辆，
方案三：租用甲货车7辆，乙货车3辆；
（2）①w＝200x+13000；②方案一运费最少，是14000元．
【分析】（1）表示出租用乙车的数量，然后根据萝卜和白菜的数量列出一元一次不等式组，求解得到x的取值范围，再根据货车的辆数是正整数解答；
（2）列式表示出w与x的函数关系式，然后根据一次函数的增减性求出运费最少的方案．
【解答】解：（1）设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车（10﹣x）辆，
根据题意得，
解得5≤x≤7，
∴x＝5、6、7，
租车方案有：方案一：租用甲货车5辆，乙货车5辆，
方案二：租用甲货车6辆，乙货车4辆，
方案三：租用甲货车7辆，乙货车3辆；
（2）①w＝1500x+1300（10﹣x）＝200x+13000；
②∵k＝200＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴x＝5时，运费最少，最少运费是200×5+13000＝14000元．
答：方案一运费最少，是14000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）根据萝卜和白菜的数量列出不等式组是解题的关键，（2）难点在于列出w与x的函数关系式．
23．（8分）如图，双曲线y＝与直线y＝x交于A、B两点，点P（a，b）在双曲线y＝上，且0＜a＜4．
（1）设PB交x轴于点E，若a＝2，求点E的坐标；
（2）连接PA、PB，得到△ABP，若4a＝b，求△ABP的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【答案】（1）（﹣2，0）；
（2）15．
【分析】（1）解方程组得A（4，1），B（﹣4，﹣1），再利用反比例函数解析式确定P（1，4），则可根据待定系数法求出直线PB的解析式，从而计算出函数值为0对应的函数值得到点E的坐标；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到ab＝4，加上b＝4a，则可求出a、b得到P（1，4），连接OP，由（1）得此时E点坐标为（﹣3，0），接着利用三角形面积公式计算出S△POB＝，由于点A与点B关于原点对称，所以OA＝OB，所以S△BAP＝2S△OBP．
【解答】解：（1）解方程组，解得，
∴A（4，1），B（﹣4，﹣1），
当x＝2时，y＝＝2，则P（2，2），
设直线PB的解析式为y＝mx+n，
把P（2，2），B（﹣4，﹣1）代入得，解得，
∴直线PB的解析式为y＝x+1，
当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣2，
∴点E的坐标为（﹣2，0）；

（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝上，
∴ab＝4，
而b＝4a，
∴a•4a＝4，解得a＝±1，
∵0＜a＜4．
∴a＝1，
∴P（1，4），
连接OP，如图，由（1）得此时E点坐标为（﹣3，0），

S△POB＝S△OBE+S△OEP＝×3×1+×3×4＝，
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴S△OAP＝S△OBP＝，
∴S△BAP＝2S△OBP＝15．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
24．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的位置关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG＝OC，即可证明；
（2）①利用切线长定理，证明OE＝OC，结合OE＝OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；
②根据OF：FC＝1：2，OC＝3求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到，设BO＝x，BE＝y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果．
【解答】解：（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，

∵OA平分∠BAC交BC于点O，
∴OG＝OC，
∴点G在⊙O上，
即AB与⊙O相切；

（2）①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与⊙O相切于点E，AC与⊙O相切于点C，
∴AE＝AC，
∵OE＝OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵OF：FC＝1：2，OC＝3，
则FC＝2OF，在△OCF中，OF2+（2OF）2＝32，
解得：OF＝，则CF＝，
由①得：OA⊥CE，
∵∠COF＝∠AOC，∠CFO＝∠ACO＝90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴，即，
解得：AC＝6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO＝90°，AC＝AE＝6，而∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴，设BO＝x，BE＝y，
则，
可得：，
解得：，即BO＝5，BE＝4，
∴tanB＝＝．

【点评】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+x﹣4a与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一动点E，过点E作EG⊥x轴于G，EG交直线BC于点F，过点E作ED⊥BC于点D．
（1）求抛物线及直线BC的函数关系式；
（2）设S△EDF为S1，S△BGF为S2，当S1＝S2时，求点E的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点M，使得∠MAB＝2∠EAB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3，直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）E（3，3）；
（3）点M的坐标为（0，）或（0，﹣）．
【分析】（1）首先将点A的坐标，代入抛物线的解析式可得a的值，确定抛物线的解析式，确定点B和C的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）设E（m，﹣m2+m+3），则F（m，﹣m+3），根据E在F的上方表示EF的长，证明△BGF∽△EDF，根据面积比等于相似比的平方和已知可得5ED＝9BG，再根据∠OBC＝∠DEF，由两个角的余弦相等列等式可解答；
（3）分两种情况：分M在y轴的正半轴和负半轴上，当点M在y轴的正半轴上时，如图2，作辅助线构建相似三角形，证明△EHP∽△PQA，可知相似比为，设EH＝3x，PQ＝4x，则PH＝4﹣4x，AQ＝3+3x，可得P的坐标，得AP的解析式为：y＝x+，可得点M的坐标，同理当点M在y轴的负半轴上时，同理得：M（0，﹣）．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+x﹣4a中得：a﹣﹣4a＝0，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3，
当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）如图1，设E（m，﹣m2+m+3），则F（m，﹣m+3），

∴EF＝（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵ED⊥BC，EG⊥AB，
∴∠EDF＝∠BGF＝90°，
∵∠DFE＝∠BFG，
∴△BGF∽△EDF，
∴＝（）2，
∵S1＝S2，
∴＝，
∴＝，
∴5ED＝9BG，
∵∠DEF＝∠OBC，
∴cos∠DEF＝cos∠OBC，
∴＝＝，
∴DE＝EF，
∴4EF＝9BG，
∴4（﹣m2+3m）＝9（4﹣m），
解得：m1＝3，m2＝4（舍），
∴E（3，3）；
（3）分两种情况：
①当点M在y轴的正半轴上时，如图2，

过点E作EP⊥AM于P，过点E作EN⊥x轴于点N，过点P作QH∥x轴，交NE于H，过点A作AQ⊥PH于Q，
∵∠MAB＝2∠EAB，
∴∠PAE＝∠EAB，
∴PE＝EN＝3，
tan∠EAN＝tan∠PAE＝＝，
∵∠H＝∠Q＝90°，∠HPE＝∠QAP，
∴△EHP∽△PQA，
∴＝＝，
设EH＝3x，PQ＝4x，则PH＝4﹣4x，AQ＝3+3x，
∴＝＝，
∴x＝，
∴P（，），
∴AP的解析式为：y＝x+，
∴M（0，）；
②当点M在y轴的负半轴上时，同理得：M（0，﹣），
综上，点M的坐标为（0，）或（0，﹣）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用分类讨论和数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/13 17:53:59；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395