河南省南阳市六校2022-2023学年高一数学上学期第一次联考试题（Word版附解析）

2022年秋期六校第一次联考

高一年级数学试题

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，则等于（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，根据并集的定义，可得答案.

【详解】由题意，，

故选：B.

2. 已知命题p“”，则为

A. ． B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】特称命题的否定是全称命题，由此得到选项.

【详解】特称命题的否定是全称命题，C选项应改为，这里不需要否定，故C选项错误.所以选D.

【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，在否定时要注意否定结论.属于基础题.

3. 下列函数中，定义域是其值域真子集的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】逐一求出各选项的定义域及值域，再根据真子集的定义即可求解.

【详解】对A：函数的定义域和值域均为R，显然定义域不是值域的真子集；

对B：函数的定义域为R，值域为，显然定义域不是值域的真子集；

对C：函数的定义域为，值域为，定义域是值域的真子集；

对D：函数的定义域为，值域为，显然定义域不是值域的真子集.

故选：C.

4. 设，，，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断ACD的正误，根据不等式的性质，可判断B的正误.

【详解】对于A中，令，，，，满足，，但，

故A错误；

对于B中，因为，所以由不等式的可加性，可得，

所以，故B正确；

对于C中，令，，，，满足，，但，

故C错误；

对于D中，令，，，，满足，，但，

故D错误．

故选：B

5. 已知函数，则的值等于（   ）

A. 11 B. 2 C. 5 D. -1

【答案】C

【解析】

【分析】令解得，进而代入求解即可.

【详解】解：令，解得：．

所以．

故选:C．

6. 已知，则取得最小值时的值为（   ）

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解.

【详解】，则，当且仅当，即时等号成立.

故选：A

7. 函数的最值情况为（    ）.

A. 最小值0，最大值1 B. 最小值0，无最大值

C 最小值0，最大值5 D. 最小值1，最大值5

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数和反比例函数的性质进行求解即可.

【详解】当时，函数单调递减，所以，

当时，函数单调递减，所以，

综上所述：，

所以有最小值0，无最大值.

故选：B.

8. 已知偶函数，当时，，则当时，（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由 得，代入得，根据偶函数即可求解.

【详解】当 ，则 ，，

又为偶函数，∴当x < 0时，.

故选：D

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）

9. 已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．

【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，

A正确，B错，C正确，D正确，

故选：ACD．

【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．

10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（   ）

A.

B. 不等式的解集是

C.

D. 不等式的解集为

【答案】BD

【解析】

【分析】由不等式的解集的特征可知，由韦达定理可求得，从而可判断BD正确.

【详解】因为关于x的不等式的解集为，

则必有a<0，A错误；

且和2是方程的两根，

由韦达定理得，，

则，

则，C错误；

不等式，即，解得，B正确；

不等式即为，

故不等式可化为，

解得，D正确.

故选：BD.

11. 下列说法中正确的有（    ）

A. 不等式恒成立 B. 存在a，使得不等式成立

C. 若，则 D. 的最小值为2

【答案】BC

【解析】

【分析】通过举例来判断AB；利用基本不等式以及等号的成立条件来判断CD.

【详解】当时，不等式不成立，A错误；

当时，，即存在a，使得不等式成立，B正确；

若，则，，当且仅当时等号成立，C正确；

，当时等号才能成立，但无解，故，D错误.

故选：BC.

12. 设函数，当为增函数时，实数的值可能是（   ）

A. 2 B.  C.  D. 1

【答案】CD

【解析】

【分析】由题知，且，进而解不等式即可得,再结合选项即可得答案.

【详解】解：当时，为增函数，则，

当时，为增函数，

故为增函数，则，且，解得，

所以，实数的值可能是内的任意实数.

故选：CD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知幂函数在上单调递增，则解析式是_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据幂函数的定义和性质求解.

【详解】解：是幂函数，

，解得或，

若，则，在上不单调递减，不满足条件；

若，则，在上单调递增，满足条件；

即.

故答案为：

14. 已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

【分析】由题知，，再根据集合关系求解即可.

【详解】解：由题知 ，

∵“”是“”的必要不充分条件，

∴，

∴且，解得：．

∴实数的取值范围是．

故答案为：

15. 已知函数在上不具有单调性，则实数取值范围为_____.

【答案】

【解析】

【分析】由函数在[1,2]上不具有单调性，得出函数图像的对称轴在内，解不等式即可.

【详解】函数在上不具有单调性，

则有二次函数图像的对称轴在内，

即有，解得：.

故答案为：.

16. 若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可.

【详解】由得，且 ，故，

当且仅当即时等号成立.

故问题转化为，解得，故实数m的取值范围为.

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知集合.

（1）求；

（2）若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的求解以及集合的交并补运算即可解答，

（2）根据集合的包含关系即可求解.

【小问1详解】

由题意可得或，

则 ，

又，则

【小问2详解】

①当时，，此时，满足题意；

②当时，，由题意得 ，则，

综上可得.

18. 已知.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的求解即可得，

（2）分类讨论一元二次不等式的解，即可根据整数个数得参数的范围.

【小问1详解】

当时，化为，即，解得1< x< 3，不等式解集为；

【小问2详解】

不等式即不等式，化为，

当m> 3时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；

当时，不等式解集为，此时不符合题意；

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；

故实数m的取值范围为.

19. 设函数.

（1）某同学认为，无论实数取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由；

（2）若是偶函数，求实数的值；

（3）在（2）的情况下，求函数的单调递增区间.

【答案】（1）观点正确，理由见解析   

（2）   

（3）和（和也正确）

【解析】

【分析】（1）假设可能会奇函数，则满足，进而得矛盾，即可判断，

（2）根据偶函数满足的关系式即可求解，

（3）画出分段函数的图象，结合图象即可得单调区间，

【小问1详解】

该同学的观点正确，理由如下：

，若为奇函数，则有，

，显然无实数解，不可能是奇函数.

【小问2详解】

若为偶函数，则有，

即，同时平方得

又x不恒为0，

.

【小问3详解】

由（2）知 ，其图象如下图所示，

由图象，知的单调递增区间为和，写成和也正确.

20. 清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境方面起到了立竿见影的作用.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为18立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为160元，池壁每平方米的造价为140元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少？

【答案】当沼气池的底面是边长为3米的正方形时，总造价最低，最低是7800元

【解析】

【分析】根据题意可列出沼气池的总造价的函数关系式，根据基本不等式即可求解最值.

【详解】设沼气池的底面长为x米，则宽为米，可知池底总造价为元；池壁总造价为元，沼气池盖子的造价为3000元.

设沼气池总造价为y元，且x> 0，由题可得

.

当且仅当，即x =3时等号成立，

所以当沼气池的底面是边长为3米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是7800元.

21. 已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，有成立．

（1）判断在上的单调性，并给予证明；

（2）若对任意的以及任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）或或

【解析】

【分析】(1)利用函数单调性的定义证明抽象函数的单调性；

(2)先根据(1)的单调性可求出，代入不等式，不等式就可等价为即对任意的，恒成立，接下去有两种方法可求：一、把右边看成是关于的二次函数进行讨论求最小值；二、把右边看成是关于的一次函数求最小值即可.

【详解】(1)证明：设，且，

则由是定义在上的奇函数得：

又因为当，且时，

有成立，

所以，

即得，所以在上为增函数．

（2）解法一：由（1）有在上，

所以有对任意的，恒成立，则：

（ⅰ）显然满足题意；

（ⅱ）当，，即，得；

（ⅲ）当，，即，得；

综上有或或．

（2）解法二：由（1）有在上，

所以有对任意的恒成立，

则且，得或或．

【点睛】本题考查了利用函数单调性的定义判断证明抽象函数的单调性，利用函数解恒成立问题，一般两种方法：一、把右边看成是关于的二次函数进行讨论求最值恒成立；二、把右边看成是关于的一次函数求最值恒成立；属于较难题.

22. 对于函数，若存在，使得成立，则称为的不动点，已知函数的两个不动点分别是-2和1.

（1）求的值及的表达式；

（2）当函数的定义域是时，求函数的最大值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据不动点可列方程求解 ，

（2）分类讨论定义域与对称轴的位置关系，结合二次函数的单调性即可求解.

【小问1详解】

依题意得 ，即 ，

解得.

.

【小问2详解】

①当区间在对称轴左侧时，即，也即时，在单调递增，则最大值为；

②当对称轴在内时，即也即时，的最大值为.

③当在右侧时，即时，在单调递减，则最大值为.

所以 .