初中数学人教版八年级下册19.2.1 正比例函数教学设计

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第1课时 正比例函数的概念
课时目标
(一)教学知识点
1.理解正比例函数的概念.
2.理解正比例函数的特征与解析式的联系规律.
(二)能力训练要求
1.通过类比两个量成正比例的方法学习正比例函数,体会类比思想的重要性.
2.进一步提高分析概括、总结归纳能力.
学习重点
正比例函数的概念.
学习难点
正比例函数的概念.
课时活动设计
情境导入
问题:2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km.设列车的平均速度为300 km/h.解答以下问题:
(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?
(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1 100 km的南京南站?
解:(1)约需1 318÷300≈4.4(h).
(2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数,函数解析式为y=300t(0≤t≤4.4).
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h的行程,是当t=2.5时函数y=300t的值,即y=300×2.5=750(km).750 km<1 100 km,
这时列车尚未到达距始发站1 100 km的南京南站.
设计意图:以上我们用函数y=300t(0≤t≤4.4)对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论.尽管实际情况可能会与此有一些小的不同,但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律.
思考:下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征?
(1)圆的周长l随半径r的变化而变化;
(2)铁的密度为7.9 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的变化而变化;
(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随练习本的本数n的变化而变化;
(4)冷冻一个0 ℃的物体,使它每分下降2 ℃,物体的温度T(单位:℃)随冷冻时间t(单位:min)的变化而变化.
上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式分别为
(1)l=2πr;(2)m=7.9V;(3)h=0.5n;(4)T=-2t.
正如函数y=300t一样,上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数(prprtinal functin),其中k叫做比例系数.
设计意图:由简单的问题引入,列出其关系式,再进行观察、发现,引导学生类比两个量成正比例的概念进而发现正比例函数的概念.
辨析概念
下列式子中,哪些表示y是x的正比例函数?请说明理由.
(1)y=-2x+1;(2)y=-7x;(3)y=2x2+x+1;(4)y2=4x;(5)y=3x;(6)y=-12x+1.
解:只有(5)表示y是x的正比例函数.
理由:正比例函数y=kx中,x和y的次数都为1,k为不等于0的常数,
观察上式,只有(5)符合题意.
设计意图:通过辨析概念让学生更能准确地理解和掌握正比例函数的概念,能区分正比例函数与两个量成正比例的区别与联系.
实际应用
列式表示下列问题中的y与x的函数关系,并指出哪些是正比例函数.
(1)正方形的边长为x cm,面积为y cm2;
(2)等边三角形的边长为x cm,周长为y cm;
(3)一个长方体的长为2 cm,宽为1.5 cm,高为x cm,体积为y cm3;
(4)一本练习册15元,小明购买了x本,总费用为y元;
(5)长方形的长为x cm,宽为5 cm,面积为y cm2.
解:(1)y=x2,不是正比例函数;
(2)y=3x,是正比例函数;
(3)y=3x,是正比例函数;
(4)y=15x,是正比例函数;
(5)y=5x,是正比例函数.
设计意图:能快速准确地列出关系式并作出判断,让学生知道生活中有很多正比例函数的例子,激发学生学数学和用数学解决问题的意识.
牛刀小试
1.要使y=(m-2)xn+1+n是关于x的正比例函数,n,m应满足什么条件?
解:根据题意,得m-2≠0,且n+1=1.解得m≠2,且n=0.
2.已知函数y=(2-m)x+2m-6,求当m为何值时,此函数为正比例函数.
解:根据题意,得2-m≠0,且2m-6=0,解得m=3.
应用拓展
3.在正比例函数y=kx中,当x=3时,y=6,则k的值为( C )
A.-1 B.1 C.2 D.-5
4.若一个正比例函数的比例系数是4,则它的解析式为 y=4x .
5.若正比例函数的自变量x=-4时,函数y=2.
(1)求正比例函数的解析式;
(2)求当x=6时,函数y的值.
解:(1)设正比例函数的解析式是y=kx,
把x=-4,y=2代入上式,得2=-4k,
解得k=-12.
∴正比例函数的解析式是y=-12x.
(2)当x=6时,y=-12×6=-3.
拓展延伸
6.已知y与x-4成正比例,且当x=2时,y=-6,则当y=9时,x= 7 .
设计意图:让学生更准确地理解正比例函数的概念,并初步渗透待定系数法求正比例函数解析式.
课堂小结
1.知识方面
2.学习方法
3.数学思想
设计意图:旧知识两个量成正比例和新知识正比例函数的区别和联系,体现了内容之间的延续性和关联性,在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,体会类比的数学思想,培养学生的核心素养.
课堂8分钟.
1.教材第87页练习第1,2题.
2.七彩作业.
第1课时 正比例函数的概念
1.概念
2.解析式
3.类比方法
教学反思