2024年黑龙江省哈尔滨市松雷中学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
【详解】解：的相反数是2，
故选：D．
2. 用科学记数法表示279000000正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项，同底数幂除法，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂除法，同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则分别进行判断．
4. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. 5米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形．
5. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的定义解题即可.
【详解】从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图.熟练掌握三视图的概念是解题的关键.
6. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为每件384元，如果两次降价率相同，则每次降价率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】降低后的价格=降低前的价格×（1-降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是600（1-x），那么第二次后的价格是600（1-x）2，即可列出方程求解．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意列方程：600（1-x）2=384，
解方程得x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去）．
∴平均每次降价的百分率为20%．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据实际问题找到等量关系并列出方程．
7. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位得到抛物线，
再向上平移3个单位，得到抛物线，
故选：B．
8. 位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k的值为( )
A. 4B. 2C. 1D. －2
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：此题应先由三角形的面积公式，再求解k即可．
考点：反比例函数系数k的几何意义
9. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第n次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律探究性问题， 按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案
【详解】解：根据反射角等于入射角画图如下，

由图中可知，，，，，最后再反射到，
由此可知，每6次循环一次，
，
∴点的坐标与相同，
．
故选：A．
10. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行判断即可．
【详解】解：、，
∴，故选项A正确；
、∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，故选项B正确；
、∵，
∴，
∵与的大小关系不能确定，
∴，故选项C错误；
、∵，
∴，
∴，故选项D正确，
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，正确应用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共计30分）
11. 函数的自变量的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，即可得到答案．
【详解】解：由题意，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了自变量的取值范围，分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件进行解题．
12. 把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提公因式分解因式，即可得到答案．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分解因式，解题的关键是掌握提公因式法分解因式．
13. 解不等式组的解集是_______．
【答案】x>2
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式
得：x＞-3，
解不等式x-2＞0，得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14. 抛物线的顶点横坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的顶点坐标为解题即可．
【详解】解：抛物线的顶点为，
所以顶点横坐标为1，
故答案为：．
15. 一商店某种品牌的羊毛衫标价960元，按标价的八折出售，仍可获利，则该品牌的羊毛衫的进价是每件_______元．
【答案】640
【解析】
【分析】设该品牌的羊毛衫的进价是每件x元，根据题意列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】设该品牌的羊毛衫的进价是每件x元，根据题意有
，
解得，
∴该品牌的羊毛衫的进价是每件640元．
故答案为：640．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．
16. 对于数轴上的点A，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的r对称数”，记作，其中．例如：原点O表示0，原点O的1对称数是，若，则点A表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义下的运算以及二元一次方程组的应用，设点A表示的数是a，根据新定义列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点A在数轴上移动，沿负方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是，沿正方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是，
设点A表示的数是a，由题意得：
，
解得：
∴点A表示的数是．
故答案为：．
17. 如图，是的外接圆，为的切线，经过圆心，且，则______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查圆的切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，连接，可知，进而可求得的度数．
【详解】如图所示，连接．
∵为的切线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：
18. 一个扇形的面积是，圆心角是，则这个扇形的弧长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是扇形面积和弧长的计算，熟记扇形的面积和弧长公式是解答此题的关键．设扇形的半径为r，由扇形的面积公式求出r的值，再由弧长公式即可得出结论．
【详解】解：设扇形的半径为r，
∵扇形的面积是，圆心角是，
∴，
解得，
∴扇形的弧长．
故答案为：．
19. 纸片中，，，，将它折叠使与重合，折痕交于点，则线段的长为______．
【答案】6或10
【解析】
【分析】本题考查勾股定理和折叠的性质，分两种情况解题，①当是锐角三角形， 过点A作垂线交于点D，证明为正三角形，设，则，，利用勾股定理可得到一个关于x的方程，解得结果即为长，进而得出长，②当是钝角三角形，过点A作垂线交于点D，同理可求出长．
【详解】解：①如下图，是锐角三角形，过点A作垂线交于点D，
∵，，，
∴在中，，
，
∵是折叠得到，
∴，
∴为正三角形，
∴，
设，则，，
∵，
∴在中，，
即，
解得：(舍)或，
∴；
②如下图，当是钝角三角形，过点A作垂线交于点D，
同理，，，正三角形，
设，则，，
∵，
∴在中，
，
即，
解得：或 (舍)，
∴，
综上得：或，
故答案：6或10．
20. 如图，四边形中，，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】过作于，过作于，根据矩形的判定得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，设，则，根据得出，求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：过作于，过作于，则

∵，
四边形是矩形，
设则
即，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了梯形的性质，解直角三角形，矩形的性质和判定，平行线的性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求值：其中
【答案】；
【解析】
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
原式．
22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图①中，作以为底边的等腰三角形，点C在小正方形的顶点上．
（2）在图②中，作以为一边的平行四边形，点D、E在小正方形的顶点上，且满足平行四边形的面积比图①中面积的2倍多3．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的定义，平行四边形的性质，利用网格求三角形的面积．
（1）构造正方形，找对边中点连线与网格交点即为点C，连接，即可；
（2）先分别算出图①中面积和平行四边形的面积，然后找出面积为4的点D，再利用平形四边形的性质构造平行四边形即可．
小问1详解】
解：如图①所示，即为所作等腰；
【小问2详解】
图①中面积为：，
∴平行四边形的面积为：
如下：平行四边形即为所求．
23. 为了了解游客对某市冰雪旅游服务满意度，从某景区中随机抽取部分游客进行调查，调查结果分为：A．非常满意；B．满意；C．基本满意：D．不满意四个等级，
请根据如图所示的两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）抽样调查共抽取了多少名游客？
（2）求本次调查中基本满意的游客有多少人，并补全条形统计图：
（3）若该景区累计接待游客90万人次，请你估计对该景区服务表示不满意的游客有多少万人次？
【答案】（1）50；（2）16人，统计图见解析；（3）7.2万人
【解析】
【分析】（1）根据A的人数除以占的百分比，得出调查总数即可；
（2）将总人数减去A、B、D的人数即可得C的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以表示不满意的游客所占的百分比即可．
【详解】（1）这次抽样调查的游客有：10÷20%=50（人）；
（2）“基本满意”的游客有：50-10-20-4=16（人），
补全条形图如图：
（3）90×=7.2（万人），
答：估计对该景区服务表示不满意的游客有7.2万人次．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，O是AC的中点，连接DO，过点C作CEDA，交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若F是CE上的动点（点F不与C、E重合），连接AF、DF、BE，请直接写出图2中与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形（四边形ABDF除外）
【答案】（1）见解析 （2）△ABC，△BCE，矩形ADCE，四边形ABDE．
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△ADO≌△CEO，求出OD=OE，根据平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，求出∠ADC=90°，再根据矩形的判定得出结论；
（2）根据同底等高的三角形的面积相等进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵CEDA，
∴∠OCE=∠OAD，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△ADO和△CEO中，
∴△ADO≌△CEO（ASA），
∴OD=OE，
∵OA=OC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
【小问2详解】
解：图2中与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形有△ABC，△BCE，矩形ADCE，四边形ABDE，
理由：∵△ACD和△AFD面积相等（同底等高的三角形面积相等），
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴,
∴图2中与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形有△ABC，△BCE，矩形ADCE，四边形ABDE．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，同底等高的三角形的面积相等，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
25. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
【答案】（1）去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元；（2）今年至少要购买140本文学书．
【解析】
【分析】（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，根据题意列分式方程，解此分式方程，并检验即可解题；
（2）设今年这所中学要购买本文学书，根据总费用不超过2120元列一元一次不等式，解此不等式即可．
【详解】解：（1）设去年购买文学书每本元，则故事书每本元，
，
，
经检验是原分式方程的解，
，
答：去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元．
（2）设今年这所中学要购买本文学书，
．
答：今年至少要购买140本文学书．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
26. 如图1，在中，为直径，和为弦，且．
（1）求的度数；
（2）如图2，E为上一点，连接，作于E交于F，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于G，过F作于F，交延长线于N，若，，求的长．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）利用证明，即可得出，又，故可得出
（2）先求四边形内角和，进而可得出，等量代换可得出，证明，由全等得性质可得出，等量代换得出，由等角对等边得出．
（3）在的条件下，作，可得出，设，可得，利用勾股定理解出x，得出，，，，过C作于K，得出，进一步利用勾股定理得出的值．
【小问1详解】
解：连接，，
∵是直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
四边形内角和为：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
在的条件下，作，如下图，
∴，
设，
则，
∵
∴
在中：
，
即，
解得，
∵
∴，
∴，，，，
过C作于K，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
可解得．
【点睛】本题主要考查了全等的判定以及性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，四边形内角和问题等知识，作出辅助线是解题的关键．
27. 如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点B交x轴于点C，的面积为10．
（1）求b值；
（2）点M是线段上一点，连接并延长交直线于点N，M点的横坐标为m，N点的横坐标为n，求出m与n的函数关系；
（3）如图2，在（2）的条件下，作的角平分线交于点D，点E在线段上，点F在x轴上且位于C点右侧，连接交于点H，连接、、DH．若，，，求F点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出点A，B，C的坐标，再利用两点之间的距离公式求出，，根据三角形的面积公式列出关于b的方程，解方程即可求出b的值．
（2）过点M作轴与P，过N作于点Q，分别表示出M，N，P，Q的坐标以及，，，，由对顶角相等得出正切相等，进而得出，再化简即可得出m与n的函数关系．
（3）过点D作y轴平行线交x轴于点K，过E作x轴平行线交于点T，交于G．由
，求出m，n的值，求出，由等腰三角形三线和一的性质可求出点D的坐标，由已知条件可得出，由直角三角形的性质可得出H为的中点，利用平行的性质可得出，证明，设，则，，由相似的性质得出，列出关于a的一元二次方程，求出a值，即可求出点F的坐标．
【小问1详解】
解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
另，，另，，
∴，，
∵直线经过点B交x轴于点C，
另，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，（舍去）
故
【小问2详解】
过点M作轴与P，过N作于点Q．
由（1）知，直线，直线，
∴，，
∴，，
∴，，，，
∵
∴，
即，
即，
整理得：．
【小问3详解】
过点D作y轴平行线交x轴于点K，过E作x轴平行线交于点T，交于G．
∵，
∴，
由可解得：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴D为的中点，，
∴，
设，则，
∵，
设 ，则，
∵，
∴，
又，
∴，
又∵轴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，，，，
∴，
∴，
即
整理可得：，
解得，（舍去），
∴．
本题主要考查了一次函数与几何的综问题，两点之间的距离公式，解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，以及全等的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线，并掌握这些定理和性质是解题的关键．