江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高二下学期4月联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高二下学期4月联考数学试卷（Word版附答案），文件包含六校联考试卷-答案-pdf、六校联考试卷docx、数学答题卡pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。

2024.4.8
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn若a2－a1＝2，S5－S4＝9，则a50＝(
A. 99B. 101C. 2500D. 9×2545
2．在四面体OABC中， eq \(\s\up8 (),OA)＝a， eq \(\s\up8 (),OB)＝b， eq \(\s\up8 (),OC)＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则 eq \(\s\up8 (),MN)＝( )
A. eq \f(1,2)a－ eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,2)cB. eq \f(2,3)a＋ eq \f(2,3)b－ eq \f(1,2)c
C. eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)cD. － eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c
3．若(x－ eq \f(1,2))n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为( )
A. － eq \f(1,64)B. eq \f(1,128)C. eq \f(1,64)D. eq \f(1,32)
4．直线y＝5x＋b是曲线y＝x3＋2x＋1的一条切线，则实数b＝( )
A.－1或1B.－1或3C. －1D. 3
5． (x＋ eq \f(1,x)－2)4展开式中的常数项为( )
A. 70B. －70C. 16D. 64
6．在四棱锥P—ABCD中， eq \(\s\up8 (),AB)＝(2，－1，3)， eq \(\s\up8 (),AD)＝(－2， 1，0)， eq \(\s\up8 (),AP)＝(3， －1，4)，则该四棱锥的高为( )
A. eq \f(2 eq \r(5),5)B. eq \f(1,5)C. eq \f(2,5)D. eq \f( eq \r(5),5)
7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 144种B. 84种C. 78种D. 60种
8．已知a＝e0.4－1，b＝0.4－2ln1.2，c＝0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. c＞b＞a
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．已知f(x)＝x2＋xln x＋2，g(x)＝f(x)－ex，则( )
A. 函数f(x)在[ eq \f(1,4)，1]上的最大值为3B. x＞0，f(x)＞2
C. 函数g(x)在(3，4)上没有零点D.函数g(x)的极值点有2个
10．在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；…；第n (n∈N*)次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2，记an＝1＋x1＋x2＋x3＋…＋xk＋2，数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A. a4＝123B. k＋1＝2n
C. an＝ eq \f(3,2)(n2＋3n)D. Sn＝ eq \f(3,4)(3n＋1＋2n－3)
11．在正四棱锥P—ABCD中，AB＝ eq \r(2)，PA＝ eq \r(3)，点Q满足 eq \(\s\up8 (),PQ)＝ eq \(\s\up8 (),PA)＋λ eq \(\s\up8 (),AB)＋μ eq \(\s\up8 (),AD)，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的有( )
A. | eq \(\s\up8 (),PQ)|的最小值是 eq \r(2)
B. 当μ＝1时，三棱锥P—ADQ的体积为定值
C. 当λ＝μ时，PB与PQ所成角可能为 eq \f(π,3)
D. 当λ＋μ＝1时，AB与平面PAQ所成角正弦值的最大值为 eq \f( eq \r(30),6).
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x3项的系数为eq \(▲,________)用数字作答
13．椭圆 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,n)＝1的焦点在y轴上，离心率大于 eq \f( eq \r(2),2)，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5 ,6,7,8,9}，则满足题意的椭圆的个数为_eq \(▲,________)___.
14．设函数f(x)＝e2x＋a，g(x)＝ex＋x，若存在x1，x2，…，x2024∈[－1，1]，使得eq \(i=1,\d\f1()\s\up6 (eq \(∑,\d\f1()\s\up13 (2023))))f(xi)＋g(x2024)＝eq \(i=1,\d\f1()\s\up6 (eq \(∑,\d\f1()\s\up13 (2023))))g(xi)＋f(x2024)成立，则实数a的最大值为_eq \(▲,________)__.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
已知空间中三点A (2，0，－2) ，B (1，－1，－2) ，C (3，0，－4)，设a＝ eq \(\s\up8 (),AB)，b＝ eq \(\s\up8 (),AC)
(1)若| c|＝6，且c∥ eq \(\s\up8 (),BC)，求向量c；
(2)已知向量ka－b与b互相垂直，求k的值；
(3)若点P (1，－1， m)在平面ABC上，求m的值．
16．(本小题满分15分)
设(3x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a9x9
(1)求a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9的值；(用数字作答)
(2)若(3x－1)9＝b0＋b1(x＋1)＋b2 (x＋1)2＋b3(x＋1)3＋…＋b9(x＋1)9，试求下列的值
①b1＋b2＋b3＋…＋b9(用数字作答)
②2b1＋4b2＋8b3＋…＋29b9．(用数字作答)
17．(本小题满分15分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＋an＝3
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝(n＋1)an，记数列{bn}的前n项和为Tn，若存在n∈N*使得
Tn≥ eq \f(15,4)＋λan成立，求λ的取值范围．
18．(本小题满分17分)
如图1，△ABC是边长为3的等边三角形，点D，E分别在线段AC，AB上，AE＝1，AD＝2，沿DE将△ADE折起到△PDE的位置，使得PB＝ eq \r(5)，如图
(1)求证：平面PDE⊥平面BCDE；
(2)若点F在线段BC上，且直线DF与平面PCD所成角的正弦值为 eq \f( eq \r(21),7)，求BF；
(3)在线段PC上是否存在点M，使得DM∥平面PBE，若存在，求出 eq \f(PM,PC)的值；若不存在，请说明理由.
19．(本小题满分17分)
已知函数f(x)＝ eq \f(lnx,(x＋a)2)，a为常数.
(1)若a＝0，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)＜－2.