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高考数学专题一 微专题9 导数中函数的构造问题课件PPT
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这是一份高考数学专题一 微专题9 导数中函数的构造问题课件PPT，共56页。PPT课件主要包含了思维导图，e－3e－2，由③－④得，1＋∞，－1＋∞，－∞2等内容，欢迎下载使用。
导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性问题，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题.这一部分内容在近几年中高考频频出现，成为高考热点，难度中等，有时较大.
典例1 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为__________________.
(－∞，－4)∪(0,4)
构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，即F′(x)<0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝xf(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减.根据f(－4)＝0，可得F(－4)＝0，F(4)＝0，根据函数F(x)的单调性、奇偶性可得xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4).
(2)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是______________.
(－1,0)∪(0,1)
当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，则F′(x)<0，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴F(x)在(－∞，0)上单调递增.根据f(－1)＝0，可得F(－1)＝0，F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得F(x)>0的解集，即f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1).
跟踪训练1 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x>0时，恒有xf′(x)＋2f(x)<0.若a＝2f( )，b＝9f(－3)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系为A.b
由g(x)的单调性可得b
因为xf′(x)－f(x)>0对于x∈(0，＋∞)恒成立，
典例2 (1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则A.e－2 024f(－2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)f(0)，e2 024f(2 024)>f(0)D.e－2 024f(－2 024)f(0)
构造函数F(x)＝ex·f(x)，则F′(x)＝[f(x)＋f′(x)]·ex>0，所以F(x)在R上是增函数，所以F(－2 024)－1，则下列不等式恒成立的是A.(m＋1)f(ln(m＋1))≥emf(m)B.(m＋1)f(ln(m＋1))≤emf(m)C.emf(ln(m＋1))≥(m＋1)f(m)D.emf(ln(m＋1))≤(m＋1)f(m)
因为f′(x)－1，
所以当m∈(－1,0)时，h′(m)<0，h(m)单调递减；当m∈(0，＋∞)时，h′(m)>0，h(m)单调递增，所以h(m)≥h(0)＝0，即m≥ln(m＋1)，
即emf(ln(m＋1))≥(m＋1)f(m).
跟踪训练2 (1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足2f(x) 的解集是________________.
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由e－2xf(x2＋2x)> ，得
所以x2＋2x>3，解得x<－3或x>1.又因为x2＋2x>0，所以x<－2或x>0，所以x<－3或x>1.
典例3 (2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝ ，c＝－ln 0.9，则A.a
设u(x)＝xex(00，v(x)>0，w(x)>0.①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]＝ln x＋x－[ln x－ln(1－x)]＝x＋ln(1－x)(00在(0,0.1]上恒成立，所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，所以h(x)>h(0)＝(1－02)·e0－1＝0，即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，
所以g(0.1)>g(0)＝0·e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c.综上，c
故当0≤x<2时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,2)上单调递增，所以g(0.01)>g(0)＝0，即c
根据题意，构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，所以函数g(x)在R上为增函数，又(x＋2)f(x＋2)>x2f(x2)，即g(x＋2)>g(x2)，所以x＋2>x2，即x2－x－2<0，解得－1
因为－2－x－2
由ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，
当x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，于是f(1)>f(1.2)>f(1.6)，即f(a)>f(b)>f(c)，又a，b，c∈[0,1]，所以a>b>c.
4.(2023·滁州模拟)已知a＝e0.4－1，b＝0.4－2ln 1.2，c＝0.2，则a，b，c的大小关系为A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a
令f(x)＝e2x－1－x，x∈(0,1)，则f′(x)＝2e2x－1>0恒成立，即f(x)在(0,1)上单调递增，且f(0)＝0，故f(x)>f(0)＝0，取x＝0.2，则f(0.2)>0，即e0.4－1－0.2>0，可得e0.4－1>0.2，即a>c；令g(x)＝x－2ln(1＋x)，x∈(0,1)，
即g(x)在(0,1)上单调递减，且g(0)＝0，故g(x)c>b.
∵x∈(0，π)，∴sin x>0，
即f′(x)sin x－f(x)cs x<0，
即g(x)在(0，π)上单调递减，
6.(多选)(2023·益阳模拟)定义在(0，＋∞)上的函数g(x)的导函数为g′(x)，xg′(x)>g(x)，∀x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，则下列不等式中一定成立的是A.g(x1x2)g(x1)＋g(x2)
∴F′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则F(x)是(0，＋∞)上的增函数，
对于A，取g(x)＝x2，x>0，满足xg′(x)>g(x)，但g(x1x2)＝g(x1)g(x2)，故A错误；
∵x1＋x2>x2，∴F(x1＋x2)>F(x2)，
由①＋②得g(x1＋x2)>g(x1)＋g(x2)，故B正确；
7.(2023·成都模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意x>0，xf′(x)－f(x)<0恒成立，且f(1)＝2，则不等式f(x)<2x的解集为__________.
所以h(x)是(0，＋∞)上的减函数，又h(1)＝f(1)－2＝0，由h(x)<0＝h(1)，可得x>1，故不等式f(x)<2x的解集为(1，＋∞).
8.(2023·烟台模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为_____________.
设g(x)＝f(x)－2x－4，可得g′(x)＝f′(x)－2，因为对任意x∈R，f′(x)>2，所以g′(x)>0，所以g(x)为增函数，又由f(－1)＝2，可得g(－1)＝2＋2－4＝0，所以当x>－1时，g(x)>0，即不等式f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞).
9.(2023·淄博模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)－f(x)<0，且f(x＋1)＝f(1－x)，f(0)＝e，则不等式f(x)>ex－1的解集是__________.
∴g(x)是减函数.∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝e，
即g(x)>g(2)，∴x<2，故不等式f(x)>ex－1的解集是(－∞，2).
10.(2023·临沂模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f′(－x)>2f(x)，且f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为_________________.
(－3,0)∪(3，＋∞)
因为f(x)为奇函数，定义域为R，所以f(－x)＝－f(x)⇒－f′(－x)＝－f′(x)⇒f′(－x)＝f′(x)，f(0)＝0，又因为当x>0时，f′(－x)>2f(x)，所以f′(x)>2f(x)，
所以当x>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性问题，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题.这一部分内容在近几年中高考频频出现，成为高考热点，难度中等，有时较大.
典例1 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为__________________.
(－∞，－4)∪(0,4)
构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，即F′(x)<0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝xf(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减.根据f(－4)＝0，可得F(－4)＝0，F(4)＝0，根据函数F(x)的单调性、奇偶性可得xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4).
(2)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是______________.
(－1,0)∪(0,1)
当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，则F′(x)<0，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴F(x)在(－∞，0)上单调递增.根据f(－1)＝0，可得F(－1)＝0，F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得F(x)>0的解集，即f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1).
跟踪训练1 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x>0时，恒有xf′(x)＋2f(x)<0.若a＝2f( )，b＝9f(－3)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系为A.b
由g(x)的单调性可得b
因为xf′(x)－f(x)>0对于x∈(0，＋∞)恒成立，
典例2 (1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则A.e－2 024f(－2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)
构造函数F(x)＝ex·f(x)，则F′(x)＝[f(x)＋f′(x)]·ex>0，所以F(x)在R上是增函数，所以F(－2 024)
因为f′(x)
所以当m∈(－1,0)时，h′(m)<0，h(m)单调递减；当m∈(0，＋∞)时，h′(m)>0，h(m)单调递增，所以h(m)≥h(0)＝0，即m≥ln(m＋1)，
即emf(ln(m＋1))≥(m＋1)f(m).
跟踪训练2 (1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足2f(x)
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由e－2xf(x2＋2x)> ，得
所以x2＋2x>3，解得x<－3或x>1.又因为x2＋2x>0，所以x<－2或x>0，所以x<－3或x>1.
典例3 (2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝ ，c＝－ln 0.9，则A.a
设u(x)＝xex(0
所以g(0.1)>g(0)＝0·e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c.综上，c
故当0≤x<2时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,2)上单调递增，所以g(0.01)>g(0)＝0，即c
根据题意，构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，所以函数g(x)在R上为增函数，又(x＋2)f(x＋2)>x2f(x2)，即g(x＋2)>g(x2)，所以x＋2>x2，即x2－x－2<0，解得－1
因为－2－x－2
由ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，
当x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，于是f(1)>f(1.2)>f(1.6)，即f(a)>f(b)>f(c)，又a，b，c∈[0,1]，所以a>b>c.
4.(2023·滁州模拟)已知a＝e0.4－1，b＝0.4－2ln 1.2，c＝0.2，则a，b，c的大小关系为A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a
令f(x)＝e2x－1－x，x∈(0,1)，则f′(x)＝2e2x－1>0恒成立，即f(x)在(0,1)上单调递增，且f(0)＝0，故f(x)>f(0)＝0，取x＝0.2，则f(0.2)>0，即e0.4－1－0.2>0，可得e0.4－1>0.2，即a>c；令g(x)＝x－2ln(1＋x)，x∈(0,1)，
即g(x)在(0,1)上单调递减，且g(0)＝0，故g(x)
∵x∈(0，π)，∴sin x>0，
即f′(x)sin x－f(x)cs x<0，
即g(x)在(0，π)上单调递减，
6.(多选)(2023·益阳模拟)定义在(0，＋∞)上的函数g(x)的导函数为g′(x)，xg′(x)>g(x)，∀x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，则下列不等式中一定成立的是A.g(x1x2)
∴F′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则F(x)是(0，＋∞)上的增函数，
对于A，取g(x)＝x2，x>0，满足xg′(x)>g(x)，但g(x1x2)＝g(x1)g(x2)，故A错误；
∵x1＋x2>x2，∴F(x1＋x2)>F(x2)，
由①＋②得g(x1＋x2)>g(x1)＋g(x2)，故B正确；
7.(2023·成都模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意x>0，xf′(x)－f(x)<0恒成立，且f(1)＝2，则不等式f(x)<2x的解集为__________.
所以h(x)是(0，＋∞)上的减函数，又h(1)＝f(1)－2＝0，由h(x)<0＝h(1)，可得x>1，故不等式f(x)<2x的解集为(1，＋∞).
8.(2023·烟台模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为_____________.
设g(x)＝f(x)－2x－4，可得g′(x)＝f′(x)－2，因为对任意x∈R，f′(x)>2，所以g′(x)>0，所以g(x)为增函数，又由f(－1)＝2，可得g(－1)＝2＋2－4＝0，所以当x>－1时，g(x)>0，即不等式f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞).
9.(2023·淄博模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)－f(x)<0，且f(x＋1)＝f(1－x)，f(0)＝e，则不等式f(x)>ex－1的解集是__________.
∴g(x)是减函数.∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝e，
即g(x)>g(2)，∴x<2，故不等式f(x)>ex－1的解集是(－∞，2).
10.(2023·临沂模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f′(－x)>2f(x)，且f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为_________________.
(－3,0)∪(3，＋∞)
因为f(x)为奇函数，定义域为R，所以f(－x)＝－f(x)⇒－f′(－x)＝－f′(x)⇒f′(－x)＝f′(x)，f(0)＝0，又因为当x>0时，f′(－x)>2f(x)，所以f′(x)>2f(x)，
所以当x>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
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