江苏省南京市秦淮区第一中学2023-2024学年九年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京市秦淮区第一中学2023-2024学年九年级下册期中数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了9的平方根是，下列运算结果正确的是，如图，在等腰直角三角形中，，，分解因式的结果为 ，在和中，给出下列条件等内容，欢迎下载使用。

1．9的平方根是（ ）
A．B．C．3D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．2＜a＜3D．3＜a＜4
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ）

A．B．C．D．
5．如图，是正六边形的边上一点，则的度数不可能是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在等腰直角三角形中，，．点是上一点，，过点作，交于点．则为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题
7．2016年南京实现约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 ．
8．分解因式的结果为 ．
9．在和中，给出下列条件：①；②；③；④．则从中任取三个条件不能保证的是 ．（填写序号即可）
10．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程为 ．
11．如图，在四边形中，，连接对角线，F是对角线上一点，且满足 ，连接和，则线段和之间的数量关系为 ．
12．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，AC与BD交于点E，若点D的坐标是，则点E的坐标是 ．
13．若过点的一次函数（k、b为常数，）的图像与一次函数有交点，则k的取值范围是 ．
14．已知实数a，b满足，则的最大值为 ．
15．如图，为的直径，，点为上一动点，交于点．如果以，，为边作三角形，则的取值范围是 ．
16．如图，在中，，，点关于的对称点为点，点，，分别在，，上，则的最大值为 ．
三．解答题
17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的最大整数解．
18．先化简：后，再选择一个你喜欢的x值代入求值．
19．如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．
20．某“双选”题的四个选项中有两个正确答案，该题满分为2分，得分规则是：选出两个正确答案且没有多选任何一个错误答案得2分；选出一个正确答案且没有多选任何一个错误答案得1分；不选或所选答案中至少有一个错误答案得0分．
(1)任选一个答案，得1分的概率是 ；
(2)任选两个答案，求得2分的概率；
(3)如果只能确认四个选项中的某一个答案是正确的，此时的最佳答题策略是 ．
A.只选确认的那一个正确答案
B.除了选择确认的那一个正确答案，再任意选择剩下的三个选项中的一个
C.上述两种答题策略中任选一个．
21．从2021年起，江苏省高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率．
22．有一组数据：，，，…，，记，求的值．小明为了解决这个问题，首先将进行化简，得到，然后根据化简后的求出的值．请你根据小明的思路，先求出，的值，再求的值．
23．如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，）
24．如图，，，，，是五边形的外接圆的切线，则______．
请你用两种不同的方法来求解．
25．某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x天生产的电子产品数量为y件，y与x满足如下关系式：
（1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；
（2）设第x天每件电子产品的成本是Р元，P与x之间的关系可用下图中的函数图像来表示．若该企业第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
26．（1）如图④，直线l与相切于点A，B是l上一点，连接，C是上一点．若的半径r是与的比例中项，请用直尺和圆规作出点 C．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图⑤，A是外一点，以为直径的交于点B、C，与交于点D，E为直线上一点（点E不与点B、C、D重合），作直线，与交于点F，若的半径是r，求证：r是与的比例中项．
27．如图，在▱ABCD中，，，，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的交BC于点F．
【操作与发现】
当E运动到处，利用直尺与规作出点E与点F；保留作图痕迹
在的条件下，证明：．
【探索与证明】
点E运动到任何一个位置时，求证：；
【延伸与应用】
点E在运动的过程中求EF的最小值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据平方根的定义计算即可．
【解答】解：，
∴9的平方根为．
故选：A．
【点拨】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．C
【分析】根据幂的运算性质以及完全平方公式进行判断即可．
【解答】解：A．，故原选项计算错误，不符合题意；
B．，故原选项计算错误，不符合题意；
C．，故原选项计算正确，符合题意；；
D．，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了幂的运算和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
3．B
【解答】分析：首先明确tan45°=1，tan60°=，再根据正切值随着角的增大而增大，进行分析解答即可．
解答：
∵tan45°=1，tan60°=，
∴1＜tan55°＜，
∴1＜tan55°＜2.
故选B.
点拨：本题考查了锐角三角函数的增减性，利用特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解决这类题目的基本思路.
4．A
【分析】画出图象，根据平行四边形的性质即可解答．
【解答】如图所示，

∵四边形是平行四边形，
∵，，
，，
，
，，
．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，及平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．A
【分析】作正六边形的外接圆，延长交于点，连接，根据圆周角定理求得，再由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解：如图，作正六边形的外接圆，延长交于点，连接，
是正六边形，
，，
，
，
A、B、C、D四个选项中，只有A选项符合题意，
故选：A．
【点拨】本题考查了正多边形外接圆，圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．A
【分析】过E作于F，求得是等腰直角三角形，证明，可得，即，由，即得，从而利用可求解．
【解答】解：过E作于F，如图：
∵，，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是利用，结合是等腰直角三角形求出的长．
7．
【分析】根据科学记数法的含义进行解得即可．
【解答】解：；
故答案为．
【点拨】本题考查的是科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
8．
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：
，
故答案为；．
9．
【分析】要使的条件必须满足、、、，可据此进行判断．
【解答】解：如图：
若取，满足，能证明；
若取，不能证明；
若取，满足，能证明；
若取，满足，能证明；
故答案为：．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是关键
10．
【分析】根据五只雀、六只燕共重一斤可得，根据互换其中一只，恰好一样重可得，据此可得答案．
【解答】解：设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，
由题意得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
11．或
【分析】分当点F在左下角时，当点F在右上方时，两种情况构造等边三角形，建立手拉手模型，从而证明，再利用勾股定理即可得到结论．
【解答】解：①如图，当点F在左下角时，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
②如图所示，当点F在右上方时，
作等边三角形，连接．
同理可证，
∴．
∵，
∴，
作交的延长线于点M，
在中，∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：或．
【点拨】悲痛主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造手拉手模型是解题的关键．
12．
【分析】根据D的坐标和C的位置求出，，根据正方形性质求出OB，即可求出答案．
【解答】解：过点E作轴于点F，
的坐标是，B、C在x轴上，
，，
四边形ABCD是正方形，
，
，
在x轴的负半轴上，
，
为BD中点，，
，
，，
．
故答案为．
【点拨】考查了正方形的性质和坐标与图形性质，解此题的关键是求出DC、OC、OB的长度，题目比较好，难度不大．
13．或且
【分析】先求解与坐标轴的交点坐标，再求解“当过，时，当过，时”的函数解析式，再结合图象可得答案．
【解答】解：如图，∵，
∴当时，，当时，，
∴，，而，
当过，时，
∴，解得：，
当过，时，
∴，解得：，
一次函数（k、b为常数，）的图像与一次函数有交点，则k的取值范围是或且；
故答案为：或且．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的交点问题，理解题意，画出图形，利用数形结合的方法解题是关键．
14．22
【分析】将化简可得，将代入化简结果可得原式，将两边加上，得到，根据平方的非负性解出的取值范围，即可解答．
【解答】解：
将代入得：原式，
将两边加上，
得：，即，
，
，即，，
原式的最大值为22．
故答案为：22．
【点拨】本题考查了完全平方公式，平方差公式，不等式的性质，根据完全平方公式得出的取值范围是解题的关键．
15．
【分析】连接，设，根据勾股定理用含的式子表示、，再根据三角形的三边关系，列出不等式求解即可．
【解答】解：连接，设，
直径，
，
，，
，，为边作三角形，则，
，
解得：，
的取值范围是．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的三边关系，解不等式，熟练掌握知识点并运用方程思想是解题的关键．
16．##
【分析】如图，连接、，过点作于点，利用对称的性质可得，从而得到，要求的最大值，即求的最小值，由垂线段最短可得的最小值为，然后利用锐角三角函数求得，问题即可得到解决．
【解答】解：如图，连接、，过点作于点，
∵点关于的对称点为点，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴要求的最大值，即求的最小值，
∵线段表示上一点到上一点的距离，
又∵，
∴的最小值为，
在中，，，
∴，
∴的最小值为，即
∴，
∴，
即的最大值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查轴对称的性质，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，垂线段最短，锐角三角函数等知识点，运用了转化的思想．将问题转化为求的长是解题的关键．
17．，图见解析，最大整数解为1．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解集，然后确定这个范围内的最大整数解即可．
【解答】解：∵由得：，
由得：，
∴原不等式组的解集是：，
解集在数轴上表示为：
其整数解为，0，1，
故该不等式组的最大整数解为1．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来．关键在于根据数轴写出不等式的解集．
18．，1
【分析】先用分式的四则混合运算法则,把原式化为最简分式,再把使原分式有意义的x的值代入求值.
【解答】解：
=
=
=
=
=.
当x=1时,原式===1.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先根据角平分线性质与平行线性质证明∠CDF=∠ABE，再根据平行四边形性质证出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定△ABE≌△CDF；
（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．
【解答】（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE=∠ABD，
∵∠CDB的平分线DF交BC于点F，
∴∠CDF=∠CDB，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CDF=∠ABE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，∠A=∠C，
即，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
考点：1.平行四边形的性质和判定，2.矩形的判定，3.全等三角形的性质和判定
20．(1)
(2)
(3)A
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）设四个选项分别为A、B、C、D，其中A、B为正确选项，再列表展示所有6种等可能的结果数，找出所占的结果数，然后根据概率公式进行计算即可；
（3）易得只选确认的那一个正确答案可得1分，再计算除了选择确认的那一个正确答案，再任意选择剩下的三个选项中的一个所得的分数，然后比较两个的得分，即可确认最佳答题策略．
【解答】（1）解：四个选项中有两个正确答案，任选一个答案，得1分的概率为，
故答案为：；
（2）解：不妨设四个选项分别为A、B、C、D，其中A、B为正确选项，列表如下：
共有6种等可能的结果，其中占一个结果数，所以得2分的概率为，
故答案为：；
（3）解：只选确认的那一个正确答案，则可得1分；
若除了选择确认的正确答案A，再从B、C、D中任意选择剩下的三个选项中的一个，则再选正确答案的概率为，选错误答案的概率为，
所以此时得分为：，
所以此时的最佳答题策略是只选确认的那一个正确答案．
故答案为：A．
【点拨】本题考查了利用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握列表法或树状图求概率的方法是解题的关键．
21．（1）；（2）图表见解析，
【分析】(1)小丽在“2”中已经选择了地理，还需要从剩下三科中进行选择一科生物，根据概率公式计算即可．
（2）小明在“1”中已经选择了物理，可直接根据画树状图判断在4科中选择化学，生物的可能情况有2种，再根据一共有12种情况，通过概率公式求出答案即可．
【解答】（1）；
（2）列出树状图如图所示：
由图可知，共有12种可能结果，其中选化学、生物的有2种，
所以，（选化学、生物）．
答：小明同学选化学、生物的概率是．
【点拨】本题考查了等可能概率事件，以及通过列表法或画树状图法判断可能情况概率，根据概率公式事件概率情况，解题关键在于要理解掌握等可能事件发生概率．
22．，
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【解答】解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
∴，的值为
【点拨】本题考查数字的变化类，分式的加减运算，运用了裂项求和的思想．探索数字变化的规律是解题关键．
23．20km
【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可．
【解答】解：如图，过点作，垂足为
在中，
在中，
在中，
（km）
因此，轮船航行的距离约为
【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．180，求解见解析
【分析】解法1：连接，，，和，根据切线的性质及等腰三角形的性质，即可求解；解法2：连接，，，和，作直径，连接，根据切线的性质及圆周角定理，即可求解
【解答】解法1：如图：连接，，，和，
，，，，是五边形的外接圆的切线，
，
，
，
，，，，，
，
；
解法2：如图：连接，，，和，作直径，连接，
是五边形的外接圆的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
同理，，，，，
，
故答案为：180．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，多边形的内角和公式，作出辅助线是解决本题的关键．
25．（1）第20天；（2）第19天时，利润最大，最大值为15210元
【分析】（1）根据求得x即可；
（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×数量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．
【解答】解：（1）若，则，与不符，
∴，解得，符合，
故第20天生产了400件电子产品；
（2）由图像得，当时，；
当时，设，
把，代入得，
，
解得，
∴．
分三种情况：
①当时，，
当时，w有最大值，最大值为8600（元）；
②当时，，
当时，w有最大值，最大值为15050（元）；
③当时，
，
当时，w有最大值，最大值为15210（元）．
综上，第19天时，利润最大，最大值为15210元．
【点拨】本题考查了一次函数、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）如图：以B为圆心，以为半径画圆交于E，连接交于C，点C即为所求；
（2）连接，先说明垂直平分可得，即，进而证明可得，则，最后根据比例中项的定义即可解答．
【解答】解：（1）如图，点C即为所求．
（2）如图：连接，
∵，
∴点在线段垂直平分线上，
∵，
∴点在线段垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，即，
∴r是与的比例中项．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理、垂直平分线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、比例中项等知识点，灵活运用相关性质和判定是解答本题的关键．
27．作图见解析；证明见解析；证明见解析； EF最小值为.
【分析】当，此时AC是的直径，作出AC的中点O后，以OA为半径作出即可作出点E、F；
易知AC为直径，则，，从而得证；
如图，作，，若E在DN之间，由可知，，然后再证明∽，从而可知，若E在CN之间时，同理可证；
由于A、F、C、E四点共圆，所以，由于四边形ABCD为平行四边形，，从而可证为等腰直角三角形，所以，由于，所以E与N重合时，FE最小．
【解答】如图1所示，
如图，易知AC为直径，则，
则，
，
如图，作，，若E在DN之间
由可知，
、F、C、E四点共圆，
，
，
，
，
∽
，
若E在CN之间时，同理可证
、F、C、E四点共圆，
，
四边形ABCD为平行四边形，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
与N重合时，FE最小，
此时，
在中，，则
由勾股定理可知：
此时EF最小值为.
【点拨】考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，尺规作图等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．