2023-2024年度第二学期六年数学竞赛题 （行程方程题含详解）

这是一份2023-2024年度第二学期六年数学竞赛题 （行程方程题含详解），共13页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 应用题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
一、 选择题
1 . ★★★
甲、乙两地相距千米，一辆汽车从甲地到乙地，前一半时间用千米/时的速度行驶，后一半时间用千米/时的速度行驶，又已知，那么，这辆汽车行驶前一半路程所用时间与后一半路程所用时间的比是（ ）．
A.B.C.D.
2 . ★★★
某学校组织一次远足活动，计划点分从甲地出发，点分到达乙地，但出发晚了分钟，却早到达了分钟．甲、乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（ ）．
A.点分B.点分C.点D.点分
3 . ★★★
已知两地相距米。甲、乙两人同时分别从两地出发，相向而行，在距地米处相遇； 如果乙每秒多行米，则两人相遇处距地米。那么乙原来的速度是每秒（ ）米。
A.B.C.D.
4 . ★★★★
、两地相距千米．甲、丙两人从地向地行走，乙从地向地行走．甲每小时行千米，乙每小时行千米，丙每小时行千米．三人同时出发，问几小时后甲刚好走到乙、丙两人距离的中点？要求写出关键的解题推理过程．
A.小时B.小时C.小时D.小时
5 . ★★★★
一段路程，甲小时走完，乙小时走完，甲、乙的速度比是（ ）．
A.B.C.D.无法确定
二、 填空题
1 . ★
小明从甲地到乙地，去时每时走千米，回来时每时走千米，来回共用了小时．那么小明去时用了 小时．
2 . ★★
小明从甲地到乙地，去时每小时走千米，回来时每小时走千米，来回共用了小时，则小明去时用了 小时．
3 . ★
甲、乙、丙三个人进行米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有米，丙离终点还有米．如果甲、乙、丙三人赛跑速度不变，那么，当乙到终点时，丙离终点还有 米．
4 . ★
猎豹奔跑的时速能达到，比猫最快时速的倍还多．猫的最快时速是 ．
5 . ★★
奥斑马、小泉、欧欧三人进行米赛跑，当奥斑马到终点时，小泉离终点还有米，欧欧离终点还有米，如果奥斑马、小泉、欧欧赛跑的速度都不变，那么当小泉到达终点时，欧欧离终点还有 米．
6 . ★★★
甲、乙、丙三人同时从地到地，且乙的速度最快，丙的速度最慢．当甲跑到中点时，甲离乙还有米的距离，丙离甲还有米；当乙跑到地的时候，丙刚超过中点米．那么、距离 米．
7 . ★★★
甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是分钟，如果在出发后分钟，甲、乙两人相遇，那么乙走一圈的时间是 分钟．
8 . ★★★★
东、西两地相距千米，小明从东向西走，每分钟走米；小莉从西向东走，小辉骑车从东向西走，每分钟米．三人同时动身，途中小辉遇见小莉即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小莉又折回向东骑，这样往返．如果小辉第二次返回遇见小明时，小明与小莉相距恰好千米，那么小莉每分钟走 米．
9 . ★★
小军了解到：货车和客车从，两地同时相向而行，货车每小时行千米，客车每小时行千米，问几小时后两车在离中点千米处相遇？（解：设小时后两车在离中点千米处相遇．）下面算式或方程中正确的是 ．
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥．
10 . ★★★★★
甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙两车的速度比是，相遇后，两车速度都减少．又过了分钟，甲车遇到了从地出发开往地的丙车．相遇后，甲、丙两车的速度都增加，这样，当甲车到达地时，乙，丙两车同时到达地．那么丙车一共行驶了 分钟．
三、 应用题
1 . ★★
一辆货车从甲地开往乙地，前小时行了千米，照这样的速度，到达乙地还需要小时，甲乙两地相距多远？（用比例解答）
2 . ★★★
客车和货车同时从甲、乙两地的中点向相反方向行驶，小时后，客车到达甲地，货车辆离乙地还有千米，已知货车与客车的速度比是，求甲、乙两地相距多少千米？
3 . ★
某周末小明从家里到西湾公园去游玩，已知他骑自行车去西湾公园，骑自行车匀速行驶的速度为每小时千米，回家时选择乘坐公交车，公交车匀速行驶的速度为每小时千米，结果骑自行车比公交车多用小时，问他家到西湾公园相距多少千米?
4 . ★
一条路全长千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的比是，某人走各段路程所用的时间之比是，已知他走平路的速度是千米每小时，求此人走完全程用了多长时间．
5 . ★★
某品牌自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶千米就要报废，安装在前轮上，则行驶千米才报废，为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前、后轮进行调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可以行驶多少千米？
6 . ★★
小明去游玩，在李村码头租了一条小船逆流而上，行进速度约为每小时千米，到王村码头后沿原路返回，速度增加了，回到李村码头比去时少用了分钟，求两村码头之间的这段路程．
7 . ★★★
甲、乙分别从、两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是，他们第一次相遇后，甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有千米，那么、两地的距离是多少千米？
8 . ★★★★
如图①，线段厘米，点沿线段自点向点以厘米/秒的速度运动，同时点沿线段自点向点以厘米/秒的速度运动．
( 1 )求几秒钟后，、两点相遇？
( 2 )如图②，，，现点绕着点以的速度顺时针旋转一周后停止，同时点沿直线自点向点运动，假若点、两点也能相遇，求点运动的速度．
9 . ★
（ 行程问题）快、慢两车分别从相距千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
( 1 )快，慢两车的速度各是多少？
( 2 )出发多少小时后，快，慢两车距各自出发地的路程相等？
( 3 )求出在慢车到达甲地前，快慢两车相距的路程为千米的时间．
10 . ★★★★★
如图，在一个正方形环形跑道上，甲乙丙三人同时从点出发，逆时针环行．已知，甲、乙、丙跑一圈的时间分别为、、分钟．
( 1 )出发后多少分钟后，甲乙丙第一次同时经过点？
( 2 )出发后多少分钟（分钟数为整数）后，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积第一次恰好为正方形面积的一半？
四、 解答题
1 . ★★★
一辆汽车从地到地，去时每小时行驶千米，回来时每小时行驶千米，往返一次共用了小时，问，两地的距离是多少？
2 . ★★
客车和货车同时从甲、乙两地的中点处向相反方向行驶，时后，客车到达甲地，货车离乙地还有千米．已知货车和客车的速度比是．甲、乙两地相距多少千米？
3 . ★★★
甲、乙两地公路长千米，一辆汽车从甲地到乙地，半个小时后，又有一辆同样速度的汽车从甲地开往乙地．王叔叔从乙地骑摩托车出发去甲地，在差分不到点时，他遇到了第一辆汽车，遇到第二辆汽车，王叔叔骑摩托车速度是多少？
4 . ★★
一家人准备去海南过年，一行共人，分别乘两辆出租车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站千米的地方出了故障，此时离火车停止检票时间还有分钟，因处于交通高峰期，这时唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘人．这辆小汽车的平均速度为千米时，人行走的速度为千米时，这人能赶上火车吗?若能，请说明理由．请你设计一个方案（上、下车的时间不计），使人能在分钟内全部到达车站，并用方程的有关知识说明理由．(如果方案能使人在规定时间内全部到达车站，时间少于分钟可得分，时间在分钟以内的可得分)
5 . ★★★★
肥罗从点出发，按“”的顺序在五边形跑道上练习跑步．与此同时，小伦从点出发，按“”的顺序在正方形跑道上练习跑步．已知为米，为中点．又知肥罗与小伦的速度比为，且两人第一次走到点时恰好相遇．
( 1 )求的长度．
( 2 )若两人保持速度、运动路线不变，将在点第二次相遇．求的长度．
( 3 )实际上，两人在相遇后，肥罗提速继续前行，而小伦提速原路返回，结果两人在点第二次相遇．求三角形的面积．
1 、【答案】 A
【解析】，
时间相等时，路程比速度比．
，以速度走的距离为：
（千米）．
以速度走的距离：（千米）．
（千米），一半路程为千米．
，前一半路程都以速度走．
．
后一半：（千米）．
千米以速度走，千米以速度走．
，，
．
故选．
2 、【答案】 B
【解析】 根据题意，实际比计划全程省了（分），将全程平均分成等分，则在每一等分中实际比计划省分钟．所以当走完等分时，到达地点的实际时间和计划时间相同，故丙地在全程的处．计划走全程用小时即分钟，则走到丙地用（分）．点分出发走分钟是点分．
3 、【答案】 D
【解析】 本题是典型的利用正反比例解行程的问题。首先根据不变量判断是否成正反比例。两次相遇过程中两人的时间相同，路程比等于速度比。两次相遇过程中甲的速度没变，通分比较乙的，即可解决问题。
解：第一次相遇过程中，甲、乙两人的路程之比是，时间相同，路程比就是速度比。
第二次相遇过程中，甲、乙两人的路程之比是，速度比也是。
在两次相遇问题中，甲的速度是保持不变的。通分得，第一次速度比为；第二次速度比为。
速度从份增加到份，速度增加米/秒，即。
乙原来的速度是（米/秒）（米/秒）。
故选：D
4 、【答案】 C
【解析】 假设经过小时．
甲丙距离：，甲乙距离：，由题列方程：，解得．
5 、【答案】 B
【解析】 甲每小时走这段路的，乙每小时走这段路的，甲、乙的速度比为．
6 、【答案】
【解析】 设去的时间为小时，则有：
，解得．
故答案为．
7 、【答案】
【解析】一定，
（小时）．
8 、【答案】
【解析】 乙和丙的速度的比是．
设当乙到终点时，丙还有米，
则，
即，
解得，
即当乙到终点时，丙离终点还有米．
9 、【答案】
【解析】 设猫的最快时速是．
10 、【答案】
【解析】 三者路程比：，米，米
11 、【答案】
【解析】 设、的距离为米，那么当甲达到中点时，乙走了米，丙走了米；当乙到达地时，乙走了米，丙走了米．因此，即，，解得，、的距离为米．
12 、【答案】
【解析】 因为甲走一圈的时间是分钟，走了分钟后相遇，说明同样的一段路程，甲要走（分钟），乙要走分钟，所以乙走一圈的时间为（分钟）．
13 、【答案】
【解析】 小辉小明小莉三人速度不变，三人在做了图上运动后，又在图中？一段路程上又做了同样的运动，所以两次的全程与小明小莉距离比，即是一样的，所以设？为，则有，．
小辉小明速度比为，所以易知小辉从开始前进份与小莉相遇，可知小明小莉份时间走了；返回份与小明相遇，同时离小莉，可知份时间相差，综上，份时间中，，；可得，即小莉速度．
14 、【答案】 ②④
【解析】 （）设小时后两车在离中点千米处相遇，根据：客车的速度两车相遇用的时间货车的速度两车相遇用的时间两车行驶的路程之差，列出方程，求出几小时后两车在离中点千米处相遇即可．
（）首先根据题意，可得两车相遇时行驶的路程之差是千米，然后根据路程速度时间，用两车相遇时行驶的路程之差除以两车的速度之差，求出几小时后两车在离中点千米处相遇即可．
（）设小时后两车在离中点千米处相遇，
则
．
答：小时后两车在离中点千米处相遇．
（）
（小时）．
答：小时后两车在离中点千米处相遇．
所以正确的算式或方程共有个：
（）．
（）．
15 、【答案】
【解析】 甲、乙两车在点相遇，那么因为甲、乙两车的速度比是，所以．相遇后两车速度都减少，所以速度比不变，那么，这样可得．当甲、丙相遇后，，所以．因为，所以通过化连比知为的中点．设为份，可得份．份，份，这样，可得（分钟）．又，所以（分钟），所以丙一共用了分钟．
16 、【答案】千米．
【解析】 方法一：因为货车速度不变，路程之比等于时间之比，
所以，甲、乙两地相距：（千米）．
答：甲、乙两地相距千米．
方法二：设甲、乙两地相距千米，
依题意，得：，
解得：．
答：甲、乙两地相距千米．
17 、【答案】千米．
【解析】 方法一：速度比是，则路程比是，对应（份），每份是，全长是．
方法二：货车的速度为：
（千米/小时）；
客车的速度为：
（千米/小时）；
甲、乙两地相距：
（千米）；
答：甲、乙两地相距千米．
故答案为：甲、乙两地相距千米．
18 、【答案】千米．
【解析】 设公交车回家用小时，自行车用，
．
19 、【答案】小时 ．
【解析】 根据题意，平路路程为（千米），那么走平路用的时间为（小时），所以走完全程所用的时间为（小时）．
故答案为：小时．
20 、【答案】千米．
【解析】 把每个车轮可以行驶的路程看做“”，那么前轮每行千米就使用了，后轮每行千米就使用了，又由于可以在适当时间交换前后轮，所以同时报废时行程最远是：（千米）．
21 、【答案】千米．
【解析】 逆流而上时速度为千米/时，原路返回时速度增加了，即返回时速度为（千米/时），设去时所用时间为小时，回到李村码头比去时少用了分钟，所以返回时所用时间为小时．列式为：，解得，所以两村码头之间的这段路程为（千米）．
答：两村码头之间的这段路程为千米．
22 、【答案】千米
【解析】 方法一：解：相遇后，甲、乙两人的速度比是，相遇时，甲已经行了全程的，乙已经行了全程的，相遇后，甲又行驶了全程的，则乙又行驶了全程的，所以乙总共行驶了全程的，、两地的距离是（千米）．
答：、两地的距离是千米．
方法二：首先明白，相同时间内，速度比和路程比相等，所以第一次相遇路程比为，假设全程千米，那么刚开始甲乙分别走了千米和千米，而后速度增加后，两人的速度比变为，那么相同时间走得路程比变为，后来甲走完剩下的千米时，乙会走千米，此时距离地还有千米，，解得，所以距离千米．
23 、【答案】 (1)秒
(2)厘米/秒或厘米/秒
【解析】 (1)设秒后，、两点相遇．
，解得：．
秒后，、两点相遇．
(2)分两种情况．
第一种：运动到点与相遇，点运动到点需要的时间为秒，
所以点运动的速度为（厘米/秒）；
第二种：运动到点与相遇，
点运动到点需要的时间为秒，
所以点运动的速度为（厘米/秒）．
点运动的速度为厘米/秒或厘米/秒．
24 、【答案】 (1)快车的速度是千米/时，慢车的速度是千米/时．
(2)出发小时．
(3)出发小时或小时．
【解析】 (1)（千米/时），
（小时），（千米/时），
答：快车的速度是千米/时，慢车的速度是千米/时．
(2)第小时，慢车距离出发点：
（千米），
快车距离出发点：千米．
设从第小时开始，再过小时两车距出发点距离相等．
，
，
，
，
（小时）．
答：出发小时后，两车距各自出发地距离相等．
(3)共有三种情况：
①两车相遇前相距千米．
（小时），
②两车相遇后相距千米，
（小时），
③快车从乙地返回相距千米，
（小时），
（小时）慢车刚好到达甲地，不符合题意，
答：出发小时或小时后两车相距千米．
25 、【答案】 (1)．
(2)．
【解析】 (1)分钟．
(2)引理：长方形的内接三角形面积不超过此长方形面积的一半，等号成立的条件是三角形某两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，第三个顶点在长方形的对边上．证明如下：
①若此三角形只有个顶点在长方形顶点上，适当割补图形，能证明面积必然小于一半；
②若此三角形有某两点在同一条边上，易见面积不超过一半，且等号成立条件恰如上述条件：
③若此三角形的个顶点分属长方形的三条边，则可转化成情形①，面积一定小于一半；
④若此三角形某有两个顶点恰在长方形的两个对顶点上，而此三角形的第个顶点不在长方形顶点处，也易见面积小于一半；
⑤若此三角形某有两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，则第个顶点若不在对边上，则面积小于一半；若在对边上（含顶点处）则面积等于一半；
综合以上几种情况，引理得证．下面求解原题．
根据引理的等号成立条件，可知甲、乙、丙必须有某两人站在相邻的顶点处，第三人在对边上时，才能满足“三角形面积恰为正方形一半”这个条件．甲、乙、丙的速度比为，下面以甲乙、乙丙、甲丙站在相邻顶点的时刻来分类讨论：
寻找甲乙站在相邻顶点处的时刻：由于甲乙速度比为，故甲跑个边长时，乙必然跑了个边长，两人之间的路程差距是个边长，但，故知甲站在顶点处时，乙要么站在顶点处，要么和甲站在同一位置，故知不可能有甲乙站在相邻顶点处的时刻．
寻找乙丙站在相邻顶点处的时刻：由于乙丙速度比为，故乙跑个边长时，丙必然跑了个边长，两人之间的路程差距是个边长，解同余方程，得，，，
当乙跑个边长在点，丙跑个边长在点时，甲跑了个边长在上，不符引理要求；
当乙跑个边长在点，丙跑个边长在点时，甲跑了个边长在点上，不符引理要求；
当乙跑个边长在点，丙跑个边长在点时，甲跑了个边长在上，符合引理要求，用时（分钟）．
寻找甲丙站在相邻顶点处的时刻：由于甲丙速度比为，故甲跑个边长时，丙必然跑了个边长，两人之间的路程差距是个边长，解同余方程，得，，，
当甲跑个边长在点，丙跑个边长在点时，乙跑了个边长在上，不符引理要求；
当甲跑个边长在点，丙跑个边长在点时，乙跑了个边长在上，符合引理要求，用时（分钟）．
综上，由于，故第一次符合条件的时刻是在分钟之后．
26 、【答案】．
【解析】一定，
（），
、两地距离：（）．
27 、【答案】（千米）
（千米）
答：甲、乙两地相距千米．
【解析】 时间相同，货车和客车的速度比是，说明货车和客车的路程比是．
28 、【答案】．
【解析】 假设从甲地出发的车车速为，摩托车车速为，
，
①，
，
②，
①②，
所以，
分钟小时，分钟小时，
将代入①，
，
，
．
29 、【答案】 能赶上火车．
【解析】 能赶上火车，有两种可行方案：
①先让该汽车载人去火车站，另外人步行往火车站，当小汽车把第一批的人送到火车站后，再返回来接另外人．
解法：小汽车返回时用了小时，与步行的人相遇用了小时，则有，
解得，
所以共用时间：小时分钟，满足条件．
解法：设小汽车从火车站返回来接另外人时，在途中遇到四人所用时间为分钟，则这个人一共走了（分钟）．
由题意，得．
解得．
所以使人全部到达车站所用时间：（分钟）分钟，满足条件．
②先用小汽车把第一批人送到离火车站较近的某一处，让第一批人步行，与此同时第二批人也在步行中；接着小汽车再返回接第二批人，
使第二批人与第一批同时到火车站．在这一方案中，每个人不是乘车就是在步行，没有人浪费时间原地不动，所以两组先后步行相同的路程．
设这个路程为千米，那么每组坐车路程为千米，共用时间小时．
当小汽车把第一组送到离火车站千米处、回头遇到第二组时，第二组已经行走了千米，这时小汽车所行路程为（千米）．
由于小汽车行千米的时间与第二组行走千米的时间相等，
所以．解得．
所用时间：小时分钟分钟，满足条件．
30 、【答案】 (1)米．
(2)米．
(3)平方米．
【解析】 (1)相同时间里路程与速度成正比，因此折线，与折线的长度之比为．设（米），列方程，解得，因此的长度为米．
(2)的长度为（米），的长度为（米），由勾股定理，的长度为米．折线的长度为米，大于，所以第二次相遇是在肥罗通过点之后，因此两人从第一次相遇之后到第二次相遇的路程和为五边形的周长：（米）．小伦的路程为（米），（米），（米）．在边上，且的长度为米．
(3)肥罗和小伦现在的速度比为，设肥罗和小伦的速度分别为与．肥罗到达点所用的时间为，此时小伦的路程为（米）．肥罗领先小伦的距离为（米）．
追及用时为．肥罗通过点之后又跑的距离为（米）．小于．所以点在上，且的长度为（米）．三角形的面积为（平方米）．