甘肃省武威市凉州区武威第十一中学2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份甘肃省武威市凉州区武威第十一中学2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共30分)
1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．B．C．D．
3．若，则“”内的运算符号为( )
A．B．C．D．
4．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．x<1B．x≤1C．x>1D．x≥1
5．以下列各组三个数据作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．，B．，，C．1，1，2D．9，12，15
6．已知如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则（ ）cm
A．3B．4C．5D．6
7．如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（ ）
A．2B．1C．4D．
8．若直角三角形两条直角边的边长分别为和，那么此直角三角形斜边长是( )
A．B．C．D．
9．下面说法正确的是（ ）
A．被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
B．与是同类二次根式
C．与不是同类二次根式
D．同类二次根式是根指数为2的根式
10．如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(共8题；共24分)
11．计算：＝ ．
12．如果y＝+3+2，那么＝ ．
13．若x，y为实数，且|x﹣2|+=0，则的值是 ．
14．如图，在中，，，则的长为 ．

15．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元．
16．已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为 ．
17．如图所示的网格是正方形网格，则 ．
18．如图，从一个大正方形裁去面积为15cm²和24cm²的两个小正方形，则留下的部分的面积为 cm².
三、计算题(共16分)
19．（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
四、作图题(共6分)
20．如图为的方格（每个小正方形边长为1），按要求完成作图．
(1)在图1中作一个一边长为的矩形（不是正方形）；
(2)在图2中作一个面积为6的菱形；
(3)在图3中作一个面积最大的，但小于16的正方形；
五、解答题(共44分)
21．已知a＝2＋，b＝2－．求a2b＋ab2的值．
22．已知，求的值．
23．若等腰三角形两边长分别为 m，n，且 m，n 满足 2+3＝n﹣6，求此等腰三角形的周长和面积．
24．如图，在中，，，，求AC的长.
25．如图，已知，垂足为D，，，．判断的形状，并说明理由．

26．如图（1），在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1．

(1)求图（1）中正方形的面积为 ；边长为
(2)如图（2），若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，求点E表示的数为
参考答案与解析
1．C
【分析】根据形如 的式子叫做二次根式判断即．
【解答】解：A、，不是二次根式，不符合题意；
B、当时，不是二次根式，不符合题意；
C、，是二次根式，符合题意；
D、根指数是3，不是二次根式，不符合题意．
故答案为：C．
【点拨】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握其性质是解决问题的关键．
2．B
【分析】先化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义一一判断选择即可．
【解答】解：A． 与不是同类二次根式，故A不符合题意；
B． 与是同类二次根式，故B符合题意；
C．与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D．与不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查的是同类二次根式的定义与二次根式的化简，最简二次根式，能够化简选项中的二次根式是解题的关键．
3．D
【分析】分别用加、减、乘、除，结果为的即为正确答案．
【解答】解：，不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
，不是同类二次根式，不能合并，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式的加、减、乘、除运算．二次根式进行加减运算时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；二次根式的乘除运算，要记住相应的运算法则：，
4．D
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．
5．D
【分析】分别计算每一组中较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．
【解答】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，此本选项不符合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，此本选项不符合题意；
C、因为，所以不能构成直角三角形，此本选项不符合题意；
D、因为，所以能构成直角三角形，此本选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方．
6．A
【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质等知识．由折叠的性质可知，，，由勾股定理得到，则，在中，由勾股定理列方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵四边形是长方形，
∴，，，
∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，
∴，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得到，
即，
解得．
∴，
故选：A．
7．A
【分析】根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论．
【解答】解：在中，，，，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．B
【分析】利用勾股定理进行计算即可求解．
【解答】由勾股定理得：此直角三角形斜边长．
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理与二次根式的计算，熟练掌握二次根式运算法则是关键．
9．A
【解答】试题解析：A、被开方数相同的二次根式若能化简，化简后一定被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；
B、 ∴与不是同类二次根式，故本选项错误；
C、∴与是同类二次根，故本选项错误；
D、同类二次根式不仅是根指数为2的根式，还要化简后被开方数相同，故本选项错误．
故选A．
10．B
【分析】根据勾股定理求出和，然后利用面积法求解即可．
【解答】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，
同理可求，，
点到的距离是h，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．
11．
【分析】根据二次根式乘法运算法则进行运算即可得出答案．
【解答】解： ==，
故答案为：．
【点拨】本次考查二次根式乘法运算，熟练二次根式乘法运算法则即可．
12．49．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x与y的值．
【解答】解：∵，都是二次根式，
∴，
∴x＝7，
∴y＝2，
∴原式＝
＝49，
故答案为：49．
【点拨】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．9
【分析】先依据非负数的性质求得x、y的值，然后依据有理数的乘方法则求解即可．
【解答】解：∵|x−2|＋＝0，
∴x−2＝0，y＋3＝0，
∴x＝2，y＝−3，
∴，
故答案为：9．
【点拨】本题主要考查的是绝对值和算术平方根的非负性，有理数的乘方，掌握多个非负数的和为0时，必须满足其中的每一项都等于0是解题的关键．
14．
【分析】直接根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：在中，，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理和二次根式的运算，题目较为基础，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
15．420
【解答】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，价格是14×30=420元．故答案为420．
16．等腰直角三角形
【解答】∵，
∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，
∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
又由a－b=0得a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
17．45°
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】如图，延长AP交格点于D，连接BD，
，
∵PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．
【分析】先求出两个小正方形的边长，再根据长方形的面积公式即可得．
【解答】由题意得，两个小正方形的边长分别为，
由长方形的面积公式得：留下部分的面积为
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的几何应用，依据正方形的面积求出长方形的长与宽是解题关键．
19．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，负整数指数幂的含义，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键；
（1）先计算二次根式的乘法与除法运算，化简二次根式，再合并即可；
（2）先计算零次幂，负整数指数幂，化简二次根式，再合并即可；
（3）按照从左至右的顺序计算乘除运算即可；
（4）先计算括号内的运算，二次根式的乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据矩形的特点，结合网格特点作图即可得；
（2）根据菱形的面积计算方法，结合网格特点作图即可得；
（3）根据正方形的判定和性质，结合网格特点作图即可得．
【解答】（1）解：如图 1，四边形即为所求作；
其中；
（2）如图 2，四边形即为所求作；
其中，；
（3）如图 3四边形即为所求作．
其中，边长为，
∴．
【点拨】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握正方形、矩形、菱形的判定和性质．
21．4
【分析】先计算出a+b，ab，把a2b＋ab2变形为ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a＝2＋，b＝2－，
∴ab==1，a+b=4，
∴a2b+ab2
=ab（a+b），
=1×4
=4．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，注意：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了整体代入的方法．
22．
【分析】根据非负数的意义求出、的值，再把进行变形，最后把、的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵
∴，，
解得：，，
∵
，
当，时，
原式．
【点拨】本题考查非负数的性质，代数式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的性质．理解和掌握绝对值，二次根式的性质是解题的关键．
23．14和．
【分析】先根据非负数的性质求出m、n的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长和面积．
【解答】∵2+3＝n﹣6，
∴，
解得： ，
∴m＝2，
把m＝2代入2+3＝n﹣6得，n＝6，
当m为底时，三角形的三边长为2，6，6，
∵2＋6＞6，
∴能构成三角形，则周长为14，
如图，过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝6，
∴BD＝CD＝1，
∴，
∴面积为 ；
当n为底时，三角形的三边长为2，2，6，
∵2＋2＝4＜6，不能构成三角形，
综上所述，此等腰三角形的周长和面积分别为14和．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，6分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
24．
【分析】根据勾股定理直接求解即可．
【解答】解：设AC的长为x，则AB的长为.
在直角中，.
∴.
∵，
∴
解得（舍去）.
∴
【点拨】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．是直角三角形，理由见解析
【分析】根据勾股定理分别求出，，再根据勾股定理逆定理，即可得出结论．
【解答】解：是直角三角形．
理由：，垂足为D，，，．
，
．
，
．
是直角三角形．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．
26．(1)10，
(2)
【分析】（1）用割补法求出正方形的面积，再根据算术平方根的定义即可求出边长；
（2）E表示的数比大，用加上长度即为E表示的数．
【解答】（1）解：∵正方形的面积是，
∴正方形边长为：；
（2）解：∵正方形边长为，
∴，
∴E表示的数比大，即E表示的数为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了算术平方根的意义，以及用数轴上的点表示实数，解题的关键是求出正方形的边长．