河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试（七）数学试题及答案

这是一份河南省信阳市新县高级中学2024届高三适应性考试（七）数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合或，则（ ）
A．或B．
C．或D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设双曲线的焦点为，过作实轴的垂线交双曲线于，且，则以为直角边长的三角形的最小角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
5．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
6．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解那么以下2023个方程中，无实数解的方程最多有（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
7．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．数列是递增数列D．
8．已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（ ）
A．（2，4）B．（2，5）C．（1，5）D．（1，4）
二、多选题
9．已知数列满足，则（ ）
A．是等差数列
B．的前项和为
C．是单调递增数列
D．数列的最小项为4
10．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．2023年度，网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟，郑州嵩山少林寺，开封清明上河园，洛阳老君山，洛阳白云山，小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩，则他们都去洛阳游玩，且不去同一景点的概率为 .
13．已知分别是双曲线的左､右焦点，过点且垂直轴的直线与交于两点，且，若圆与的一条渐近线交于两点，则 .
14．已知对，不等式恒成立，则的最大值是 .
四、解答题
15．在中，角的对边分别为，已知的面积为，周长为9，且满足．
(1)求的值；
(2)若．
（i）求的值；
（ii）求的值．
16．已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)当时，若对于任意，均有成立，求实数的取值范围．
17．如图所示，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，．

（1）求证：平面；
（2）点M在线段上运动，当点M在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
18．设椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，已知椭圆过点，且长轴长为6．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程．
19．对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列．
(1)若，写出，并求；
(2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：
(3)若数列满足，求数列A的个数．
参考答案：
1．D
【分析】根据交集的概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：D
2．A
【分析】解不等式得到或，根据范围的大小关系得到答案.
【详解】，即，故或，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．D
【分析】以点O为圆心，a为半径画圆，交y轴于点Q，则以为直角边长的三角形的最小角为，即可求解.
【详解】如图所示：以点O为圆心，a为半径画圆，交y轴于点Q，则以为直角边长的三角形的最小角为，
依题意，，则点，
又，则，得，
则，
得，
得，
解得(负值舍去），
而，
由，得，故，
故选：D
4．B
【解析】取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系.
【详解】由图象可知，当时，，则
故选：B
5．C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
6．C
【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式可得，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理分析其它情况而得结论.
【详解】依题意，，其中，
，代入上式得：，
要方程无实数解，则，
显然第1012个方程有解，令方程的判别式为
方程与方程的判别式，
有
，
等号成立的条件是，则至多一个成立，
同理至多一个成立，至多一个成立，且，
所以在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个.
故选：C
7．D
【分析】的极值点为的变号零点，即为函数与函数图像在交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC选项，由图像可判断选项；D选项，注意到，由图像可得单调性，后可判断选项.
【详解】解：的极值点为在上的变号零点.
即为函数与函数图像在交点的横坐标.
又注意到时，，时，，
，时，.
据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.
A选项，注意到时，，，.
结合图像可知当，.
当，.故A错误；
B选项，由图像可知，则，故B错误；
C选项，表示两点与间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列，故C错误；
D选项，由A选项分析可知，，
又结合图像可知，当时，，即此时，
得在上单调递增，
则，故D正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.
8．A
【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，再列式，根据对数函数的不等式解法求解即可
【详解】函数在区间上恰有8个零点，则函数与函数在区间上有8个交点
由知，是R上周期为2的函数，作函数与函数在区间上的图像如下，
由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则；
故，解得；
故选：A．
9．BC
【分析】利用等比数列的定义求出可得，再由等比数列求和公式计算可判断AB；根据的通项公式可判断C；根据的单调性可判断D.
【详解】由，得，因为，
所以，从而，
所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，
即，所以，
所以，所以A错误，B正确；
由，易知是单调递增数列，C正确；
当时，，
当时，，D错误.
故选：BC.
10．CD
【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.
【详解】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
11．ACD
【分析】作出函数的图象，可判断，结合对数函数性质即可判断A；结合图象可知得，，利用函数图象的对称性可判断B；利用二次函数性质可判断C；利用图象的对称性可推出，从而可得的表达式，结合图象可得参数的范围，即可判断D.
【详解】由题意作出函数的图象如图，

对于A，由题意结合图象可知，
因为，所以，即，
所以，A选项正确；
当时，，所以.
又结合图象得，，所以，
即所以，B选项错误；
因为当时，，
所以当时，的图象关于直线对称，
所以，
又，此时在上单调递增，所以，C选项正确；
因为与，与关于直线对称，所以.
又与关于直线对称，所以，
所以，所以.
结合图象可知，所以，D选项正确，
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：根据题意可作出函数的图象，由此可判断的范围，结合各选项，数形结合，即可求解.
12．/0.24
【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】小张和小李从5个景点中各自选择1个，共有种可能，
5个景点中有3个在洛阳，则他们都选择去洛阳游玩，且不去同一景点的情况有种，
故所求概率.
故答案为：.
13．/
【分析】由题意可求出双曲线渐近线，利用直线与圆相交的弦长公式即可求.
【详解】
设，
解得，
解得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
由双曲线的对称性，不妨取，
又的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以弦长.
故答案为：
14．
【分析】由不等式恒成立，求得，故，只需求的最大值即可.
【详解】下面证明当时不成立：当时，原不等式变形为，，
若，则，而当时，原不等式不成立；
若，当时，，取，则，，原不等式不成立，
故当时不成立，所以.
不等式可化为，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，，即，
所以，
令，则令可得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的思路是将不等式可化为，然后再构造函数，并对其进行求导，求出函数的最小值为，即，然后求出目标函数的最大值为，即，所以求出的最大值是．
15．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由题意结合正弦定理求解即可；
（2）（i）由（1）知，求出，再由余弦定理求解即可；（ii）由同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦和余弦公式及两角差的正弦公式求解即可.
【详解】（1）在中，由结合正弦定理可得：
得：，而，
解得.
（2）（i）由（1）知且解得：，
则，
（ii）由，
，
则，
，
则.
16．(1)
(2)．
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，列式计算，即可求得答案；
（2）由题意知时，恒成立，分离参数，即得恒成立，构造函数，利用导数求得其最小值，即可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以曲线在处的切线的斜率为，
因为该切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）当时，因为当时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，
所以，
令，则，
显然在上为增函数，且，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，
所以，
即实数的取值范围是．
17．（1）证明见解析（2）为线段的中点.
【分析】（1）通过证明平面，结合，可证平面；
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求出结果.
【详解】（1）因为，所以梯形为等腰梯形，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以，即，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
因为四边形为矩形，所以，
所以平面.
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：
设，则，
则，，，，
设，则，，
设平面的法向量，
则，取，得，，
所以，
取平面的法向量，
则，解得或（舍），
所以为线段的中点.
【点睛】关键点点睛：（1）中，转化为证明平面是解题关键；（2）中，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解是解题关键.
18．(1)；
(2)或
【分析】（1）根据题意列出方程组计算即可；
（2）设直线的方程，含参表示M、N纵坐标，利用两点坐标表示三角形面积比，计算即可.
【详解】（1）由题意得：，解之得，
所以椭圆的标准方程方程为；
（2）由（1）知：，如图，设，
由题意知直线的斜率不等于0，设直线的方程为：，
令，得：，
由，得：，
因为，所以：，
由题意得：，
又因为，
由，得：，
易知同号，则，得：，
故直线方程为或.
19．(1)；；
(2)不存在适合题意的数列；
(3).
【分析】（1）利用变换的定义即；
（2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得；
（3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得.
【详解】（1）由，
可得，
，
∴；
（2）∵，
由数列A为数列，所以，
对于数列，，…，中相邻的两项，
令，若，则，若，则，
记中有个，有个，则，
因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列；
（3）首先证明，
对于数列，，…，，有，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
∵，
，
∴，
故，
其次，由数列为数列可知，，
解得，
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列中的个数为个，此时数列有个，
所以数列的个数为个.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.